本文利用变分法讨论几类椭圆方程解的存在性、多重性和集中性.主要内容如下:第一章主要介绍了一些研究背景知识和研究现状.第二章给出了研究这些问题所需要的一些基础知识.第三章讨论了下列带有凹凸非线性项的薛定谔-泊松问题:其中 1<q<2,4<p<6,参数 λ>0,位势函数 V = V+-V-,Vλ =λV+-V-其中V±=max{±V,0}.在函数f,g,K,V满足一定的条件下,通过变分法得到了解的存在性和集中性.本章将已有文献中关于半线性椭圆问题的结果推广到薛定谔-泊松方程组中.在验证解的存在性的过程中,我们定义了相应的Nehari流形Nλ,将Nλ分为三部分Vλ+、Nλ0和Nλ-,并且证明了在一定的条件下,Nλ0 =φ Nλ±≠φ以及该方程组在Nλ±上分别存在正解;为了验证解的集中性,我们利用Lions消失引理,得到了一列解的极限正好是上述薛定谔-泊松方程组所对应的极限方程组的解.这套理论对于以后利用Nehari流形解决带有凹凸非线性的薛定谔-泊松方程组具有重要的意义.第四章考虑了下列分数阶基尔霍夫问题其中s ∈(0,1),N>2s,λ>0是一实参数.在一定的条件下,得到了该方程正的基态解的存在性.据我们所知,已有大量文献研究了带有A.-R.条件的分数阶基尔霍夫方程,在本章中,我们假定了一个比A.-R.条件弱的条件,同样得出了该方程基态解的存在性.据我们所知,这在分数阶方程的研究中是创新性的.第五章探讨了分数阶p-拉普拉斯问题其中 ε,λ>0 是两个参数,T>ps 满足 s ∈(0,1)固定,1<分<p<r<Ps*,Ps*= Np/(N-ps)是分数阶Sobolev指数且(-Δ)ps是分数阶p-拉普拉斯算子.在已有的文献中,对于分数阶p-拉普拉斯方程,通常假定非线性项是超线性的,在本章中我们假定非线性项是凹凸非线性项,因为次线性项不满足A.-R.条件,这样通常使用的山路定理或者其他常用的变分方法就行不通了.为了克服上述困难,在验证解的多重性的过程中,我们利用了 Brezis-Lieb引理、集中紧性原理以及Lusternik-Schnirelman定理;关于解的集中性,我们主要验证了解的全局最大值点集中在位势函数的局部极小值点上.第六章对本文的内容与创新点进行概括,并对未来的研究成果进行展望.