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习题教学是数学教学过程中不可缺少的环节，是向学生展示应用基础知识解决问题的窗口，是向学生渗透数学思想方法，传播解题技巧技能的途径. 因此我们要关注习题教学过程的设计，俯视问题——用活问题，仰视学生——以生为本，激励学生养成善于研究、善于思考的习惯，培养学生学会以整体、联系、动态的观点进行思考，通过师生的共同探究归纳出解题的通法，使隐性、零碎的解题经验显性化、系统化，追求解题教学的效益最大化.
一、一道习题的教学片段
题目：如图1，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=6■，那么AC的长等于 .
1.反思题意忆关联：让学生获得合理的“经历”
师：看看这段文字给我们什么信息，比如Rt△ABC，你会回忆与其相关联的哪些因素？
生1：Rt△ABC想到勾股定理，正方形BCEF的中心为O，想到正方形的对角线相等且互相垂直平分，可得到△BOC为等腰直角三角形.
生2：已知AB，AO的长度求AC的长度，我会尝试利用勾股定理加以计算，但是由于Rt△ABC中仅确定AB一边，BC边不确定导致了正方形BCEF的不确定、O点的不确定、△BOC的不确定，所以我考虑设未知数解方程组来试试.
师：根据已有信息，不妨试一试.
生3：设AC=x，则BC=■，OB=OC=■，虽然可用含x的代数式表示相关的线段，但是很难与已知AO=
6■之间建立关系.
生4：如图2，以O为原点，OC，OB分别为x，y轴建立直角坐标系，利用两点间距离公式可将AO，AB，AC，BC表示出来，设C（a，0），B（0，a），A（x，y），则x2+y2=72，x2+（y-a）2=16，（x-a）2+y2=2a2-16，
得y=■；x=■. ∴（■）2+（■）2=72，化简整理得a4-176a2+5440=0，解得a2=136（a2=40不合题意，舍去）. ∴AC=■=16.
解题时需要从辨认出某个已给的因素开始，逐一回忆起一些关联的因素，进而从我们的记忆中把有关的条款提取出来，并对可能的结果与解题的方法进行直觉的猜测.虽然计算烦琐，但是运用方程思想的思考有其合理的成分，通过利用勾股定理计算直角三角形中的线段长度是一种非常重要的常用策略. 如果直接说这种思路行不通或很难突破或很麻烦，这对促进学生的系统思考并无多大益处.
2.反思烦琐辟蹊径：让学生获得优化的“经历”
生（众）：计算太烦琐，估计此题应该还有简捷方法.
师：依题意，题设中除了想到常用的勾股定理，是否还有信息呢？
生5：由∠BAC=90°，∠BOC=90°，得∠OBA=∠OCA，还有OB=OC，这里的角相等，边相等，是否有三角形全等呢？
师：已有一条边和一个角分别相等，那如何添辅助线构造全等三角形呢？
生6：如图3，在AC上截取CG=AB，连结OG，利用“SAS”证明△ABO≌△GCO，∴∠AOB=∠GOC，AO=GO；然后求出∠AOG=∠BOC=90°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴AG=12，∴AC=AG+CG=16.
生7：如图3，过点O作GO⊥AO交AC于点G，根据同角的余角相等求出∠AOB=∠GOC，利用“ASA”证明△ABO≌△GCO，∴CG=AB，AO=GO；∴△AOG是等腰直角三角形，∴AG=12，∴AC=16.
生8：如图4，延长BA使BG=CA，连结OG，利用“SAS”证明△GBO≌△ACO，∴∠GOB=∠AOC，GO=AO；然后求出∠AOG=∠BOC=90°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴AG=12，∴ BG=BA+AG=16，即AC=16.
生9：如图4，过点O作GO⊥AO交BA的延长线于点G，∴∠BOG=90°+∠BOA=∠AOC，利用“ASA”证明△BOG≌△COA，∴BG=AC，GO=AO；∴△AOG是等腰直角三角形，∴AG=12，∴ BG=BA+AG=16，即AC=16.
相比解析法，如此思考，时效大为提高. ∠OBA=∠OCA与OB=OC的一角一边分别相等的发现，构造全等三角形也许会柳暗花明，经过尝试验证便是顺水推舟、水到渠成，是解析法的优化与完善. 因此，如果陷入“烦琐”的境地，不要一味硬闯，要学会回旋或回头.
3.反思过程求创新：让学生获得感悟的“经历”
师：在上述构造全等三角形的方法中，不论截长还是补短，△AOG是等腰直角三角形，那你对这一结论有什么要说的吗？
生10：题设所得的信息中△BOC为等腰直角三角形，可联系∠OAC与∠OBC的相等关系.
师：不构造全等三角形能找到∠OAC与∠OBC的相等关系吗？
生11：由∠BOC=∠BAC=90°得A，O，C，B四点共圆，根据圆周角定理可得∠OAC=∠OBC=45°.
师：由AO=6■，∠OAC=45°，那你又有什么想法吗？
生12：如图5，作高线构造等腰直角三角形，过点O作OH⊥AC，垂足为H，∴AH=OH=6，由△ABG∽△HOG得AG=■，HG=■.∴BG=■■，OG=■■，BO=2■，BC=4■，∴AC=16.
生13：如图6，过点C作CH⊥AO，垂足为H，△ACH为等腰直角三角形，由△COH∽△CBA，得■=■=■，∴OH =2■∴AH=CH=8■，∴AC=16.
生14：如图7，过点O作OH⊥BA，垂足为H，△AOH为等腰直角三角形，∴AH=OH=6，BH=10，BO=2■，BC=4■，∴AC=16.
生15：如图8，过点B作BH⊥OA，垂足为H，△ABH为等腰直角三角形，BH=AH=2■，OH=8■，由△BOH∽△BCA，得■=■=■，∴AC=16. 截长补短构造全等三角形的解法后，反思得出题中隐含着∠OAC=∠OBA=45°的条件后，十分自然与流畅地想到构造等腰直角三角形，又是“花开满堂并未圆”的状态. 因此解题后的反思是解题活动中不可缺少的一环，是提升数学思维创新能力的“催化剂”，也是强化和丰富学生的学习经验和扩大解题效益的有效途径.
4.反思思维增智慧：让学生获得提升的“经历”
师：这四种方法是怎么想到的？这些辅助线有什么共同特点？与前四种方法有什么不同？
生16：这四种方法是充分利用∠BOC=∠BAC=90°而隐含A，O，C，B四点共圆的条件；这些辅助线都是充分利用45°这一特殊角而构造等腰直角三角形；前四种是先构造全等三角形而发现问题中蕴含着等腰直角三角形.
师：做完此题后你有什么收获？
生17：解题如果停留在对条件和结论的孤立的思考阶段，很难进一步发现它们之间的内在联系.
生18：解题要善于发现题目中的“蛛丝马迹”，善于根据切入点进行突破，善于如何寻找作辅助线的切入点.
师：做完此题后你有什么新的想法？
生19：根据计算的过程与结果可发现AB，AO，AC满足AC-AB=■AO.
生20：将计算题改为探究题，去掉AB=4，AO=
6■，其他条件不变，请探究AB，AO，AC三者之间的关系.
生21：如图9，将同侧作正方形BCEF的条件改为异侧作正方形BCEF，AB，AO，AC三者之间又有何关系？
生22：如图10，将同侧作正方形BCEF的条件改为同侧作∠CBF=60°的菱形BCEF，AB，AO，AC三者之间又有何关系？
生23：如图11，将同侧作正方形BCEF的条件改为异侧作∠BCE=60°的菱形BCEF，AB，AO，AC三者之间又有何关系？
回顾解法，反思解题的关键，熔炼作辅助线的切入点，析离AB，AO，AC三者之间的关系，去“形”留“神”的变式，不仅有助于学生更深刻地认识问题的本质，真正明白它的“心”，而且这些探究形式背后的解题思维也上升到理性层面，久而久之便形成可持续发展的数学解题技巧和数学解题能力.
二、从教后的思考中品悟收获
1.解题教学应让学生获得有价值的“经历”
对每个学生来说，不论过程怎么样，每一次“经历”都是值得拥有，都具有不可替代的价值.为此，数学教师在讲题目的时候，千万不能直接把答案写在黑板上，让学生看懂就行了，这样的教学过程只注重知识的强化，没有锻炼学生的思维和自主解决问题的能力. 解题教学要把“学”的权利交还给学生，应注重过程反思，凸现体验感悟，让学生亲身经历数学知识的形成过程，经历丰富而生动的思维活动过程，经历实践和创新的过程，为学生的终身学习和可持续发展打下基础.
2.解题教学应追求“成果扩大”
教师不仅应根据学生已有的知识结构构建新的知识系统，成为数学教学过程中的积极参与者，而且应做到解题策略层面上的宏观把握与解法探索上的微观分析相结合，不失时机地抓住学生已获得的经验、探究的收获、规律的形成，应及时推广、应用，起到复习巩固已知，指导探究未知. 这样能帮助学生“举一反三”、“做一题，会一类，通一片”. “成果扩大”的前提是教学预设，“成果扩大”的追求是回顾反思，使教与学真正达到“见树木更要见森林”的境界.
3.解题教学应注重反思，提升思维能力
解题显然是一种认知操作，但同时也是一种思维过程，总是和思维联系在一起的，因此注重解题反思及问题解决的思维过程对思维品质发展的促进作用是必然的. 荷兰著名数学家弗赖登塔尔指出：反思是数学思维活动的核心和动力，通过反思才能使现实世界数学化. 可见解题反思在数学教学中有着相当重要的作用，教师应为学生搭建数学学习的典型框架，让学生主动地参与深层次的思维活动，形成基本的数学观念，为学生的长远发展踩下一层真实的脚印.
一、一道习题的教学片段
题目：如图1，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=6■，那么AC的长等于 .
1.反思题意忆关联：让学生获得合理的“经历”
师：看看这段文字给我们什么信息，比如Rt△ABC，你会回忆与其相关联的哪些因素？
生1：Rt△ABC想到勾股定理，正方形BCEF的中心为O，想到正方形的对角线相等且互相垂直平分，可得到△BOC为等腰直角三角形.
生2：已知AB，AO的长度求AC的长度，我会尝试利用勾股定理加以计算，但是由于Rt△ABC中仅确定AB一边，BC边不确定导致了正方形BCEF的不确定、O点的不确定、△BOC的不确定，所以我考虑设未知数解方程组来试试.
师：根据已有信息，不妨试一试.
生3：设AC=x，则BC=■，OB=OC=■，虽然可用含x的代数式表示相关的线段，但是很难与已知AO=
6■之间建立关系.
生4：如图2，以O为原点，OC，OB分别为x，y轴建立直角坐标系，利用两点间距离公式可将AO，AB，AC，BC表示出来，设C（a，0），B（0，a），A（x，y），则x2+y2=72，x2+（y-a）2=16，（x-a）2+y2=2a2-16，
得y=■；x=■. ∴（■）2+（■）2=72，化简整理得a4-176a2+5440=0，解得a2=136（a2=40不合题意，舍去）. ∴AC=■=16.
解题时需要从辨认出某个已给的因素开始，逐一回忆起一些关联的因素，进而从我们的记忆中把有关的条款提取出来，并对可能的结果与解题的方法进行直觉的猜测.虽然计算烦琐，但是运用方程思想的思考有其合理的成分，通过利用勾股定理计算直角三角形中的线段长度是一种非常重要的常用策略. 如果直接说这种思路行不通或很难突破或很麻烦，这对促进学生的系统思考并无多大益处.
2.反思烦琐辟蹊径：让学生获得优化的“经历”
生（众）：计算太烦琐，估计此题应该还有简捷方法.
师：依题意，题设中除了想到常用的勾股定理，是否还有信息呢？
生5：由∠BAC=90°，∠BOC=90°，得∠OBA=∠OCA，还有OB=OC，这里的角相等，边相等，是否有三角形全等呢？
师：已有一条边和一个角分别相等，那如何添辅助线构造全等三角形呢？
生6：如图3，在AC上截取CG=AB，连结OG，利用“SAS”证明△ABO≌△GCO，∴∠AOB=∠GOC，AO=GO；然后求出∠AOG=∠BOC=90°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴AG=12，∴AC=AG+CG=16.
生7：如图3，过点O作GO⊥AO交AC于点G，根据同角的余角相等求出∠AOB=∠GOC，利用“ASA”证明△ABO≌△GCO，∴CG=AB，AO=GO；∴△AOG是等腰直角三角形，∴AG=12，∴AC=16.
生8：如图4，延长BA使BG=CA，连结OG，利用“SAS”证明△GBO≌△ACO，∴∠GOB=∠AOC，GO=AO；然后求出∠AOG=∠BOC=90°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴AG=12，∴ BG=BA+AG=16，即AC=16.
生9：如图4，过点O作GO⊥AO交BA的延长线于点G，∴∠BOG=90°+∠BOA=∠AOC，利用“ASA”证明△BOG≌△COA，∴BG=AC，GO=AO；∴△AOG是等腰直角三角形，∴AG=12，∴ BG=BA+AG=16，即AC=16.
相比解析法，如此思考，时效大为提高. ∠OBA=∠OCA与OB=OC的一角一边分别相等的发现，构造全等三角形也许会柳暗花明，经过尝试验证便是顺水推舟、水到渠成，是解析法的优化与完善. 因此，如果陷入“烦琐”的境地，不要一味硬闯，要学会回旋或回头.
3.反思过程求创新：让学生获得感悟的“经历”
师：在上述构造全等三角形的方法中，不论截长还是补短，△AOG是等腰直角三角形，那你对这一结论有什么要说的吗？
生10：题设所得的信息中△BOC为等腰直角三角形，可联系∠OAC与∠OBC的相等关系.
师：不构造全等三角形能找到∠OAC与∠OBC的相等关系吗？
生11：由∠BOC=∠BAC=90°得A，O，C，B四点共圆，根据圆周角定理可得∠OAC=∠OBC=45°.
师：由AO=6■，∠OAC=45°，那你又有什么想法吗？
生12：如图5，作高线构造等腰直角三角形，过点O作OH⊥AC，垂足为H，∴AH=OH=6，由△ABG∽△HOG得AG=■，HG=■.∴BG=■■，OG=■■，BO=2■，BC=4■，∴AC=16.
生13：如图6，过点C作CH⊥AO，垂足为H，△ACH为等腰直角三角形，由△COH∽△CBA，得■=■=■，∴OH =2■∴AH=CH=8■，∴AC=16.
生14：如图7，过点O作OH⊥BA，垂足为H，△AOH为等腰直角三角形，∴AH=OH=6，BH=10，BO=2■，BC=4■，∴AC=16.
生15：如图8，过点B作BH⊥OA，垂足为H，△ABH为等腰直角三角形，BH=AH=2■，OH=8■，由△BOH∽△BCA，得■=■=■，∴AC=16. 截长补短构造全等三角形的解法后，反思得出题中隐含着∠OAC=∠OBA=45°的条件后，十分自然与流畅地想到构造等腰直角三角形，又是“花开满堂并未圆”的状态. 因此解题后的反思是解题活动中不可缺少的一环，是提升数学思维创新能力的“催化剂”，也是强化和丰富学生的学习经验和扩大解题效益的有效途径.
4.反思思维增智慧：让学生获得提升的“经历”
师：这四种方法是怎么想到的？这些辅助线有什么共同特点？与前四种方法有什么不同？
生16：这四种方法是充分利用∠BOC=∠BAC=90°而隐含A，O，C，B四点共圆的条件；这些辅助线都是充分利用45°这一特殊角而构造等腰直角三角形；前四种是先构造全等三角形而发现问题中蕴含着等腰直角三角形.
师：做完此题后你有什么收获？
生17：解题如果停留在对条件和结论的孤立的思考阶段，很难进一步发现它们之间的内在联系.
生18：解题要善于发现题目中的“蛛丝马迹”，善于根据切入点进行突破，善于如何寻找作辅助线的切入点.
师：做完此题后你有什么新的想法？
生19：根据计算的过程与结果可发现AB，AO，AC满足AC-AB=■AO.
生20：将计算题改为探究题，去掉AB=4，AO=
6■，其他条件不变，请探究AB，AO，AC三者之间的关系.
生21：如图9，将同侧作正方形BCEF的条件改为异侧作正方形BCEF，AB，AO，AC三者之间又有何关系？
生22：如图10，将同侧作正方形BCEF的条件改为同侧作∠CBF=60°的菱形BCEF，AB，AO，AC三者之间又有何关系？
生23：如图11，将同侧作正方形BCEF的条件改为异侧作∠BCE=60°的菱形BCEF，AB，AO，AC三者之间又有何关系？
回顾解法，反思解题的关键，熔炼作辅助线的切入点，析离AB，AO，AC三者之间的关系，去“形”留“神”的变式，不仅有助于学生更深刻地认识问题的本质，真正明白它的“心”，而且这些探究形式背后的解题思维也上升到理性层面，久而久之便形成可持续发展的数学解题技巧和数学解题能力.
二、从教后的思考中品悟收获
1.解题教学应让学生获得有价值的“经历”
对每个学生来说，不论过程怎么样，每一次“经历”都是值得拥有，都具有不可替代的价值.为此，数学教师在讲题目的时候，千万不能直接把答案写在黑板上，让学生看懂就行了，这样的教学过程只注重知识的强化，没有锻炼学生的思维和自主解决问题的能力. 解题教学要把“学”的权利交还给学生，应注重过程反思，凸现体验感悟，让学生亲身经历数学知识的形成过程，经历丰富而生动的思维活动过程，经历实践和创新的过程，为学生的终身学习和可持续发展打下基础.
2.解题教学应追求“成果扩大”
教师不仅应根据学生已有的知识结构构建新的知识系统，成为数学教学过程中的积极参与者，而且应做到解题策略层面上的宏观把握与解法探索上的微观分析相结合，不失时机地抓住学生已获得的经验、探究的收获、规律的形成，应及时推广、应用，起到复习巩固已知，指导探究未知. 这样能帮助学生“举一反三”、“做一题，会一类，通一片”. “成果扩大”的前提是教学预设，“成果扩大”的追求是回顾反思，使教与学真正达到“见树木更要见森林”的境界.
3.解题教学应注重反思，提升思维能力
解题显然是一种认知操作，但同时也是一种思维过程，总是和思维联系在一起的，因此注重解题反思及问题解决的思维过程对思维品质发展的促进作用是必然的. 荷兰著名数学家弗赖登塔尔指出：反思是数学思维活动的核心和动力，通过反思才能使现实世界数学化. 可见解题反思在数学教学中有着相当重要的作用，教师应为学生搭建数学学习的典型框架，让学生主动地参与深层次的思维活动，形成基本的数学观念，为学生的长远发展踩下一层真实的脚印.