【摘 要】
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近年来,孤子方程的可积性研究成为非线性科学的研究热点,并广泛应用于生物学、量子力学、流体力学等诸多领域,而孤子方程的求解也成为国内外科学家的研究重点.其中,代数几何
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近年来,孤子方程的可积性研究成为非线性科学的研究热点,并广泛应用于生物学、量子力学、流体力学等诸多领域,而孤子方程的求解也成为国内外科学家的研究重点.其中,代数几何解方法可以深刻的描述许多物理现象,具有重要的潜在应用价值.本文主要研究连续孤子方程的可积性,并求其代数几何解.第一章,简单叙述孤子理论的产生及发展史、可积系统的可积性研究方法、孤子解的构造方法及其应用.第二章,主要介绍代数几何解方法的基础知识,主要包括:Riemann曲面、亏格、Abel微分形式等.第三章,根据李代数构造一组新的连续谱算子,利用零曲率方程得到可积系统的孤子方程族,然后利用迹恒等式,获得其相应的Hamilton结构.第四章,在第三章的基础上,定义一条亏格为N的超椭圆曲线κN,并紧致化产生Riemann面.借助椭圆变量和亚纯函数,引入椭圆坐标,构造Abel微分.通过研究Abel微分和Baker-Akhiezer函数与亚纯函数的渐近性质,最终利用代数几何的方法得到方程族的位势的显式Riemann θ函数表示.
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