这篇博士论文由5章组成，2-4章研究几类涉及重叠结构的分形集，第5章研究从动力系统生成具有对称性的彩色图像。1．一类具有重叠结构的Sierpinski地毯：近期许多学者对具有重叠结构的自相似集进行了深入的研究。Ngai和Wang[9]提出了有限型的定义并给出了当迭代函数系统是有限型时计算系统吸引子Hausdorff，Box维数的方法，但有限型的定义要求相似变换的压缩比必须满足对数值可公度。最近Lau和Ngai[10]对有限型的定义作了进一步拓广，并提出广义有限型的定义，使得压缩比不再需要满足对数值可公度。在本文的第2章中，我们利用Lau-Ngai的方法分析一类带参数的具有重叠结构的Sierpinski地毯。我们首先证明了一般相似压缩迭代函数系统满足开集条件的充分必要条件是它必须是广义有限型并且没有完全重叠。文献[9，10]说明带参数Sierpinski地毯的迭代函数系统{φ_i}_i=1⁵在参数对是有理数时是广义有限型，于是，对有理参数对，弄清楚{φ_i}_i=1⁵是否具有完全重叠是至关重要的，为此，在第二章中给出了迭代函数系统{φ_i}_i=1⁵具有完全重叠时所对应的有理参数对的刻画，并且给出一类不具有完全重叠的有理参数对显式分类。2．一类中心-α康托集的平移交：[0，1]区间上中心-α康托集Γ_α是古典三分康托集的直接推广。两个康托型集合的平移交是近年来非常活跃的课题，在这篇论文的第3章中我们主要研究Γ_α∩（Γ_α+t）的Hasdorff，Box，Packing维数。研究这一类交集维数的难点主要在于每一层迭代中相似变换的个数总是变化的。然而，在某些条件下，我们证明Γ_α∩（Γ_α+t）是的广义莫朗集。但在多数情况下，交集的结构更为复杂，此时，通过在Γ_α∩（Γ_α+t）的结构集上定义合适的等价关系，可将集合Γ_α∩（Γ_α+t）转化成一满足开集条件的图递归自相似集的某一支，进而可以利用Mauldin和Williams[34]关于图递归自相似集的理论来计算Γ_α∩（Γ_α+t）的各种分形维数。构造图递归自相似集的思想受到了文献[35，37，36，9]的启发。3．具有不同压缩比的康托型集的平移交在第四章，我们进一步研究压缩比不同的康托型集平移交的Hausdorff，Box，Packing维数。我们首先说明第三章中在各阶结构集上定义的等价关系在这里失效了，并且集合Γ_α—Γ_β通常可能不是自相似集，因此Li和Xiao[25]的方法也不适用，但通过修改等价关系的定义并推广迭代层次的概念，也可以把Γ_β∩（Γ_β+t）转化成一满足开集条件的图递归自相似集的某一支。同样第三章一样，构造图递归自相似集的思想受到了文献[35，37，36，9]的启发。4．轨迹井方法生成具有循环群或二面体群对称性的彩色图像轨迹井方法可以用来生成具有伪3D效果、色彩丰富的M-J图像，但传统的轨迹井方法始终未与图像的对称性相联系，而对称性又是自然界普遍存在的现象，无论在理论上还是在实际应用中都有其独特的魅力。在这篇论文的第5章中我们把具有循环群（二面体群）对称性的混沌函数和轨迹井技术相结合。通过设置具有对称性的轨迹井（同时也把轨迹井推广到更加复杂的有界集上，如混沌吸引子），生成具有循环群（二面体群）对称性的彩色图像。