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在高中数学教学中，经常碰到求解含参数不等式在某个区间上恒成立而求参数取值范围的题目。有些题目难度较大，学生往往无从下手。在此，我据实践归纳出几种常见题型的解法。
一、能够分参数的尽量分离参数求解
含参数不等式在某个区间恒成立，如果能够分离参数成a>f(x)（或af(x)■（或a 例1 已知x2－2ax+3a+4>0在x∈［2,6］上恒成立，求参数a的取值范围。
分析此题很容易把参数a进行分离，且分离出来的含变量x的函数也较易求最值。
解先分离参数可得a<■，令f(x)=■，所以f ′(x)=■，
所以可知函数y=f(x)在区间［2,4］上单调递减，在区间［4,6］上单调递增，
所以f(x)■=f(4)=4，所以参数a的取值范围为：(－∞,4)。
二、不能够分参数的可根据函数本身的特征求解
含参数不等式恒成立问题如果不能分离参数时，可以考虑用变量本身所满足的函数特征求解。一般考虑该函数在区间上的最大值或最小值，即可求解。
例2 已知2x2－4(a－1)x－a2+2a+9>0在x∈［－1,1］上恒成立，求参数a的取值范围。
分析本题不能对参数a进行分离，则设f(x)=2x2－4(a－1)x－a2+2a+9，不等式恒成立就转化为求函数f(x)=2x2－4(a－1)x－a2+2a+9在区间［－1,1］的最小值大于0即可。
解因为函数f(x)=2x2－4(a－1)x－a2+2a+9的开口向上，对称轴为x=a－1，所以讨论如下：
①当a－1<－1，即a<0时，f(x)■=f(-1)－a2+6a+7>0，得－1 ②当－1≤a－1≤1，即0≤a≤2时，f(x)■=f(a-1)=－3a2+6a+7>0，所以0≤a≤2。
③当a－1>1，即a>2时，f(x)■=f(1)=－a2－2a+15>0，得－5 综上可知－1 三、利用函数图像及性质求解
含参数不等式恒成立问题中有些既不好分离参数，又不好根据函数本身的特征求其最值来解，这类恒成立问题可以把原不等式分成两个基本函数形式，然后利用基本函数在某个区间上的图像的位置关系求解。
例3 已知不等式(x－１)２－log■x<0,x∈(1,2)恒成立，求实数a的取值范围。
分析此题中参数a不好分离，函数f(x)=(x－１)２－log■x■,x∈(1,2)的最大值也不好求解，所以要求参数a的取值范围，可以利用函数图像求解。
解令f(x)=(x－１)２，g(x)=log■x■，则f(x) 练习
1.已知不等式x2-ax+1>0在x∈(0,5]上恒成立，求a的取值范围。
2.已知不等式x2-ax-6>0在a∈(-1,5]上恒成立，求x的取值范围。
3.已知不等式■>log■x-1恒成立，求a的取值范围。
参考答案：
1.可根据分离参数a进行求解，a<(x+■)min=2。
2.可设f(a)=-xa+(x2-6),则f(-1)=x+(x2■-6)>0f(5)=-5x+(x2-6)>0,所以：x<-3或x>6。
3.可分别画出y=■和y=log■x-1的图像，根据图像可得：a>2。
(作者单位：江西省新建县第二中学)
责任编辑：周瑜芽
一、能够分参数的尽量分离参数求解
含参数不等式在某个区间恒成立，如果能够分离参数成a>f(x)（或a
分析此题很容易把参数a进行分离，且分离出来的含变量x的函数也较易求最值。
解先分离参数可得a<■，令f(x)=■，所以f ′(x)=■，
所以可知函数y=f(x)在区间［2,4］上单调递减，在区间［4,6］上单调递增，
所以f(x)■=f(4)=4，所以参数a的取值范围为：(－∞,4)。
二、不能够分参数的可根据函数本身的特征求解
含参数不等式恒成立问题如果不能分离参数时，可以考虑用变量本身所满足的函数特征求解。一般考虑该函数在区间上的最大值或最小值，即可求解。
例2 已知2x2－4(a－1)x－a2+2a+9>0在x∈［－1,1］上恒成立，求参数a的取值范围。
分析本题不能对参数a进行分离，则设f(x)=2x2－4(a－1)x－a2+2a+9，不等式恒成立就转化为求函数f(x)=2x2－4(a－1)x－a2+2a+9在区间［－1,1］的最小值大于0即可。
解因为函数f(x)=2x2－4(a－1)x－a2+2a+9的开口向上，对称轴为x=a－1，所以讨论如下：
①当a－1<－1，即a<0时，f(x)■=f(-1)－a2+6a+7>0，得－1
③当a－1>1，即a>2时，f(x)■=f(1)=－a2－2a+15>0，得－5
含参数不等式恒成立问题中有些既不好分离参数，又不好根据函数本身的特征求其最值来解，这类恒成立问题可以把原不等式分成两个基本函数形式，然后利用基本函数在某个区间上的图像的位置关系求解。
例3 已知不等式(x－１)２－log■x<0,x∈(1,2)恒成立，求实数a的取值范围。
分析此题中参数a不好分离，函数f(x)=(x－１)２－log■x■,x∈(1,2)的最大值也不好求解，所以要求参数a的取值范围，可以利用函数图像求解。
解令f(x)=(x－１)２，g(x)=log■x■，则f(x)
1.已知不等式x2-ax+1>0在x∈(0,5]上恒成立，求a的取值范围。
2.已知不等式x2-ax-6>0在a∈(-1,5]上恒成立，求x的取值范围。
3.已知不等式■>log■x-1恒成立，求a的取值范围。
参考答案：
1.可根据分离参数a进行求解，a<(x+■)min=2。
2.可设f(a)=-xa+(x2-6),则f(-1)=x+(x2■-6)>0f(5)=-5x+(x2-6)>0,所以：x<-3或x>6。
3.可分别画出y=■和y=log■x-1的图像，根据图像可得：a>2。
(作者单位：江西省新建县第二中学)
责任编辑：周瑜芽