自然界中的很多现象都可用非线性微分方程来描述。非线性微分方程的研究对洞察事物内部的结构,剖析事物之间的关系,解释各种物理现象都起到至关重要的作用。众所周知,弹性梁的弯曲状况是由非线性四阶常微分方程来描述的。因此,如何求解这类具有理论价值和实际背景的微分方程也就变得越来越重要了再生核方法数值求解非线性微分方程的优点是：无论多么复杂的边界条件(例如周期边界条件、积分边界条件等),都能很容易的放入再生核空间,从而求出相应的再生核函数。然后将微分方程的定解问题转化为等价的算子方程,最后利用再生核空间的良好性质和计算技巧来求解算子方程。本论文主要用迭代方法获得一类非线性四阶常微分方程解的存在性和近似解的表达形式,主要的结论都是基于再生核理论得到的。本文的主要内容如下：首先,深入的研究了再生核理论。给出了具有多项式形式的再生核函数的再生核空间中有界集与紧集的一些重要结论。其次,在再生核空间中给出了一类非线性四阶常微分方程的求解方法。本文成功的创建了一种新的再生核迭代方法,用此方法得到了这类非线性四阶常微分方程近似解的表达形式。这种迭代序列是投影算子下的逼近,故是最佳逼近。并且,逼近序列的各阶导数亦一致收敛于精确解的各阶导数。值得一提的是这种新的迭代方法避免了原有再生核迭代过程中出现的Gram-Schmidt正交化过程,从而防止了更多计算误差的堆积,提高了计算精度。第三,讨论了由四阶边值问题和二阶边值问题构成的非线性常微分方程组的数值求解。在Hilbert空间中将新的迭代方法推广到求解这类非线性常微分方程组。运用正交投影算子和Hilbert空间上的一组正交函数系构造了收敛的迭代序列,从而得到了方程组的近似解。另外还应该指出,推广的迭代方法可以用来求解各种形式的非线性常微分方程组。最后,给出了一类带有线性边界条件的非线性四阶微分方程解的存在性证明。本文首次将再生核方法引入到微分方程解的存在性领域。重新定义了再生核空间内积,利用再生核空间的逆算子,构造了另外一种迭代序列。运用压缩映像原理,证明了带有线性边界条件的非线性四阶微分方程解的存在性。因为迭代序列的极限就是方程的精确解,从而也给出了求解方程的迭代公式。该方法的优点不仅仅在于给出了解的存在性证明,而且用此迭代方法得到的近似解的精度非常高。本文创建了两种再生核迭代方法,每一种迭代都是收敛的,突破了长期以来再生核方法只能用来求解非线性微分方程,而不能用来证明解存在性的定式,从而丰富了再生核理论,拓宽了再生核理论的应用范围。