论文部分内容阅读
【摘 要】本文简单地对高中立体几何公理在几个不同教材版本中的叙述进行比较，并结合《希尔伯特几何基础》这本书中对几条公理的来源和本质进行逐一分析，最后对高中老师的教学提出一些可行的意见，来探讨基于《希尔伯特几何基础》的高中立体几何公理化问题分析。
【关键词】《希尔伯特几何基础》;高中立体几何;公理分析
一、《希尔伯特几何基础》与高中立体几何公理
德国数学家希尔伯特（D.Hilbert，1862—1943）在1899年发表了他的名著《几何基础》一书，提出了一套完整而简洁的公理系统，根据这套系统不需要借助其他任何知识，可以直观导出全部欧氏几何的内容。希尔伯特的《几何基础》一书被公认为几何学中的经典著作，它标志着现代公理法的产生。
众所周知，研究几何首先要对研究对象起一个名词（或术语），即下定义。但根据逻辑的要求最原始的一个或几个名词是无法加以定义的，这些不加定义的几何对象被称作基本对象。经过深思熟虑后，希尔伯特把“点”“直线”“平面”作为基本对象不加定义，并把“点在直线上”“点在平面上”“一点在另两点之间”“线段合同（相等）”“角合角（相等）”作为不加定义的基本对象之间的关系，称为基本关系，对它们也不加以说明或解释。三个基本对象和五个基本关系统称为基本概念，除了这八个基本概念以外的任何几何对象、名词、术语、关系等都必须加以严格定义。而这些基本概念受下面五组（共20条）基本事实（即公理）制约。其中每一组表达了直观而简单的某种相互关系的基本事实，而这些基本事实是明显的，也是必要的，也不可能加以说明或证明。而其它的几何对象之间的关系、性质、命题等都必须用这些基本事实加以证明，所以我们把这些基本事实称为公理。笔者翻阅了多个版本的高中数学教材，包括人教A、B版，苏教版，沪教版，北师大版，湘教版等，发现其中关于立体几何的内容基本上都是由以下四个公理推理演变而来的。
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内;公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线;公理三：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面;公理四：平行于同一條直线的两条直线互相平行。这四条公理其实都是学生们初中的主要学习内容，最初的原因是因为学生刚刚步入高中，对于一些理论知识的掌握程度不够，所以需要一些基本的框架来进行把握，这样能够快速入门高中立体几何的知识并进行把握。而高中的立体几何知识最基本的就是一个空间概念的把握，所以这几个公理都是随着“点、线、面”的关系来进行展开的，方便理解，而且能够帮助孩子们快速建立一个基本的自信心，让他们能够拥有快速展开立体几何知识学习的能力。数学是一个比较重视逻辑思维的科目，无论是数学的哪一个部分的学习。高中立体几何更多的是对于空间想象能力还有逻辑思维能力的要求，也就是可以用最基本的点面线知识建立起一个空间想象能力。公理的存在就是将初中学习的基本理论知识当做公理，让学生们能够快速适应高中的立体几何学习，然后很快地摸索到学习的门路和学习的关键点进行学习。比如说：公理一，它主要是为了判断直线是否在平面内与点是否在平面内，这个判断是解决一些高中立体几何知识的基础，也是判断空间是否存在的基础;公理二帮助学生构架起空间概念，同时也提出了点共线的问题，提出了判断两个平面相交的证据，能够顺利地解决一些点线面的问题，构架一个空间立体感;公理三主要提供了如何确定一个平面的方法和判断若干个点是否在同一平面上的方面，是一个可以延伸很多理论的基础点，具有很强的理论衔接性;公理四主要指出平面几何和立体几何之间的共性，一些在平面几何中可以使用的观点，其实在立体几何中也可以运用，但是并不是所有的观念都可以利用。这只是一个可以发散思路的关键词，是一个基础，比如：可以利用平面几何来推导出立体几何的等角定理。
通过对这四个定理以及定理在不同教材中的运用分析可以发现，公理其实充当的是一个基本框架的作用，它是基础本源，简单直观，而且比较容易理解和记忆。在初学者刚刚接触到相关理论的时候，定理可以充当一个基石的作用，充分地将理论知识发展出来，帮助学生构建起立体几何知识学习的大楼，可以从立体几何的学习中去感受到理论知识和空间知识的美，感受到立体几何学习的魅力，而且还可以帮助初学者树立信心，让他们了解到立体几何其实是一门比较简单且有意义的学科，帮助他们建立学习的兴趣和自信心，让学生可以更加积极主动地进行学习。
二、高中立体几何公理化问题分析的教学意见
希尔伯特《几何基础》提出了数学的真理性等价于系统的相容性，即在某个公理体系下，推不出任何互相矛盾的命题，这是对数学系统的唯一要求，希尔伯特从研究机和基础开始提出了他的“形式主义”数学哲学观即数学是关于形式系统的科学。所以，教师在进行高中立体几何公理化问题的教学的时候，要坚持数学的真理性，进行数学教学的时候要注意教学案例的教学分析，这是典型案例教学的方法，坚持指导和典型教学同时进行的教学手段，培养学生的数学思维能力，让学生能够熟练掌握数学基本知识和基本解题思路，使学生能够对知识有一个明确的掌握。首先，在教授高中立体几何公理化问题的时候，在基础性教学之后先让学生对立体几何的公理化有一定的了解，能够建立一个基本的框架和认识，然后利用典型案例教学让学生能够细致地进行理论分析，帮助他们有效地建立一个立体的认识，对知识有一定的把握，培养学生的空间想象能力和立体几何思维能力，让学生可以利用理论知识的学习构建想象，然后培养出解题能力;其次，在对立体几何的问题进行解答的时候，可以给出一些多角度进行解题的题目，让学生发散思维去思考其他方向的解题思路，很多立体几何的证明题一般都有多种解题答案，教师可以在平时教学的时候就有意识地培养学生学习的思维和能力，帮助学生扩宽思路，培养学生对题目题干条件的分析转化能力，提高学生的知识转化能力，帮助学生建立一个多角度解答问题的思维;最后，教师可以让学生多多动手，鼓励学生利用画图的手法进行学习。画图能力是立体几何学习的基础，也是学习立体几何的一个重要的手段。画图学习可以帮助学生建立起空间分析能力，能够更好地掌握一些立体几何的特点，还能够培养学生的多角度思维的能力，虽然这个学习方法比较麻烦，但是在实际教学中是非常有利的，能够帮助学生建立一个立体的观念，让学生能够对立体几何的相关理论具有一个认知，同时可以利用一些典型例题的解答帮助学生建立学习立体几何的信心，提高学生学习立体几何的积极性和主动性。
【参考文献】
[1]钱立卿.弗雷格与希尔伯特的几何学基础之争——兼论胡塞尔对几何学起源的分析[J].世界哲学，2015（2）：137-145
[2]徐兴国.关于高中立体几何公理化问题的思考——基于与《几何原本》的比较[J].教育研究与评论（课堂观察），2014（8）：14-17
[3]吴润东.关于高中立体几何学习心得的思考[J].中学课程辅导（教学研究），2017.11（29）：212-213
[4]陈盛武.高中数学立体几何的教学探讨[J].考试周刊，2018（33）：73
[5]韦能.如何提高高中数学立体几何的教学效果[J].中学课程辅导（教学研究），2015.9（31）：14-15
【关键词】《希尔伯特几何基础》;高中立体几何;公理分析
一、《希尔伯特几何基础》与高中立体几何公理
德国数学家希尔伯特（D.Hilbert，1862—1943）在1899年发表了他的名著《几何基础》一书，提出了一套完整而简洁的公理系统，根据这套系统不需要借助其他任何知识，可以直观导出全部欧氏几何的内容。希尔伯特的《几何基础》一书被公认为几何学中的经典著作，它标志着现代公理法的产生。
众所周知，研究几何首先要对研究对象起一个名词（或术语），即下定义。但根据逻辑的要求最原始的一个或几个名词是无法加以定义的，这些不加定义的几何对象被称作基本对象。经过深思熟虑后，希尔伯特把“点”“直线”“平面”作为基本对象不加定义，并把“点在直线上”“点在平面上”“一点在另两点之间”“线段合同（相等）”“角合角（相等）”作为不加定义的基本对象之间的关系，称为基本关系，对它们也不加以说明或解释。三个基本对象和五个基本关系统称为基本概念，除了这八个基本概念以外的任何几何对象、名词、术语、关系等都必须加以严格定义。而这些基本概念受下面五组（共20条）基本事实（即公理）制约。其中每一组表达了直观而简单的某种相互关系的基本事实，而这些基本事实是明显的，也是必要的，也不可能加以说明或证明。而其它的几何对象之间的关系、性质、命题等都必须用这些基本事实加以证明，所以我们把这些基本事实称为公理。笔者翻阅了多个版本的高中数学教材，包括人教A、B版，苏教版，沪教版，北师大版，湘教版等，发现其中关于立体几何的内容基本上都是由以下四个公理推理演变而来的。
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内;公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线;公理三：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面;公理四：平行于同一條直线的两条直线互相平行。这四条公理其实都是学生们初中的主要学习内容，最初的原因是因为学生刚刚步入高中，对于一些理论知识的掌握程度不够，所以需要一些基本的框架来进行把握，这样能够快速入门高中立体几何的知识并进行把握。而高中的立体几何知识最基本的就是一个空间概念的把握，所以这几个公理都是随着“点、线、面”的关系来进行展开的，方便理解，而且能够帮助孩子们快速建立一个基本的自信心，让他们能够拥有快速展开立体几何知识学习的能力。数学是一个比较重视逻辑思维的科目，无论是数学的哪一个部分的学习。高中立体几何更多的是对于空间想象能力还有逻辑思维能力的要求，也就是可以用最基本的点面线知识建立起一个空间想象能力。公理的存在就是将初中学习的基本理论知识当做公理，让学生们能够快速适应高中的立体几何学习，然后很快地摸索到学习的门路和学习的关键点进行学习。比如说：公理一，它主要是为了判断直线是否在平面内与点是否在平面内，这个判断是解决一些高中立体几何知识的基础，也是判断空间是否存在的基础;公理二帮助学生构架起空间概念，同时也提出了点共线的问题，提出了判断两个平面相交的证据，能够顺利地解决一些点线面的问题，构架一个空间立体感;公理三主要提供了如何确定一个平面的方法和判断若干个点是否在同一平面上的方面，是一个可以延伸很多理论的基础点，具有很强的理论衔接性;公理四主要指出平面几何和立体几何之间的共性，一些在平面几何中可以使用的观点，其实在立体几何中也可以运用，但是并不是所有的观念都可以利用。这只是一个可以发散思路的关键词，是一个基础，比如：可以利用平面几何来推导出立体几何的等角定理。
通过对这四个定理以及定理在不同教材中的运用分析可以发现，公理其实充当的是一个基本框架的作用，它是基础本源，简单直观，而且比较容易理解和记忆。在初学者刚刚接触到相关理论的时候，定理可以充当一个基石的作用，充分地将理论知识发展出来，帮助学生构建起立体几何知识学习的大楼，可以从立体几何的学习中去感受到理论知识和空间知识的美，感受到立体几何学习的魅力，而且还可以帮助初学者树立信心，让他们了解到立体几何其实是一门比较简单且有意义的学科，帮助他们建立学习的兴趣和自信心，让学生可以更加积极主动地进行学习。
二、高中立体几何公理化问题分析的教学意见
希尔伯特《几何基础》提出了数学的真理性等价于系统的相容性，即在某个公理体系下，推不出任何互相矛盾的命题，这是对数学系统的唯一要求，希尔伯特从研究机和基础开始提出了他的“形式主义”数学哲学观即数学是关于形式系统的科学。所以，教师在进行高中立体几何公理化问题的教学的时候，要坚持数学的真理性，进行数学教学的时候要注意教学案例的教学分析，这是典型案例教学的方法，坚持指导和典型教学同时进行的教学手段，培养学生的数学思维能力，让学生能够熟练掌握数学基本知识和基本解题思路，使学生能够对知识有一个明确的掌握。首先，在教授高中立体几何公理化问题的时候，在基础性教学之后先让学生对立体几何的公理化有一定的了解，能够建立一个基本的框架和认识，然后利用典型案例教学让学生能够细致地进行理论分析，帮助他们有效地建立一个立体的认识，对知识有一定的把握，培养学生的空间想象能力和立体几何思维能力，让学生可以利用理论知识的学习构建想象，然后培养出解题能力;其次，在对立体几何的问题进行解答的时候，可以给出一些多角度进行解题的题目，让学生发散思维去思考其他方向的解题思路，很多立体几何的证明题一般都有多种解题答案，教师可以在平时教学的时候就有意识地培养学生学习的思维和能力，帮助学生扩宽思路，培养学生对题目题干条件的分析转化能力，提高学生的知识转化能力，帮助学生建立一个多角度解答问题的思维;最后，教师可以让学生多多动手，鼓励学生利用画图的手法进行学习。画图能力是立体几何学习的基础，也是学习立体几何的一个重要的手段。画图学习可以帮助学生建立起空间分析能力，能够更好地掌握一些立体几何的特点，还能够培养学生的多角度思维的能力，虽然这个学习方法比较麻烦，但是在实际教学中是非常有利的，能够帮助学生建立一个立体的观念，让学生能够对立体几何的相关理论具有一个认知，同时可以利用一些典型例题的解答帮助学生建立学习立体几何的信心，提高学生学习立体几何的积极性和主动性。
【参考文献】
[1]钱立卿.弗雷格与希尔伯特的几何学基础之争——兼论胡塞尔对几何学起源的分析[J].世界哲学，2015（2）：137-145
[2]徐兴国.关于高中立体几何公理化问题的思考——基于与《几何原本》的比较[J].教育研究与评论（课堂观察），2014（8）：14-17
[3]吴润东.关于高中立体几何学习心得的思考[J].中学课程辅导（教学研究），2017.11（29）：212-213
[4]陈盛武.高中数学立体几何的教学探讨[J].考试周刊，2018（33）：73
[5]韦能.如何提高高中数学立体几何的教学效果[J].中学课程辅导（教学研究），2015.9（31）：14-15