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【摘要】 本文考虑定义在[0,1]区间内的常型弦方程的谱问题,利用Liouville变换将弦方程转化为Sturm-Liouville势方程,推导出常型弦方程算子在一般分离型边界条件下的解,特征值和特征函数的渐近式.
【关键词】 弦方程;Liouville变换;特征函数
本文将Dirichlet边界条件推广到一般的边界条件情况下,研究定义在[0,1]区间内的弦方程在如下分离型自伴边界条件下的谱问题:
Ly=-y″ λp(x)y, y′(0)-h0y(0)=0, y′(1)-h1y(1)=0,
其中密度函数p(x)∈ C 2[0,1]为正实值函数,h0,h1∈ R .
由于当密度函数p(x)∈ C 2时,弦方程可以通过Liouville变换转化为与之相对应的Sturm-Liouville势方程, 所以考虑定义在[0,π]内的Sturm-Liouville问题L1(q,h,H):
-u″ q(x)u=μu, u′(0)-hu(0)=0, u′(π)-Hu(π)=0,
其中q(x)∈ C [0,π]为正实值函数,且h,H∈ R .熟知,微分算子L1在函数空间L2[0,π]内是自伴且下半有界的,它的谱由简单的实特征值σ(L1)={μn}∞n=0组成.
记φ(x,μ),χ(x,μ)分别是方程-u″ q(x)u=μu满足如下初始条件的解:
φ(0)=1,φ′(0)=h;χ(0)=1,χ′(0)=1.
引理1.1 [1] 记μ=l2,则
φ(x,μ)=coslx h l sinlx 1 l ∫x0sinl(x-τ)q(τ)φ(τ,μ)dτ,
χ(x,μ)= sinlx l 1 l ∫x0sinl(x-τ)q(τ)χ(τ,μ)dτ.
引理1.2 [1] 记l=σ it,则存在记l0
【关键词】 弦方程;Liouville变换;特征函数
本文将Dirichlet边界条件推广到一般的边界条件情况下,研究定义在[0,1]区间内的弦方程在如下分离型自伴边界条件下的谱问题:
Ly=-y″ λp(x)y, y′(0)-h0y(0)=0, y′(1)-h1y(1)=0,
其中密度函数p(x)∈ C 2[0,1]为正实值函数,h0,h1∈ R .
由于当密度函数p(x)∈ C 2时,弦方程可以通过Liouville变换转化为与之相对应的Sturm-Liouville势方程, 所以考虑定义在[0,π]内的Sturm-Liouville问题L1(q,h,H):
-u″ q(x)u=μu, u′(0)-hu(0)=0, u′(π)-Hu(π)=0,
其中q(x)∈ C [0,π]为正实值函数,且h,H∈ R .熟知,微分算子L1在函数空间L2[0,π]内是自伴且下半有界的,它的谱由简单的实特征值σ(L1)={μn}∞n=0组成.
记φ(x,μ),χ(x,μ)分别是方程-u″ q(x)u=μu满足如下初始条件的解:
φ(0)=1,φ′(0)=h;χ(0)=1,χ′(0)=1.
引理1.1 [1] 记μ=l2,则
φ(x,μ)=coslx h l sinlx 1 l ∫x0sinl(x-τ)q(τ)φ(τ,μ)dτ,
χ(x,μ)= sinlx l 1 l ∫x0sinl(x-τ)q(τ)χ(τ,μ)dτ.
引理1.2 [1] 记l=σ it,则存在记l0