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一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1.i是虚数单位，计算i+i2+i3=_________.
2.平面向量a与b的夹角为60°，a=（2，0），|b|=1，则|a+2b|=_________.
3.设两个非零向量a与b不共线，若ka+b和a+kb共线，则实数k=_________.
4.i是虚数单位，复数-1+3i1+2i=_________.
5.已知向量a=（1，2），b=（2，-3）.若向量c满足（c+a）∥b，c⊥（a+b），则c=_________.
6.设复数z满足z（2-3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为_________.
7.在平行四边形ABCD中， E和F分别是边CD和BC的中点.若AC=λAE+μAF，其中λ，μ∈R，则λ+μ=_________.
8.已知复数z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i，它们所对应的点分别为A，B，C.若OC=xOA+yOB（x，y∈R），则x+y的值是_________.
9.已知向量a=（1，-2），b=（2，λ），且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________.
10.定义运算：acbd=ad-bc，复数z满足zi1i=1+i，则z=_________.
11.在三角形△ABC中，AB=3，BC=7，AC=2.若O是△ABC的外心，则OB·OC=_________.
12.已知复数z满足|z-2|=1，则|z+2+5i|的最大值为_________，最小值为_________.
13.设△ABC的内角为A、B、C，向量m=（sinA，32），n=（1，sinA+3cosA），若m∥n，则A=_________.
14.如图在△ABC中，设AB=a，AC=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若AP=ma+nb，则m+n=_________.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
已知z∈C，且|z|-i=z+2+3i（i为虚数单位），求z2+i.
16.（本小题满分14分）
已知向量a=（1，-2），b=（2，3）.
（1）若（3a-b）∥（a+kb），求k的值；
（2）若a⊥（ma-b），求m的值；
（3）若a与b夹角为θ，求θ的正切值.
17.（本小题满分14分）
已知△ABC的面积S满足3≤S≤33，且AB·BC=6，AB与BC的夹角为θ.
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθ·cosθ+3cos2θ的最大值.
18.（本小题满分16分）
设向量OZ=（log2（m2-3m-3），log2（m-2））（m∈R）对应的复数为z.
（1）若OZ在虚轴上，求实数m的值及|OZ|；
（2）若OZ在第二象限内移动，求m的取值范围；
（3）若OZ的终点Z在直线x-2y+1=0上，求m的值.
19.（本小题满分16分）
已知向量a，b，满足|a|=1，|b|=1，|ka+b|=3|a-kb|，k>0，
（1）用k表示a·b，并求a与b的夹角θ的最大值；
（2）如果a∥b，求实数k的值.
20.（本小题满分16分）
在△OAB中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，
（1）用a，b表示OM；
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设OE=pOA，OF=qOB，求1p+3q的值.
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.
1. -1. 2. 23. 3. ±1. 4. 1+i. 5. （-79，-73）. 6. 2. 7. 43.
8. 5. 9. （-∞，-4）∪（-4，1）. 10. 2-i. 11. -76. 12. 41+1，41-1.
13. π3. 14. 67.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
解析：设z=x+yi （x，y∈R），代入得x2+y2-i=x-yi+2+3i，即x2+y2=x+2-1=-y+3，
解得x=3y=4，所以z=3+4i，所以z2+i=3+4i2+i=（3+4i）（2-i）（2+i）（2-i）=2+i.
16.（本小题满分14分）
解析：（1）∵a=（1，-2），b=（2，3），
∴3a-b=3（1，-2）-（2，3）=（1，-9），a+kb=（1，-2）+k（2，3）=（1+2k，-2+3k）.
∵（3a-b）∥（a+kb），∴-9（1+2k）=-2+3k，∴k=-13.
（2）∵ma-b=（m-2，-2m-3），由a⊥（ma-b），得
1×（m-2）-2×（-2m-3）=0，∴m=-45.
（3）∵a=（1，-2），b=（2，3），∴a·b=-4，|a|=5，|b|=13，
∴cosθ=-465，∴sinθ=765，∴tanθ=-74.
17.（本小题满分14分）
解析：（1）由题意知：AB·BC=|AB||BC|cosθ=6，
S=12|AB||BC|sin（π-θ）=12|AB||BC|sinθ=12|AB||BC|cosθtanθ
=12×6tanθ=3tanθ ∵3≤S≤33，∴3≤3tanθ≤33，∴1≤tanθ≤3
又θ∈[0，π]，∴θ∈[π4，π3].
（2）f（θ）=sin2θ+2sinθ·cosθ+3cos2θ=1+sin2θ+2cos2θ
=sin2θ+cos2θ+2=2sin（2θ+π4）+2
∵θ∈[π4，π3]，∴2θ+π4∈[3π4，11π12]，
∴2θ+π4=3π4，即θ=π4时fmax=f（π4）=3.
18.（本小题满分16分）
解析：由题意得m应满足的条件为m2-3m-3>0m-2>0，解得m>3+212.
（1）由题意知log2（m2-3m-3）=0，即m2-3m-3=1，解得m=-1或m=4.又m>3+212得m=4，此时OZ=（0，1），所以|OZ|=1；
（2）由题意可得log2（m2-3m-3）<0log2（m-2）>0，解得33+212，所以m∈（3+212，4）.
（3）由题意得log2（m2-3m-3）-2log2（m-2）+1=0，解得m=1+11或m=1-11，
又m>3+212，所以m=1+11.
19.（本小题满分16分）
解析：（1）|ka+b|=3|a-kb|（ka+b）2=3（a-kb）2
即∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2a·b=k2+14k
∵a·b=14（k+1k）≥12， 此时cosθ=a·b|a||b|=a·b≥12θmax=60°.
（2）∵a∥b，∴a与b夹角为0°或180°
a·b=|a||b|cosθ=±1|k2+14k|=1，又∵k>0， ∴k2+1=4kk=2±3.
20.（本小题满分16分）
解析：（1）设OM=ma+nb，
则AM=OM-OA=（m-1）a+nb，AD=OD-OA=-a+12b.
∵点A、M、D共线，∴AM与AD共线，
∴m-1-1=n12，∴m+2n=1. ①
而CM=OM-OC=（m-14）a+nb，
CB=OB-OC=-14a+b，
∵C、M、B三点共线，∴CM与CB共线，
∴m-14-14=n1，∴4m+n=1. ②
联立①②可得m=17，n=37，∴OM=17a+37b.
（2）证明：EM=（17-p）a+37b，EF=-pa+qb，
∵EF与EM共线，∴17-p-p=37q.∴17q-pq=-37p，即17p+37q=1.1p+3q=7.
（作者：谢洪涛，江苏省丹阳高级中学）
1.i是虚数单位，计算i+i2+i3=_________.
2.平面向量a与b的夹角为60°，a=（2，0），|b|=1，则|a+2b|=_________.
3.设两个非零向量a与b不共线，若ka+b和a+kb共线，则实数k=_________.
4.i是虚数单位，复数-1+3i1+2i=_________.
5.已知向量a=（1，2），b=（2，-3）.若向量c满足（c+a）∥b，c⊥（a+b），则c=_________.
6.设复数z满足z（2-3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为_________.
7.在平行四边形ABCD中， E和F分别是边CD和BC的中点.若AC=λAE+μAF，其中λ，μ∈R，则λ+μ=_________.
8.已知复数z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i，它们所对应的点分别为A，B，C.若OC=xOA+yOB（x，y∈R），则x+y的值是_________.
9.已知向量a=（1，-2），b=（2，λ），且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________.
10.定义运算：acbd=ad-bc，复数z满足zi1i=1+i，则z=_________.
11.在三角形△ABC中，AB=3，BC=7，AC=2.若O是△ABC的外心，则OB·OC=_________.
12.已知复数z满足|z-2|=1，则|z+2+5i|的最大值为_________，最小值为_________.
13.设△ABC的内角为A、B、C，向量m=（sinA，32），n=（1，sinA+3cosA），若m∥n，则A=_________.
14.如图在△ABC中，设AB=a，AC=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若AP=ma+nb，则m+n=_________.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
已知z∈C，且|z|-i=z+2+3i（i为虚数单位），求z2+i.
16.（本小题满分14分）
已知向量a=（1，-2），b=（2，3）.
（1）若（3a-b）∥（a+kb），求k的值；
（2）若a⊥（ma-b），求m的值；
（3）若a与b夹角为θ，求θ的正切值.
17.（本小题满分14分）
已知△ABC的面积S满足3≤S≤33，且AB·BC=6，AB与BC的夹角为θ.
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθ·cosθ+3cos2θ的最大值.
18.（本小题满分16分）
设向量OZ=（log2（m2-3m-3），log2（m-2））（m∈R）对应的复数为z.
（1）若OZ在虚轴上，求实数m的值及|OZ|；
（2）若OZ在第二象限内移动，求m的取值范围；
（3）若OZ的终点Z在直线x-2y+1=0上，求m的值.
19.（本小题满分16分）
已知向量a，b，满足|a|=1，|b|=1，|ka+b|=3|a-kb|，k>0，
（1）用k表示a·b，并求a与b的夹角θ的最大值；
（2）如果a∥b，求实数k的值.
20.（本小题满分16分）
在△OAB中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，
（1）用a，b表示OM；
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设OE=pOA，OF=qOB，求1p+3q的值.
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.
1. -1. 2. 23. 3. ±1. 4. 1+i. 5. （-79，-73）. 6. 2. 7. 43.
8. 5. 9. （-∞，-4）∪（-4，1）. 10. 2-i. 11. -76. 12. 41+1，41-1.
13. π3. 14. 67.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
解析：设z=x+yi （x，y∈R），代入得x2+y2-i=x-yi+2+3i，即x2+y2=x+2-1=-y+3，
解得x=3y=4，所以z=3+4i，所以z2+i=3+4i2+i=（3+4i）（2-i）（2+i）（2-i）=2+i.
16.（本小题满分14分）
解析：（1）∵a=（1，-2），b=（2，3），
∴3a-b=3（1，-2）-（2，3）=（1，-9），a+kb=（1，-2）+k（2，3）=（1+2k，-2+3k）.
∵（3a-b）∥（a+kb），∴-9（1+2k）=-2+3k，∴k=-13.
（2）∵ma-b=（m-2，-2m-3），由a⊥（ma-b），得
1×（m-2）-2×（-2m-3）=0，∴m=-45.
（3）∵a=（1，-2），b=（2，3），∴a·b=-4，|a|=5，|b|=13，
∴cosθ=-465，∴sinθ=765，∴tanθ=-74.
17.（本小题满分14分）
解析：（1）由题意知：AB·BC=|AB||BC|cosθ=6，
S=12|AB||BC|sin（π-θ）=12|AB||BC|sinθ=12|AB||BC|cosθtanθ
=12×6tanθ=3tanθ ∵3≤S≤33，∴3≤3tanθ≤33，∴1≤tanθ≤3
又θ∈[0，π]，∴θ∈[π4，π3].
（2）f（θ）=sin2θ+2sinθ·cosθ+3cos2θ=1+sin2θ+2cos2θ
=sin2θ+cos2θ+2=2sin（2θ+π4）+2
∵θ∈[π4，π3]，∴2θ+π4∈[3π4，11π12]，
∴2θ+π4=3π4，即θ=π4时fmax=f（π4）=3.
18.（本小题满分16分）
解析：由题意得m应满足的条件为m2-3m-3>0m-2>0，解得m>3+212.
（1）由题意知log2（m2-3m-3）=0，即m2-3m-3=1，解得m=-1或m=4.又m>3+212得m=4，此时OZ=（0，1），所以|OZ|=1；
（2）由题意可得log2（m2-3m-3）<0log2（m-2）>0，解得3
（3）由题意得log2（m2-3m-3）-2log2（m-2）+1=0，解得m=1+11或m=1-11，
又m>3+212，所以m=1+11.
19.（本小题满分16分）
解析：（1）|ka+b|=3|a-kb|（ka+b）2=3（a-kb）2
即∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2a·b=k2+14k
∵a·b=14（k+1k）≥12， 此时cosθ=a·b|a||b|=a·b≥12θmax=60°.
（2）∵a∥b，∴a与b夹角为0°或180°
a·b=|a||b|cosθ=±1|k2+14k|=1，又∵k>0， ∴k2+1=4kk=2±3.
20.（本小题满分16分）
解析：（1）设OM=ma+nb，
则AM=OM-OA=（m-1）a+nb，AD=OD-OA=-a+12b.
∵点A、M、D共线，∴AM与AD共线，
∴m-1-1=n12，∴m+2n=1. ①
而CM=OM-OC=（m-14）a+nb，
CB=OB-OC=-14a+b，
∵C、M、B三点共线，∴CM与CB共线，
∴m-14-14=n1，∴4m+n=1. ②
联立①②可得m=17，n=37，∴OM=17a+37b.
（2）证明：EM=（17-p）a+37b，EF=-pa+qb，
∵EF与EM共线，∴17-p-p=37q.∴17q-pq=-37p，即17p+37q=1.1p+3q=7.
（作者：谢洪涛，江苏省丹阳高级中学）