在诸多高新技术领域对于超轻质、多功能等先进结构需求的强劲推动下,结构拓扑优化近年来发展迅猛。经典的拓扑优化方法以有限元模型的密度（像素）为设计变量（密度取0或1分别表示孔洞或材料）,因此拓扑优化的数学本质是大规模非线性0-1离散整数规划。为了回避组合复杂性、维度爆炸等困难,传统的方法是将0或1的离散变量松弛为0到1的连续变量,允许中间密度（灰度）单元。中间密度（灰度）单元尽管可以使用材料插值格式进行惩罚但是依然存在,因此需要复杂的后处理获得可制造的设计。灰度单元也不利于结构几何/拓扑信息的提取与控制,也会破坏物理模型的真实性从而带来分析困难。事实上,如何消除非0-1中间密度破解灰度难题是拓扑优化领域长期关注的重点挑战性课题。直接求解大规模非线性整数规划可从根本上破解这一难题,然而该方案长久以来被认为是不可能的。本博士论文旨在打破这一瓶颈,从大规模离散变量拓扑优化的数学本源出发,通过研究序列近似整数规划算法的理论、方法和程序实现,构造出通用高性能的离散变量拓扑优化新方法。本论文的主要研究内容为下列四个方面。（一）提出了基于离散变量灵敏度和序列近似整数规划（SAIP）的离散变量拓扑优化新方法。回答了序列近似整数规划中一系列理论问题,成功构造出求解大规模可分离整数规划子问题的正则松弛算法,其计算效率与连续变量的梯度类算法相当,并且该方法具有全局收敛性和渐近强对偶性质。提出了两种适合于离散变量的运动极限策略。该方法成功求解了四种以柔顺性为目标的不同约束不同物理场的拓扑优化问题,优化结果表明该方法统一于数学规划框架下,可高效求解具有多重非线性约束及大量局部约束的离散变量拓扑优化问题。这些理论推导和算法应用充分说明了序列近似整数规划可以有效破解灰度难题,突破已有离散变量方法局限性。（二）如何处理非单调（灵敏度符号不定）的目标或约束函数是离散变量方法求解复杂非柔顺性拓扑优化问题的阻碍。为此,本文构造了基于信赖域的序列近似整数规划方法,即SAIP-TR方法。信赖域约束可直接控制离散设计变量的改变量从而直接控制近似模型的精度,将信赖域约束引入序列近似整数规划可以建立离散变量方法的理性运动极限策略。本文指出了离散变量下信赖域约束是线性约束,构造了基于merit函数的动态调整信赖域半径方案。数值算例表明SAIP-TR方法可以求解以柔顺机构为典型代表的非单调目标函数拓扑优化问题。然后,在黑白拓扑描述下构造了表示结构材料相和空白相的最小尺寸几何约束,并使用SAIP-TR方法成功求解几何约束以消除柔顺机构的点铰和应力集中。最后,SAIP-TR方法成功求解多工况结构响应约束下的无材料用量约束问题。综上所述,SAIP-TR方法极大地扩展了离散变量拓扑优化方法的适用范围并且具有优良的程序通用性。（三）对于离散变量拓扑优化给出的清晰黑白拓扑结构,给出了仅利用节点密度和节点邻域信息的可编程的Euler-Poincaré定理,成功计算了拓扑优化结果的拓扑不变量,即欧拉数和贝蒂数。进一步说明拓扑优化结果的贝蒂数与结构复杂性（孔洞个数）直接相关。结合可编程的Euler-Poincaré定理和三种策略（线性松弛结构复杂性控制约束,骨架约束和控制分比下降）给出了可自由控制结构复杂性的可求解列式。最后在序列近似整数规划框架下使用正则松弛算法成功求解了不同初始孔洞个数,不同目标孔洞个数的二维三维结构的复杂性控制问题。这些研究结果解决了复杂结构拓扑不变量的可计算性问题,构建了计算拓扑学与结构拓扑优化之间的桥梁。（四）为了应用本文的离散变量方法求解大规模拓扑优化问题,提出了将物理多尺度方法和数值多尺度结合的多分辨率离散变量拓扑优化方法。该方法首先利用扩展多尺度有限元计算出粗网格内的数值形函数,然后利用数值形函数构造出表示粗网格与细网格位移转换关系的投影矩阵,最后结合投影矩阵与数值代数中的多重网格方法得到了基于扩展多尺度有限元的多重网格共轭梯度迭代求解器。该求解器避免了传统多分辨率方法的孤岛结构（QR模式）,使得本文的离散变量方法可以求解近千万量级自由度的大规模三维拓扑优化问题,获得了具有丰富细节的多分辨率设计。