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【摘 要】2020年的全国高考数学试卷很好地遵循了课程标准的基本理念和《2020年全国（新课标卷）考试说明》的基本要求，突出了数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出了对学生关键能力的考查。试卷体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，把握了稳定与创新、稳定与改革的关系，对协同一线教师推进高考综合改革、引导高中数学教学都起到了积极的作用。基于此，本文剖析2020年高考中的三角函数试题，探寻新高考背景下的数学命题规律。
【关键词】2020年高考;三角函数;备考建议
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）34-0041-04
众所周知，三角函数知识是高中数学知识体系中的重点内容，也是沟通几何与代数的桥梁。其蕴含了方程的思想、函数的思想、数形结合的思想、化归的思想、分类讨论的思想等重要的数学思想方法，同时体现了数学学科的本质特征。它既是初中三角形知识的拓展与延伸，又是学生将来进入大学后学习高等数学的重要基础。因此三角函数知识一直在高考数学试题中占有较大的比重。近年来，高考试卷对三角函数知识的考查分值始终保持在17分左右。
2020年高考数学七套全国卷、四套地方卷中，三角函数部分的知识点考查分布如表1所示。
从表1可以看出，2020年高考数学卷对三角函数知识点的考査集中在正弦函数和余弦函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、倍角公式、三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其应用。除全国二卷结合导数的应用，将三角函数的考查放在次压轴21题位置，难度较大以外，其他的都是对一些基础知识、基本能力的考查。
2020年高考数学三角函数部分试题分值分布如表2所示。
从表2不难看出，大部分试卷三角函数所占的分值延续了2019年的标准，仍为17分左右。常见的出题模式是一道客观题与一道主观题。但同时又有个别试卷，如北京卷和天津卷，是一道选择题、一道填空和一道主观题的组合。北京卷三角函数部分分值共计23分，天津卷三角函数部分分值共计24分。由此可知，三角函数这一章仍然是高考考查的重点。
从考查形式看，高考对三角函数知识的考查仍然分为两种形式，一种是显性形式，即直接考查三角函数知识;一种是隐性形式，即将三角函数与其他知识点相结合，如结合向量、立体几何、导数，参数方程、极坐标等进行考查。
2020年全国Ⅱ卷理科数学的导数解答题首次以三角函数为出题背景，区别于以往以指数函数与对数函数为模型的出题形式。不过这道题的前两问都是基础的三角函数和导数问题，大部分考生可以答对，但最后一问的难度明显增加。这种出题方式会导致考生得分容易、得满分难的结果。
如题：已知函数 f （x）=sin2xsin2x，
（1）讨论f （x）在区间（0，π）的单调性;
（2）证明：;
（3）设，证明sin2xsin22xsin24x...sin22nx
。
（1）问解法一思路分析：先求出函数的导数，然后通过判断导函数的符号来判断原函数的单调性。
解：f '（x）=cosx（sinxsin2x）+sinx（sinxsin2x）
=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x
=2sinxsin3x，x，
当时，f '（x）>0;当x时，f '（x）<0，所以f （x）在区间上单调递增，在上单调递减。
点评：复合函数求导后，提取公因式2sinx，然后运用两角和与差公式化简，得出结果。接下来在给定区间上解三角不等式，由于要同时兼顾两个因式的符号，所以学生需有扎实的三角函数知识，以便分类讨论。
（2）问解法一思路分析：由于函数f （x）本身是周期函数，所以要证明不等式成立，只需求一个周期内函数的最大值为。这就把题目转化为在给定区间求极值、求最值的问题。
解：
∵ f （x）的一个周期为π，
∴ 结合第一问结论得：
x 0 π
f '（x） 0 + 0 - 0 + 0
f （x） 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 0
，
故。
点评：注意格式与步骤，力争简单题得满分。
（3）问解法思路分析：这是这道次压轴题的最后一问，难度突然增加。考生做起来有一定难度，需要构造函数。而如何构造函数、为什么这样构造函数是解决这道题的突破点。不妨结合不完全归纳法和“两头凑”的证明思路来突破这一难点。
当n=3时，
这样由特殊到一般得到第三问的证明
证明：
（sin2xsin22x...sin22nx）
（1）问解法二：
f （x）=sin2x（2sinxcosx）=2sin3xcosx
f '（x）=2[（sin2x）'cosx+sin3x（-sinx）]
=2（3sin2xcos2x-sin4x）
=2sin2x（3cos2x-sin2x）
=2sin2x（4cos2x-1）
=
x
f '（x） + 0 - 0 +
f （x） ↑ - ↓ - ↑
故 f （x）在上单调递增，在上单调递减。
点评：第二种解法与第一種解法不同的是，提取了公因式2sin2x，然后因式分解，这样就得同时兼顾三个因式积的符号，对学生运算能力有更高的要求。
（2）问解法二： 由四元均值不等式得
，
。
點评：四元均值不等式是二元基本不等式的拓展，运用的难点在于凑定值。解题时，可以把乘积分解成3sin2xcos2xcos2xcos2x，然后利用3sin2x+3cos2x=3得证。
除了在每个知识点的考查难度上有调整，在考查的题目顺序上有改变以外，近几年的高考试题更加突出数学历史和数学文化相结合，把数学发展过程中的历史事件和我国优秀文化中的数学内容引入到试题中。如2020年北京高考试卷第10题关注π的两种计算方法：中国传统的割圆术和数学家阿尔·卡西的求解方法。将中国优秀传统文化和世界先进思想相结合，兼容并包，中外融通，在弘扬中国传统文化同时，注意吸收世界数学文化精髓，能引导学生胸怀祖国，放眼世界。
如题（北京卷·10）：2020年3月14日是全球首个国际圆周率日。历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）
A.
B.
C.
D.
思路分析：
∵ 单位圆内接正n边形每条边所对的圆周角为，
∴ 每条边长，周长为，
同理，单位圆的外切正6n边形的周长为。
。
也可以用特殊值法：令n=1，单位圆内接正六边形周长为6，外切正六边形周长为，则，故选A。
点评：这道题是根据教材中提到的“割圆术”部分内容改编而成，紧扣课标和教材，既体现了数学本质，又考查了学生应用数学解决问题的能力。
结合以上对高考中三角函数考查内容与方式的剖析，笔者对于2021年新一届高中毕业生应该如何提前做好未来学习的规划，提出了如下建议。
（1）回归课本，重视基础，注重公式、概念、定理、定义的推导过程。这样面对试卷基础题的时候才能得心应手，快速解决;面对创新题时，可以迁移原有概念、原理解决问题;面对较难的综合题时，也能快速分解题目，产生思路，将问题逐一破解。
（2）培养能力、注重思维，培养探究精神。题目永远不是一成不变的，进行日常的解题训练也不是为了背题目、背题型，而是发掘解题背后的思维逻辑。只有强化分析题目能力，才能在面对创新题、综合题、变式题的时候运用数学思维分析破解。
（3）观察生活、抽象提炼，分析有实际背景的数学问题。数学在日常生活中是无处不在的，音乐中有数学，美术中也有数学，数学也蕴含在建筑、交通、贸易、游戏中，应该有意识主动发现生活中的数学，并用所学的知识加以分析、尝试解决。久而久之，则能形成较好的数学抽象能力、数学应用思维，不光有助于解题，更有助于发展自己的数学观点、提升数学素养[1]。
【参考文献】
[1]郭化楠：2020年全国高考Ⅱ卷数学理科卷评[EB/OL].http：//gaokao.eol.cn/shiti/zhenti/202007/t20200708_1737227.
Analysis of University Entrance Examination Paper about Trigonometric Function in 2020 and Teaching Reflection
Li Fan
（The Second Middle School， Heze， Shandong， 274000）
Abstract： The national mathematics test paper of Gaokao in 2020 follows the basic idea of curriculum standard and the fundamental requirements of “2020 National Examination （New Curriculum Standard Paper） Instructions”. It highlights the leading roles of the mathematical application， mathematical exploration and mathematical culture， and so is it for the students’ main ability effectively. The examination paper demonstrates the testing requirements on fundamentality， comprehensiveness， applicability and innovativeness， balances the relationships of “stability and innovation” and “stability and reformation”. The paper also has positive influence on the collaboration with teachers to promote the Gaokao comprehensive reformation and the guidance to mathematics teaching in senior high schools. On the basis of that， this paper analyzes the trigonometric function items in the Gaokao test paper in 2020 and explores the mathematics propositional pattern under the background of new university entrance examination.
Key words： university entrance examination in 2020; trigonometric function; suggestions on preparing for Gaokao
【关键词】2020年高考;三角函数;备考建议
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）34-0041-04
众所周知，三角函数知识是高中数学知识体系中的重点内容，也是沟通几何与代数的桥梁。其蕴含了方程的思想、函数的思想、数形结合的思想、化归的思想、分类讨论的思想等重要的数学思想方法，同时体现了数学学科的本质特征。它既是初中三角形知识的拓展与延伸，又是学生将来进入大学后学习高等数学的重要基础。因此三角函数知识一直在高考数学试题中占有较大的比重。近年来，高考试卷对三角函数知识的考查分值始终保持在17分左右。
2020年高考数学七套全国卷、四套地方卷中，三角函数部分的知识点考查分布如表1所示。
从表1可以看出，2020年高考数学卷对三角函数知识点的考査集中在正弦函数和余弦函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、倍角公式、三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其应用。除全国二卷结合导数的应用，将三角函数的考查放在次压轴21题位置，难度较大以外，其他的都是对一些基础知识、基本能力的考查。
2020年高考数学三角函数部分试题分值分布如表2所示。
从表2不难看出，大部分试卷三角函数所占的分值延续了2019年的标准，仍为17分左右。常见的出题模式是一道客观题与一道主观题。但同时又有个别试卷，如北京卷和天津卷，是一道选择题、一道填空和一道主观题的组合。北京卷三角函数部分分值共计23分，天津卷三角函数部分分值共计24分。由此可知，三角函数这一章仍然是高考考查的重点。
从考查形式看，高考对三角函数知识的考查仍然分为两种形式，一种是显性形式，即直接考查三角函数知识;一种是隐性形式，即将三角函数与其他知识点相结合，如结合向量、立体几何、导数，参数方程、极坐标等进行考查。
2020年全国Ⅱ卷理科数学的导数解答题首次以三角函数为出题背景，区别于以往以指数函数与对数函数为模型的出题形式。不过这道题的前两问都是基础的三角函数和导数问题，大部分考生可以答对，但最后一问的难度明显增加。这种出题方式会导致考生得分容易、得满分难的结果。
如题：已知函数 f （x）=sin2xsin2x，
（1）讨论f （x）在区间（0，π）的单调性;
（2）证明：;
（3）设，证明sin2xsin22xsin24x...sin22nx
。
（1）问解法一思路分析：先求出函数的导数，然后通过判断导函数的符号来判断原函数的单调性。
解：f '（x）=cosx（sinxsin2x）+sinx（sinxsin2x）
=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x
=2sinxsin3x，x，
当时，f '（x）>0;当x时，f '（x）<0，所以f （x）在区间上单调递增，在上单调递减。
点评：复合函数求导后，提取公因式2sinx，然后运用两角和与差公式化简，得出结果。接下来在给定区间上解三角不等式，由于要同时兼顾两个因式的符号，所以学生需有扎实的三角函数知识，以便分类讨论。
（2）问解法一思路分析：由于函数f （x）本身是周期函数，所以要证明不等式成立，只需求一个周期内函数的最大值为。这就把题目转化为在给定区间求极值、求最值的问题。
解：
∵ f （x）的一个周期为π，
∴ 结合第一问结论得：
x 0 π
f '（x） 0 + 0 - 0 + 0
f （x） 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 0
，
故。
点评：注意格式与步骤，力争简单题得满分。
（3）问解法思路分析：这是这道次压轴题的最后一问，难度突然增加。考生做起来有一定难度，需要构造函数。而如何构造函数、为什么这样构造函数是解决这道题的突破点。不妨结合不完全归纳法和“两头凑”的证明思路来突破这一难点。
当n=3时，
这样由特殊到一般得到第三问的证明
证明：
（sin2xsin22x...sin22nx）
（1）问解法二：
f （x）=sin2x（2sinxcosx）=2sin3xcosx
f '（x）=2[（sin2x）'cosx+sin3x（-sinx）]
=2（3sin2xcos2x-sin4x）
=2sin2x（3cos2x-sin2x）
=2sin2x（4cos2x-1）
=
x
f '（x） + 0 - 0 +
f （x） ↑ - ↓ - ↑
故 f （x）在上单调递增，在上单调递减。
点评：第二种解法与第一種解法不同的是，提取了公因式2sin2x，然后因式分解，这样就得同时兼顾三个因式积的符号，对学生运算能力有更高的要求。
（2）问解法二： 由四元均值不等式得
，
。
點评：四元均值不等式是二元基本不等式的拓展，运用的难点在于凑定值。解题时，可以把乘积分解成3sin2xcos2xcos2xcos2x，然后利用3sin2x+3cos2x=3得证。
除了在每个知识点的考查难度上有调整，在考查的题目顺序上有改变以外，近几年的高考试题更加突出数学历史和数学文化相结合，把数学发展过程中的历史事件和我国优秀文化中的数学内容引入到试题中。如2020年北京高考试卷第10题关注π的两种计算方法：中国传统的割圆术和数学家阿尔·卡西的求解方法。将中国优秀传统文化和世界先进思想相结合，兼容并包，中外融通，在弘扬中国传统文化同时，注意吸收世界数学文化精髓，能引导学生胸怀祖国，放眼世界。
如题（北京卷·10）：2020年3月14日是全球首个国际圆周率日。历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）
A.
B.
C.
D.
思路分析：
∵ 单位圆内接正n边形每条边所对的圆周角为，
∴ 每条边长，周长为，
同理，单位圆的外切正6n边形的周长为。
。
也可以用特殊值法：令n=1，单位圆内接正六边形周长为6，外切正六边形周长为，则，故选A。
点评：这道题是根据教材中提到的“割圆术”部分内容改编而成，紧扣课标和教材，既体现了数学本质，又考查了学生应用数学解决问题的能力。
结合以上对高考中三角函数考查内容与方式的剖析，笔者对于2021年新一届高中毕业生应该如何提前做好未来学习的规划，提出了如下建议。
（1）回归课本，重视基础，注重公式、概念、定理、定义的推导过程。这样面对试卷基础题的时候才能得心应手，快速解决;面对创新题时，可以迁移原有概念、原理解决问题;面对较难的综合题时，也能快速分解题目，产生思路，将问题逐一破解。
（2）培养能力、注重思维，培养探究精神。题目永远不是一成不变的，进行日常的解题训练也不是为了背题目、背题型，而是发掘解题背后的思维逻辑。只有强化分析题目能力，才能在面对创新题、综合题、变式题的时候运用数学思维分析破解。
（3）观察生活、抽象提炼，分析有实际背景的数学问题。数学在日常生活中是无处不在的，音乐中有数学，美术中也有数学，数学也蕴含在建筑、交通、贸易、游戏中，应该有意识主动发现生活中的数学，并用所学的知识加以分析、尝试解决。久而久之，则能形成较好的数学抽象能力、数学应用思维，不光有助于解题，更有助于发展自己的数学观点、提升数学素养[1]。
【参考文献】
[1]郭化楠：2020年全国高考Ⅱ卷数学理科卷评[EB/OL].http：//gaokao.eol.cn/shiti/zhenti/202007/t20200708_1737227.
Analysis of University Entrance Examination Paper about Trigonometric Function in 2020 and Teaching Reflection
Li Fan
（The Second Middle School， Heze， Shandong， 274000）
Abstract： The national mathematics test paper of Gaokao in 2020 follows the basic idea of curriculum standard and the fundamental requirements of “2020 National Examination （New Curriculum Standard Paper） Instructions”. It highlights the leading roles of the mathematical application， mathematical exploration and mathematical culture， and so is it for the students’ main ability effectively. The examination paper demonstrates the testing requirements on fundamentality， comprehensiveness， applicability and innovativeness， balances the relationships of “stability and innovation” and “stability and reformation”. The paper also has positive influence on the collaboration with teachers to promote the Gaokao comprehensive reformation and the guidance to mathematics teaching in senior high schools. On the basis of that， this paper analyzes the trigonometric function items in the Gaokao test paper in 2020 and explores the mathematics propositional pattern under the background of new university entrance examination.
Key words： university entrance examination in 2020; trigonometric function; suggestions on preparing for Gaokao