本文主要研究两方面的内容：错排指数族的一些性质以及对称群的循环指标的一些性质.首先,牌、副、手、指数族、指数公式是由H.S.Wilf最早提出的,主要处理由连通块构成的结构的计数问题.错排是没有不动点的置换,n个元素的错排数记为Dn.目前,研究错排数的方法主要有枚举法和递推法,不同于以往这些研究错排数的方法,本文通过指数族来研究错排数,针对错排数设计出一个新的指数族并得到一些性质.其次,对称群的循环指标的研究已经非常广泛,设α＝{α1,α2,α3,…}是一个给定的非负整数数列,要求α1+2α2+3α3+…＝n考虑n个字母的置换有多少种恰好有a1个长为1循环,a2个长为2循环,a3个长为3循环,等等.对于给定的置换σ,称矢量a=a(σ)表示的是σ的循环类型.从而可以得到σ具有的每种长度的循环个数.设c(a)表示上面所要求的置换数,ψn(x)表示对称群的循环指标.本文通过研究Bell多项式与对称群的循环指标间的关系,得到有关c(a)以及ψ(x)的一些性质.　　本文的主要工作有:　　1.概述指数族以及对称群的循环指标的研究现状,介绍指数公式、Bell多项式、对称群的循环指标以及二项式型多项式序列的定义及相关结论;　　2.利用指数族的概念,给出错排指数族中牌、副、手的关系及其表达式;　　3.研究错排指数族的性质,给出它与两类Stirling数之间的关系,得到了有关错排数的新恒等式;　　4.得到对称群的循环指标与指数型Bell多项式及完全Bell多项式之间的关系,并根据Ramanujan提出的公式以及除数函数的一些性质,得到对称群的循环指标与不等于5且与5互素的素数p间的关系式;　　5.研究对称群的循环指标在第一类Stirling数、在二项式型多项式序列以及卷积多项式序列中的应用.