【摘 要】
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逆热传导问题在生物医疗、航空航天、高炉炼钢、土木工程等多个领域具有极高的应用价值.本文主要研究稳态和与时间相关的逆热传导问题,研究目标是利用某些附加条件重构热传导过程中的参数,这些参数对于热传导过程具有重要影响.本文的模型分别是椭圆型方程和非局部边界条件下的抛物型方程,关注焦点是解的适定性和数值实现.全文分为以下四个章节:第一章是绪论部分,简要描述了逆热传导问题的研究背景,并介绍了几种含正则化法在
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逆热传导问题在生物医疗、航空航天、高炉炼钢、土木工程等多个领域具有极高的应用价值.本文主要研究稳态和与时间相关的逆热传导问题,研究目标是利用某些附加条件重构热传导过程中的参数,这些参数对于热传导过程具有重要影响.本文的模型分别是椭圆型方程和非局部边界条件下的抛物型方程,关注焦点是解的适定性和数值实现.全文分为以下四个章节:第一章是绪论部分,简要描述了逆热传导问题的研究背景,并介绍了几种含正则化法在内的研究逆热传导问题的方法.第二章研究了椭圆型方程系数识别问题Tikhonov正则化解的收敛速度.对于不适定的逆问题,可用Tikhonov正则化方法将原问题转化为最优化问题.构造从系数到解的映射,再利用解的观测值和先验估计,建立相应的极小化严格凸泛函,进一步证明泛函在容许集内有唯一的全局极小值,通过附加简单的源条件,获得正则化解的收敛速度.第三章研究了一类非局部边界条件下的逆热传导问题.鉴于逆热传导问题是典型不适定性问题,需要额外的超定条件.本章先用分离变量法构造特征函数系统,再通过辅助谱理论和Fourier方法确定解的一般形式,通过级数收敛判别法和Schauder不动点定理证明解的存在性,最后利用估计证明解的唯一性和稳定性.同时,采用预测矫正型迭代法和Crank-Nicoloson有限差分格式相结合的方法对反演问题进行数值分析,并讨论了数值算例.第四章是总结和展望部分,后续从以下两个方面进行工作:一方面,将求解收敛速度的方法扩展到其他非标准热传导方程,或非线性方程;另一方面,优化数值方法,减小数值实验的相对误差.
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