寻找代数曲面的不变量之间的关系是代数几何的重要问题.计算带有纤维化的曲面的不变量等价于计算纤维化的相对不变量.对于直纹面和椭圆纤维化以及超椭圆纤维化的不变量,人们已有有效的计算方法.非超椭圆纤维化的不变量计算是代数几何中未解决的问题.而三点式(Trigonal)纤维化是非超椭圆纤维化中最简单的情形.例如亏格3和亏格4非超椭圆纤维化都是三点式纤维化.经过一个基变换后,三点式纤维化曲面都有一个到直纹面的三次覆盖,因此我们可以利用三次覆盖理论来计算不变量.我们可以从一个几何直纹面上的三次覆盖出发,并且利用典范解消来解消曲面上的奇点.这时我们就有公式来计算光滑曲面的不变量.为了回到原始曲面,我们还得收缩纤维中的(-1)-曲线.因此主要问题就是计算典范解消产生的垂直(-1)-曲线的条数.对三次覆盖来说,这是一个未解决的问题.对于二次覆盖,类似的问题被E.Horikawa[19]和肖刚[61]解决.他们将分歧轨迹中的奇点分为两类,并且对每一类奇点都有公式计算这种(-1)-曲线的条数.对于三次覆盖,我们找到分歧轨迹奇点的一种数值分类.我们将奇点分为9类,并且对每一类奇点,我们也知道典范解消产生的垂直(-1)-曲线的条数.这样我们就得到了原始曲面的不变量.如果把我们的方法应用于二次覆盖,那么我们也可以得到E.Horikawa和肖刚的结果.作为应用,结合陈志杰和谈胜利[121的研究结果,我们得到了亏格3半稳定非超椭圆纤维化的不变量计算公式.从而我们解决了M.Reid[46]于1990年提出的猜想.对任意亏格的三点式纤维化,我们得到了它的斜率的上界,推广了陈志杰和谈胜利的相关结果.此外,对任意次覆盖的分歧轨迹的奇点,我们也有类似的数值分类[36].