矩问题是概率理论的一个重要分支，它研究在给定随机变量的部分信息，如均值，方差，众数的条件下，估计该随机变量某类函数的均值和方差的上下界，包括估计该随机变量的分布函数的上下界.自从经典的Chebyshev不等式，Markov不等式，Gauss不等式以来，矩问题获得丰富的研究成果.　　矩问题与泛函分析，函数论，算子谱理论，求积公式，正交多项式，复变函数论的插值问题，半定优化，对偶理论，独立和的Bennett-Hoeffding不等式，非独立和或非实值的Bennett-Hoeffding不等式，大偏差和小偏差理论，连分数理论，医学影像分析，经济学，运筹学，期权定价等有密切联系.矩问题的成果可以用于估计随机规划的误差界，提供金融产品，如欧式期、股票价格的稳健估计和提供风险评估，在决策分析，动态规划，贝叶斯统计中，矩问题也有广泛应用.　　因此，进一步开展对矩问题的研究成为了既有理论意义又有实际价值的研究课题.本文首先针对给定某些矩的随机变量，研究该随机变量的尾分布的界的精确估计，然后讨论随机变量函数的均值和方差的上下界估计.本文的主要工作如下：　　1.利用半定优化思想，给出随机变量的分布函数的界问题的对偶表示.特别地，在给定二阶和三阶矩的条件下，分别给出随机变量的分布函数的界精确估计，并给出使确界可达的分布.另外，我们推广了比较法，证明了给定二阶矩的条件下分布的上界估计.对于三阶矩情形，除半定优化方法之外，我们还给出另一个证明方法，即离散化方法.　　2.利用半定优化思想，给出随机变量函数的均值的上下界问题半定优化表示；在给定随机变量的二阶矩的条件下，给出三类重要的随机变量函数的均值的上下界精确估计，并给出使确界可达的分布.　　3.将对称化和对偶思想结合，提出估计随机变量函数的方差的一个全新的构造性方法，利用此方法给出三类重要的随机变量函数的方差的估计，并且所得到的结果是已知最好的.　　4.利用半定优化思想及测度变换，给出单峰分布和双峰分布随机变量函数的均值的上下界问题的对偶表示；给出单峰分布和二阶矩的条件下，一个随机变量函数即欧式期权的界估计.给出双峰分布和三阶矩的条件下，欧式期权和分布函数的界估计，并探讨了可行性条件.