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【摘要】通过举例分析二次函数的图象与性质，创造性地探究它们的规律和解题方法。就能培养学生的创新意识和解题能力，使中考数学多一层保障。
【关键词】二次函数；抛物线；对称性；创新意识；实践能力
初中数学课程标准强调，要培养学生的创新意识和实践能力，在初中代数部分教学内容中，二次函数既是重点又是难点，在中考中往往作为考查学生的能力的主要对象，而在解题过程中经常用到其图象的对称性，而在这方面的内容教材提及很少，需要学生在老师的指导下，根据二次函数的图象与性质，创造性地探究关于抛物线对称性的一些规律和解题方法。下面根据自己二十多年的初中教学经验和体会，谈谈拋物线的对称性在解题中的应用及其对学生的创新意识和实践能力的培养。
众所周知，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是一条抛物线，它关于直线x= 对称。
我们必须首先引导学生探究这样一个规律：如何判别拋物线上的两个点是否是关于对称轴的对称点呢？设在抛物线y=ax2＋bx＋c上两个点A（x1,y1)、B（x2,y2）,如果 ,那么A、B两个点关于对称轴对称，这时y1=y2；反之，若y1=y2，则A、B关于对称轴对称，即有- .
下面通过三道典型的例题谈谈用以上知识解题的方法和技巧。
例1：如果二次函数的图象与x轴交于点（-2,0）、(-6,0)，求这个二次函数图象的对称轴。
解：很明显，这个二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是一条直线，根据抛物线的对称性，这条直线上的点的横坐标是-2、-6的平均数是-4，故这个二次函数的图象的对称轴是直线x=-4。
例2：已知一条抛线线的对称轴是x=4，且这条抛物线与 轴交点的距离为4，且这条抛物线经过点（5,12），求这条拋物线的函数关系式。
分析：按照已知条件是不能直接求出这条抛物线的函数式，根据抛物线的对称性，可以求出这条抛物线与x轴的两个交点的坐标，从而再加上已知的一个点的坐标，就可以把这条拋物线的解析式求出来。
解：设这条抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A点在B点的左边），如图
∵AB=4，且这条抛物线的对称轴是x=4，根据拋物线的对称性，则有A（2,0）、B(6,0)
设这条拋物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2),
依题意有y=a(x-2)(x-6)，
把x=5，y=12代入上式得：12=a(5-2)(5-6),
解得：a=-4.
∴这条抛物线的解析式为：y=-4(x-2)(x-6)，
即y=-4x2＋32x-48.
例3：如果拋物线y=ax2＋c，当x=x1，x=x2时，它的函数值相等，求当x=x1 x2时，它的函数值。
分析：这里关键的问题是x1 x2的值是多少，因为当当x=x1，x=x2时，它的函数值相等，不妨设这个函数值为y0，明显这条抛物线经过点(x1,y0)、(x2,y0)，因为这两个点的纵坐标相等，故这两个点是关于这条抛物线对称轴的对称，点则有则 ,则x1 x2=0,把x=0代入y=ax2＋c得y=c.
解：∵抛物线y=ax2＋c,时，它的当x=x1，x=x2时，它的函数值相等，设这个相等的函数值是 ，则这条抛物线一定经过点(x1,y0)、(x2,y0)，∴这两个点是关于这条拋线的对称轴的对称点，而这条抛物线的对称轴是x=0，∴ =0,即x1 x2=0,把x=0代入y=ax2＋c得y=c，即当x= x1 x2时，其函数值是c。
上述例题在教学中可采取让学生探究、讨论等方法， 然后再让学生创造性地总结以上规律，再用这个规律解决其他问题。下面再通过一些例题看抛物线对称性的应用的广泛。
例4：如图，已知抛物线y= x2＋px＋q(q≠0)与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于C点，且OA=OB,BC∥x轴，求p和q的值。
分析：求p的值，只要求出这条抛物线的对称轴就可。
解： 得： ,
设上方程的两个实数根为x1、x2,
即A、B两点的横坐标分别为x1、x2，
∵OA=OB,故A、B两点是关于原点的对称，∴x1=-x2,即x1 x2=0。
∵BC∥x轴，很明显，B、C两点是关于直线x1=-1的对称，而C点的横坐标是0，∴由对称性可知B点的横坐标是-2。
又∵点在直线y=x上，∴B的坐标是B(-2,-2),∴C点的横坐标为C(0,-2),∴q=-2。
这道题使学生在上述知识基础上继续创新，总结出这样的一个结论：那就是如果一条直线与y轴平行且与一条抛物线交于两点，则这两点一定是关于这条拋物线的对称轴的对称。
以上例子是二次函数的对称性在解题中应用的典型，在教学上，必须引导学生在解关于二次函数和二次方程的题目时特别要注意抛物线对称性的应用，有的题用之则很简单，不用之非常繁或根本解不出来，这方面的知识中考复习时可作为专题，通过这方面的教学，培养创新意识和探究能力。
参考文献
[1]陈灼林.谈抛物线对称性的应用与学生创新意识的培养[J].武汉市教育科学研究院学报
[2]2006二次函数复习.互联网-道客巴巴-生活指南
[3]江思容[1]王益[2].解数学探索性问题的八种策略[J].中学数学教育：中学教师版
【关键词】二次函数；抛物线；对称性；创新意识；实践能力
初中数学课程标准强调，要培养学生的创新意识和实践能力，在初中代数部分教学内容中，二次函数既是重点又是难点，在中考中往往作为考查学生的能力的主要对象，而在解题过程中经常用到其图象的对称性，而在这方面的内容教材提及很少，需要学生在老师的指导下，根据二次函数的图象与性质，创造性地探究关于抛物线对称性的一些规律和解题方法。下面根据自己二十多年的初中教学经验和体会，谈谈拋物线的对称性在解题中的应用及其对学生的创新意识和实践能力的培养。
众所周知，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是一条抛物线，它关于直线x= 对称。
我们必须首先引导学生探究这样一个规律：如何判别拋物线上的两个点是否是关于对称轴的对称点呢？设在抛物线y=ax2＋bx＋c上两个点A（x1,y1)、B（x2,y2）,如果 ,那么A、B两个点关于对称轴对称，这时y1=y2；反之，若y1=y2，则A、B关于对称轴对称，即有- .
下面通过三道典型的例题谈谈用以上知识解题的方法和技巧。
例1：如果二次函数的图象与x轴交于点（-2,0）、(-6,0)，求这个二次函数图象的对称轴。
解：很明显，这个二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是一条直线，根据抛物线的对称性，这条直线上的点的横坐标是-2、-6的平均数是-4，故这个二次函数的图象的对称轴是直线x=-4。
例2：已知一条抛线线的对称轴是x=4，且这条抛物线与 轴交点的距离为4，且这条抛物线经过点（5,12），求这条拋物线的函数关系式。
分析：按照已知条件是不能直接求出这条抛物线的函数式，根据抛物线的对称性，可以求出这条抛物线与x轴的两个交点的坐标，从而再加上已知的一个点的坐标，就可以把这条拋物线的解析式求出来。
解：设这条抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A点在B点的左边），如图
∵AB=4，且这条抛物线的对称轴是x=4，根据拋物线的对称性，则有A（2,0）、B(6,0)
设这条拋物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2),
依题意有y=a(x-2)(x-6)，
把x=5，y=12代入上式得：12=a(5-2)(5-6),
解得：a=-4.
∴这条抛物线的解析式为：y=-4(x-2)(x-6)，
即y=-4x2＋32x-48.
例3：如果拋物线y=ax2＋c，当x=x1，x=x2时，它的函数值相等，求当x=x1 x2时，它的函数值。
分析：这里关键的问题是x1 x2的值是多少，因为当当x=x1，x=x2时，它的函数值相等，不妨设这个函数值为y0，明显这条抛物线经过点(x1,y0)、(x2,y0)，因为这两个点的纵坐标相等，故这两个点是关于这条抛物线对称轴的对称，点则有则 ,则x1 x2=0,把x=0代入y=ax2＋c得y=c.
解：∵抛物线y=ax2＋c,时，它的当x=x1，x=x2时，它的函数值相等，设这个相等的函数值是 ，则这条抛物线一定经过点(x1,y0)、(x2,y0)，∴这两个点是关于这条拋线的对称轴的对称点，而这条抛物线的对称轴是x=0，∴ =0,即x1 x2=0,把x=0代入y=ax2＋c得y=c，即当x= x1 x2时，其函数值是c。
上述例题在教学中可采取让学生探究、讨论等方法， 然后再让学生创造性地总结以上规律，再用这个规律解决其他问题。下面再通过一些例题看抛物线对称性的应用的广泛。
例4：如图，已知抛物线y= x2＋px＋q(q≠0)与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于C点，且OA=OB,BC∥x轴，求p和q的值。
分析：求p的值，只要求出这条抛物线的对称轴就可。
解： 得： ,
设上方程的两个实数根为x1、x2,
即A、B两点的横坐标分别为x1、x2，
∵OA=OB,故A、B两点是关于原点的对称，∴x1=-x2,即x1 x2=0。
∵BC∥x轴，很明显，B、C两点是关于直线x1=-1的对称，而C点的横坐标是0，∴由对称性可知B点的横坐标是-2。
又∵点在直线y=x上，∴B的坐标是B(-2,-2),∴C点的横坐标为C(0,-2),∴q=-2。
这道题使学生在上述知识基础上继续创新，总结出这样的一个结论：那就是如果一条直线与y轴平行且与一条抛物线交于两点，则这两点一定是关于这条拋物线的对称轴的对称。
以上例子是二次函数的对称性在解题中应用的典型，在教学上，必须引导学生在解关于二次函数和二次方程的题目时特别要注意抛物线对称性的应用，有的题用之则很简单，不用之非常繁或根本解不出来，这方面的知识中考复习时可作为专题，通过这方面的教学，培养创新意识和探究能力。
参考文献
[1]陈灼林.谈抛物线对称性的应用与学生创新意识的培养[J].武汉市教育科学研究院学报
[2]2006二次函数复习.互联网-道客巴巴-生活指南
[3]江思容[1]王益[2].解数学探索性问题的八种策略[J].中学数学教育：中学教师版