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数学的精髓不在于知识本身，而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法.数学思想也是知识转化为能力的桥梁.学习概率知识，也要重视数学思想方法的应用.现将初中概率中常见的数学思想举例如下.
一、 方程思想
方程思想就是对所求的概率问题通过列方程（或方程组）求解的一种思想方法.
例1 一只口袋中放着若干个红球和白球，这两种球除了颜色以外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一个球，取出红球的概率是.
（1） 取出白球的概率是多少？
（2） 如果袋中的白球有18个，那么袋中的红球有多少个？
【分析】（1） 因为取出的球不是白球就是红球，所以P（取出白球） P（取出红球）=1；
（2） 设袋中有红球x个，由P（取出红球）=，可列出方程求解.
解：（1） P（取出白球）=1-P（取出红球） =1-=；
（2） 设袋中有红球x个，
根据题意，得=，
解得x=6，
所以袋中的红球有6个.
【点评】利用概率公式建立方程可以求解已知概率而其他量未知的计算问题，这是解决概率问题的常用方法.
二、 数形结合思想
“概率”的数形结合主要有：（1） 有列表法或画树状图法试验的等可能的结果数；（2） 几何图形中概率的问题；（3） 结合点所在的象限、函数图像等求概率问题；（4） 结合统计图表解决与概率有关的实际问题.
例2 如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4.现做如下实验：将转盘划分成4个相同的小扇形，并分别标上1，2，3，4.转动转盘两次，转盘停止后，指针所指向的数字作为平面直角坐标系中点P的坐标（第一次作为横坐标，第二次作为纵坐标），指针如果指向分界线上，则重新转动转盘.
（1） 请你用树状图或列表的方法，求P点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率；
（2） 将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为？若存在，指出一种具体的平移过程；若不存在，请说明理由.
【分析】先根据题意列出表格，得到构成点P的坐标有16种等可能的结果，其中落在正方形面上（含内部与边界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）共4种，所以点P落在正方形面上（含内部与边界）的概率是；若使点落在正方形面上的概率为，则只需有4个点不在正方形内部，并且点P的所有情况都是在第1象限，所以可以通过向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度或者向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，使点P落在正方形面上的概率为.
解：（1） 列表如下：
点P的坐标所有的情况有16种，其中落在正方形面上（含内部与边界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4种，所以点P落在正方形面上（含内部与边界）的概率是=.
（2） 略.
【点评】本题主要考查了概率的计算方法和正方形与平移的有关性质.要会根据正方形的性质得到所对应的点的坐标，利用列表法求符合条件的概率. 用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
三、 转化思想
在概率问题中，所有可能结果的概率之和等于1，因此求某个较复杂的随机事件或多个随机事件的概率之和时，可以先求出所有其他事件发生的概率，再用1减去这个概率，即可解决问题.
例3 一只不透明袋子中装有两个红球、3个黄球，4个绿球，这些球除颜色外都相同.小明搅匀后从中任意摸出一个球，这个球是红球或绿球的概率是_______.
【分析】摸出的是黄球和摸出的是红球或绿球的概率和为1，所以可以先求出摸出的是黄球的概率，再用1减去这个概率就是摸出的是红球或绿球的概率.
解：因为P（黄球）==，所以P（红球或绿球）=1-=.
【点评】本题也可以分别求出摸出红球和摸出绿球的概率，再相加便是摸出的是红球或绿球的概率.
四、 分类讨论思想
分类讨论思想在概率中的应用，主要体现在将所有可能的情况一一列举出来.
例4 某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张.从中随机取出两张纸币.
（1） 求取出纸币的总额是30元的概率；
（2） 求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率.
【分析】（1） 随机取出两张纸币的情形共有3种，即（10，20），（10，50），（20，50），其中取出纸币的总额是30的情况有1种. （2） 取出纸币的总额大于51的情况有两种.
解：（1） 随机取出2张纸币，共有3种情况，即（10，20），（10，50），（20，50），其中取出纸币的总额是30的情况有1种，
∴P（取出纸币的总额是30元的概率）=；
（2） 取出纸币的总额大于51的情况有两种，∴P（取出纸币的总额可购买一件51元的商品）=.
【点评】当符合要求的情形不止一种时，需要应用分类的思想来解答.
（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学）
一、 方程思想
方程思想就是对所求的概率问题通过列方程（或方程组）求解的一种思想方法.
例1 一只口袋中放着若干个红球和白球，这两种球除了颜色以外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一个球，取出红球的概率是.
（1） 取出白球的概率是多少？
（2） 如果袋中的白球有18个，那么袋中的红球有多少个？
【分析】（1） 因为取出的球不是白球就是红球，所以P（取出白球） P（取出红球）=1；
（2） 设袋中有红球x个，由P（取出红球）=，可列出方程求解.
解：（1） P（取出白球）=1-P（取出红球） =1-=；
（2） 设袋中有红球x个，
根据题意，得=，
解得x=6，
所以袋中的红球有6个.
【点评】利用概率公式建立方程可以求解已知概率而其他量未知的计算问题，这是解决概率问题的常用方法.
二、 数形结合思想
“概率”的数形结合主要有：（1） 有列表法或画树状图法试验的等可能的结果数；（2） 几何图形中概率的问题；（3） 结合点所在的象限、函数图像等求概率问题；（4） 结合统计图表解决与概率有关的实际问题.
例2 如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4.现做如下实验：将转盘划分成4个相同的小扇形，并分别标上1，2，3，4.转动转盘两次，转盘停止后，指针所指向的数字作为平面直角坐标系中点P的坐标（第一次作为横坐标，第二次作为纵坐标），指针如果指向分界线上，则重新转动转盘.
（1） 请你用树状图或列表的方法，求P点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率；
（2） 将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为？若存在，指出一种具体的平移过程；若不存在，请说明理由.
【分析】先根据题意列出表格，得到构成点P的坐标有16种等可能的结果，其中落在正方形面上（含内部与边界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）共4种，所以点P落在正方形面上（含内部与边界）的概率是；若使点落在正方形面上的概率为，则只需有4个点不在正方形内部，并且点P的所有情况都是在第1象限，所以可以通过向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度或者向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，使点P落在正方形面上的概率为.
解：（1） 列表如下：
点P的坐标所有的情况有16种，其中落在正方形面上（含内部与边界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4种，所以点P落在正方形面上（含内部与边界）的概率是=.
（2） 略.
【点评】本题主要考查了概率的计算方法和正方形与平移的有关性质.要会根据正方形的性质得到所对应的点的坐标，利用列表法求符合条件的概率. 用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
三、 转化思想
在概率问题中，所有可能结果的概率之和等于1，因此求某个较复杂的随机事件或多个随机事件的概率之和时，可以先求出所有其他事件发生的概率，再用1减去这个概率，即可解决问题.
例3 一只不透明袋子中装有两个红球、3个黄球，4个绿球，这些球除颜色外都相同.小明搅匀后从中任意摸出一个球，这个球是红球或绿球的概率是_______.
【分析】摸出的是黄球和摸出的是红球或绿球的概率和为1，所以可以先求出摸出的是黄球的概率，再用1减去这个概率就是摸出的是红球或绿球的概率.
解：因为P（黄球）==，所以P（红球或绿球）=1-=.
【点评】本题也可以分别求出摸出红球和摸出绿球的概率，再相加便是摸出的是红球或绿球的概率.
四、 分类讨论思想
分类讨论思想在概率中的应用，主要体现在将所有可能的情况一一列举出来.
例4 某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张.从中随机取出两张纸币.
（1） 求取出纸币的总额是30元的概率；
（2） 求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率.
【分析】（1） 随机取出两张纸币的情形共有3种，即（10，20），（10，50），（20，50），其中取出纸币的总额是30的情况有1种. （2） 取出纸币的总额大于51的情况有两种.
解：（1） 随机取出2张纸币，共有3种情况，即（10，20），（10，50），（20，50），其中取出纸币的总额是30的情况有1种，
∴P（取出纸币的总额是30元的概率）=；
（2） 取出纸币的总额大于51的情况有两种，∴P（取出纸币的总额可购买一件51元的商品）=.
【点评】当符合要求的情形不止一种时，需要应用分类的思想来解答.
（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学）