复数域上有限维单李代数中，Borel子代数和其对应的极大幂零李代数是两类非常重要的子代数。关于Borel子代数的交换理想结构的研究在最近十年里受到很多人的关注。这源于1998年Kostant的文章[K3]中首次出现的Peterson’s2rank定理。该定理指出，复单李代数g的Borel子代数上这些交换理想的个数正好是2rank g个，它只与g的秩有关，而与其类型无关。其后，Kostant，Panyushev，Rohrle，Suter，Cellini和Papi等人对这些交换理想进行了深入研究，发现它们与仿射Weyl群结构，李群离散序列表示，球形轨道，欧拉乘积幂次等李理论中其它重要研究对象有着密切的联系。在本文中，细化了整个Peterson’s2rank定理，即确定了Borel子代数上所有指定维数的交换理想个数。这些数值丰富了复单李代数的不变量信息。关于极大幂零子代数方面，最著名的结果当数Bott早在1957年对其上同调群所作的工作。指出，该子代数的上同调群对应的Betti数可用Weyl群的相关信息表达。其后，Kostant将该结果推广到了任意抛物子代数的幂零根的上同调群，并用Weyl群刻画了上同调群中的(调和)代表元。自然地，可以考虑，Borel子代数的交换理想和对应的极大幂零子代数的上同调群之间是否会有一个明显的联系.在本文中，针对辛李代数给出了一个相关的联系，运用这一联系，可以重新得到辛李代数Borel子代数交换理想个数的分布。几年前，徐晓平在求解一类旗型偏微分方程时，引入了一类由树图定义的可解李代数和幂零李代数，它们可分别视作单李单数的Borel子代数和极大幂零子代数的某种推广.受Peterson’s2rank定理和Bott-Kostant定理影响，会很自然地希望了解它们的交换理想和上同调群结构。在本文中，对树图李代数的交换理想与上同调群性质作了一些研究。同时，针对一些常见的树图李代数，还确定了它们相关交换理想和上同调群的具体结构。