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2010年,Martini和Spirova在Minkowski平面(亦即,实赋范平面)上引入了弦正交的概念。在他们工作的基础上,本文从两个不同角度讨论了之前被忽视的弦正交的存在性;深入研究了弦正交的唯一性,改进了他们关于弦正交右唯一性的结论,给出了关于弦正交左唯一性的全新结果,得到了严格凸Minkowski平面的两个新的特征性质,加强了Martini和Spirova的相应结论;给出了弦正交与Martini和Spirova一文中没有提及的其他正交性之间的关系,得到了新的欧氏平面(亦即,实二维Hilbert空间)的特征性质。具体的,本文的主要结论包含如下三个部分。
弦正交性的存在性。证明了对单位圆的任一给定的弦[p1,q1]及单位圆上任一点p2,均存在弦[p2,q2]使得[p1,q1]正交于[p2,q2],给出了存在过单位圆上一点p1的弦[p1,q1]正交于给定的弦[p2,q2]的充分必要条件。证明了对给定的单位圆的弦[p,q]以及给定的数α∈(0,2]均存在单位圆的长度为α的弦[p1,q1]和[p2,q2]使得[p,q]正交于[p1,q1],[p2,q2]正交于[p,q]。
弦正交的唯一性与Minkowski相关性质之间的关系。证明了一个Minkowski平面上的弦正交是右唯一的当且仅当该Minkowski平面是严格凸的,H.Martini和M.Spirova只给出该结果充分性的证明;弦正交是左唯一的当且仅当该平面是严格凸和光滑的。证明了一个Minkowski平面是严格凸的当且仅当,对于任一数α∈(0,2],单位圆的任一弦[p1,q1]正交且仅正交于两条长度为α的弦。给出了严格凸的Minkowski平面的另外一个充分必要条件:对满足条件z≠-X,z≠-y的单位圆上互异的三点,如果得[x,z]正交于[z,y]或者[z,y]正交于[x,z],则x≠-y。H.Martini和M.Spirova只证明了该结论的充分性部分。
弦正交与其他正交性之间的关系。证明了,如果弦正交性蕴含着等腰正交、毕达哥拉斯正交、Roberts正交、面积正交和Singer正交中的其中一种,那么所在的Minkowski平面一定是一个欧氏平面。