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【摘 要】课改如火如荼，新课标下教师们对高中教学努力重新认识与研究。本文旨在通过方法研究和自主创设实施的教学实例来说明“函数应用”这一内容教学的地位与方法。突破性物理、化学学科联系整合，形成数理化的初步统一与相辅相成教学模式。
【关键词】函数应用；实验；物理；化学；案例
翻开《高中数学课程标准》的首页，10条基本理念言简意赅，却意味深重，它们是教师备课教学从始至终贯穿的最根本原则。
在进行到函数的应用举例一课时，为倡导积极主动，勇于探索的学习方式，发展学生的数学应用意识，我准备了一堂实验演示的数学课，以体现新课标下的数学课程基本理念：
（1）构建共同基础，提供发展平台：我提供实验平台和基础知识的数学函数建模……
（2）提供多样课程，适应个性选择：结合物理、化学、生物等多学科的结合……
（3）倡导积极主动、勇于探索的学习方式：教与学中处处体现主动与探索……
（4）注重提高学生的数学思维能力：以课本知识为基础，开拓课本以外的知识与应用……
（5）发展学生的数学应用意识：利用所学的数学知识充分解决和探索生活中的实际应用问题……
（6）与时俱进的认识“双基”：新思路、新方法，夯实学生基础知识的同时，充分培养基本数学技能及应用能力……
（7）强调本质，注重适度形式化：知识学习在先，分析和解决问题时处处体现和利用所学知识……
（8）体现数学的文化价值：介绍伽利略及亚里士多德……
（9）注重信息技术与数学课程的整合：利用现代技术和实验室条件，建立误差参数，数学方法消去误差参数……
（10）建立合理、科学的评价体系：布置学生实验体会和报告的作业……
1. 教学目标
1.1 知识目标。
（1） 函数在实际问题中的建立及应用。
（2） 数学建模。
1.2 能力目标。
（1） 培养学生应用数学的意识以及建立函数的能力。
（2） 培养学生分析问题、解决问题的能力。
1.3 德育目标。
（1） 敢于综合应用，拓展思维，加强数学应用意识。
（2） 体会函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。
（3） 提高对数学学习的兴趣及信心，注重学科间的交流。
2. 学生分析
学生自我探究能力较弱，单纯学科学习；对数学学习的兴趣及信心低迷。
3. 教学重点、难点和教学设计
3.1 教学重点。
（1） 据实际问题建立函数。
（2） 函数在实际问题中的应用。
3.2 教学难点： 函数的建立过程。
3.3 教学设计要点。
（1） 情境设计：
a.设计例题，充分讲解y=N（1+p）r 。
b.设计演示实验。
c.设计学生实验。
（2） 教学内容的处理：本节只是具有很强的综合性和应用性，应按新课标及素质教育理念给予高度重视。
所以我考虑联系化学、物理实验的演示，定性定量地讲解函数在现实世界、实际问题中的建立及应用。
（3） 教学方法： 教师讲授为主，学生半探究；实验演示；学生实验。
4. 教具准备
固体CuSO4，高浓度BaCl2溶液，稀NaNO3，AgNO3，NaCl，NaBr，NaI溶液；试管，烧杯（若干），洗气瓶，铁架台，石棉网，酒精灯，胶头滴管，托盘天平，滤纸，玻璃棒等。
平抛物体板套件。
5. 教学过程
5.1 阐明意义。
数学作为一种重要的工具和思想方法，在你的生活中无处不在，例如“窗户”（两层玻璃之间的宽的在5厘米左右保温效果最好……）而我们的函数，即变量与变量之间的关系可以解决和体现各个学科领域中的问题，咱们学习函数的建立及应用正是为各个学科和我们的日常生活服务的。
5.2 “化学变化中，质量的守恒”
CuSO4+BaCl2=CuCl2+BaSO4
先演示实验一次，在揭示气化学方程式。
再演示： AgNO3+NaCl=NaNO3+AgCl
NaBr+AgNO3=NaNO3+AgBr（淡黄）
NaI+AgNO3=NaNO3+AgI（黄色）
CuSO4+BaCl2=CuCl2+BaSO4
160 233
x y=233160x≈1.45625x
建立函数y=ax（其中a为参数）
测得数据x1= x2= y1=m1-ky2=m2-k
算出误差常数k。
即：y1=m1-k=ax1y2=m2-k=ax2k= a=
实验步骤：
（1） 称：称取一定质量的CuSO4固体。
（2） 溶：将称好的CuSO4固体放入烧杯中加适量的蒸馏水进行溶解。
（3） 反应：加过量BaCl2溶液，十七充分反应。
（4） 沉淀：静止片刻，使BaSO4 尽量沉底。
（5） 滤：用胶头滴管轻将上泛的CuCl2及BaCl2溶液吸取。
（6） 烧：用酒精灯加热。
（7） 称：称其质量，采集数据。
在这个实验中，我们不仅看到数学及数学函数在化学反应中的应用，而且利用数学建模和数学方法的指导实际测量实验的操作；同时，也用数学分析误差（设误差参数）并想法用数学的方法消去误差参数，此处具有极强的学生创新能力的培养。 5.3 自由落体运动——数学模型h（t）=12gt2。
（1） 介绍伽利略及亚里士多德（数学史——体现数学文化）。
（2） 探究性地研究分析，设计实验。引导学生，使学生自主发现实验数据采集的困难性与实验的不可操（纵）作性。
（3） 介绍新的实验方法——平抛。
x=v0ty=12gt2两个未知量中，消去时间t，可达到目的。
（4） 演示实验：平抛物体运动板的实验演示。
（5） 分析实验：采集数据。
（6） 描点画图：这是得到和画出函数图像的重要方法之一。
（7 逼近二次函数，得出结论。
5.4 介绍学生实验——“冰块溶化为水的函数模型”。
向学生讲明下节课的学生亲自动手的实验室实验：取一块冰，放在常温下的教室里，记下冰块的质量与试问，并定时测量气溶化为水的质量。显然，在这个过程中，你需要考虑一些影响冰块溶化为水的因素。例如，教室温度越高，在单位时间内溶化为水的冰块越多。为了研究问题的方便，在权衡各种因素的影响大小后，我们常常忽略其他因素而只看时间的影响，据此建立冰块随时间变化溶为水的函数模型。另外，为了使别人能相信你的模型的可靠性，你需要尽量详细地描述建立函数模型的过程和它成立的条件。
布置学生预习和准备冰块。
5.5 练习1题（书）
将一个底面圆的直径为 的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为 ，对角线长为 ，截面的面积为 ，求面积 以 为自变量的函数式，并写出它的定义域。
分析：S=x·d2-x2 （0xd）
当t=x2=d22时，S取最大 S=d2 x=d2 d2-x2=d2
即为正方形时，面积最大。
5.6 小结：
提出问题——收集数据——整理分析数据——建立函数模型——解决问题。
6. 布置作业 习题1，2，4，5。
7. 后记 完满达到设计意图；时间控制得当。
本节课与时俱进地培养学生“双基”，体现了数学的文化价值的同时，注重的动手的数学、实验的数学，以及对学生数学思维能力的培养。
学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，在本节课中，除对实验的操演过程外，还教学生探究发现、创造“自由落体实验”，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。
用实验的方法进行教学也是数学思维能力培养的大好机会，实验的演示和学生的动手处处体现着：直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维能力的培养。
提高应用意识也是本节课的特点。20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，很长一段时间，对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视。按照当今素质教育的要求，应力求使学生体验数学在解决实际问题中作用，数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形式和发展数学应用意识，提高实践能力。
函数概念在高中数学数学课程中是非常重要的基础知识，也是学生非常难以接受的概念之一。因此教师在处理这些内容的时候，注重让学生从实际问题归纳出函数的概念，加深对函数概念的理解和应用，这是符合新课程“关注学生的理解、关注方法的形成”的设计思路。
另外，采用实验的教学，有效地创设了实际问题情境，在讨论和解决问题的过程中，充分调动了学生的积极性和兴趣，并作用于现实生活，以问题研讨和动手实验的形式替代教师的讲解，分化难点、解决终点，有利于学生对知识的掌握，强化对函数以及其建立的理解，学生在讨论、动手、合作中解决问题，充分体会到了成功的愉悦。
数学是一种精神，特别是一种理性精神，使得人类的思维得到充分的发展，数学课不同于其他课，因此，并不是每一节数学课堂都要加入生活中的例子，华而不实，画蛇添足，反而弄巧成拙，关键是学生的思维动起来。课堂教学中，给学生留出足够的空间和时间，为学生提供表现的机会，是学生主动参与教学的思维过程，发展学生的智力培养学生的能力，也充分体现了教师角色的改变：教师仅仅是引导者、组织者、参与者、合作者。
所以，在“函数的应用举例与数学建模”中，重在培养学生应用数学的意识，以及建立函数的能力；培养学生分析问题、解决问题的能力。用实验演示以及动手操作的办法，并且学生可以使用物理、化学、生物所学，可有效增强学生敢于综合应用、拓展思维的信心与学习兴趣，成为学习的真正主人。
在函数教学中，这样的授课方式的例子我用的很多，限于篇幅，只举例说明。
通过课后学生访谈评价，新颖的课堂教学让同学们感受到学习数学的乐趣与信心。于是，一种欣慰感跃然我的脸上。
“春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干”，四个月来不遗余力，精心设计，通过教育教学原理和方法将我的知识传授于学生，方才感到教师身负重责、心怀无私，为祖国的教学事业倾心尽力。
辛勤的耕耘，必有秋的成果。经过一学期紧张而有序的历练，深感：太阳底下最光辉的事业——教育事业。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部制订·数学课程标准·北京·人民教育出版社，2003年
[2] VICTOR J.KATZ（美）·A History of Mathematics数学史通论·第二版·北京·高等教育出版社，2006年
[3] 姜启源..·数学模型·第三版·北京·高等教育出版社，2008年
[4] 孔企平 张维忠 黄荣金·数学新课程与数学学习·北京·首都师范大学出版社，2008年
[5] 威廉.威尔斯曼（美）·教育研究方法导论·北京·教育科学出版社，2003年
收稿日期：2013-03-16
【关键词】函数应用；实验；物理；化学；案例
翻开《高中数学课程标准》的首页，10条基本理念言简意赅，却意味深重，它们是教师备课教学从始至终贯穿的最根本原则。
在进行到函数的应用举例一课时，为倡导积极主动，勇于探索的学习方式，发展学生的数学应用意识，我准备了一堂实验演示的数学课，以体现新课标下的数学课程基本理念：
（1）构建共同基础，提供发展平台：我提供实验平台和基础知识的数学函数建模……
（2）提供多样课程，适应个性选择：结合物理、化学、生物等多学科的结合……
（3）倡导积极主动、勇于探索的学习方式：教与学中处处体现主动与探索……
（4）注重提高学生的数学思维能力：以课本知识为基础，开拓课本以外的知识与应用……
（5）发展学生的数学应用意识：利用所学的数学知识充分解决和探索生活中的实际应用问题……
（6）与时俱进的认识“双基”：新思路、新方法，夯实学生基础知识的同时，充分培养基本数学技能及应用能力……
（7）强调本质，注重适度形式化：知识学习在先，分析和解决问题时处处体现和利用所学知识……
（8）体现数学的文化价值：介绍伽利略及亚里士多德……
（9）注重信息技术与数学课程的整合：利用现代技术和实验室条件，建立误差参数，数学方法消去误差参数……
（10）建立合理、科学的评价体系：布置学生实验体会和报告的作业……
1. 教学目标
1.1 知识目标。
（1） 函数在实际问题中的建立及应用。
（2） 数学建模。
1.2 能力目标。
（1） 培养学生应用数学的意识以及建立函数的能力。
（2） 培养学生分析问题、解决问题的能力。
1.3 德育目标。
（1） 敢于综合应用，拓展思维，加强数学应用意识。
（2） 体会函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。
（3） 提高对数学学习的兴趣及信心，注重学科间的交流。
2. 学生分析
学生自我探究能力较弱，单纯学科学习；对数学学习的兴趣及信心低迷。
3. 教学重点、难点和教学设计
3.1 教学重点。
（1） 据实际问题建立函数。
（2） 函数在实际问题中的应用。
3.2 教学难点： 函数的建立过程。
3.3 教学设计要点。
（1） 情境设计：
a.设计例题，充分讲解y=N（1+p）r 。
b.设计演示实验。
c.设计学生实验。
（2） 教学内容的处理：本节只是具有很强的综合性和应用性，应按新课标及素质教育理念给予高度重视。
所以我考虑联系化学、物理实验的演示，定性定量地讲解函数在现实世界、实际问题中的建立及应用。
（3） 教学方法： 教师讲授为主，学生半探究；实验演示；学生实验。
4. 教具准备
固体CuSO4，高浓度BaCl2溶液，稀NaNO3，AgNO3，NaCl，NaBr，NaI溶液；试管，烧杯（若干），洗气瓶，铁架台，石棉网，酒精灯，胶头滴管，托盘天平，滤纸，玻璃棒等。
平抛物体板套件。
5. 教学过程
5.1 阐明意义。
数学作为一种重要的工具和思想方法，在你的生活中无处不在，例如“窗户”（两层玻璃之间的宽的在5厘米左右保温效果最好……）而我们的函数，即变量与变量之间的关系可以解决和体现各个学科领域中的问题，咱们学习函数的建立及应用正是为各个学科和我们的日常生活服务的。
5.2 “化学变化中，质量的守恒”
CuSO4+BaCl2=CuCl2+BaSO4
先演示实验一次，在揭示气化学方程式。
再演示： AgNO3+NaCl=NaNO3+AgCl
NaBr+AgNO3=NaNO3+AgBr（淡黄）
NaI+AgNO3=NaNO3+AgI（黄色）
CuSO4+BaCl2=CuCl2+BaSO4
160 233
x y=233160x≈1.45625x
建立函数y=ax（其中a为参数）
测得数据x1= x2= y1=m1-ky2=m2-k
算出误差常数k。
即：y1=m1-k=ax1y2=m2-k=ax2k= a=
实验步骤：
（1） 称：称取一定质量的CuSO4固体。
（2） 溶：将称好的CuSO4固体放入烧杯中加适量的蒸馏水进行溶解。
（3） 反应：加过量BaCl2溶液，十七充分反应。
（4） 沉淀：静止片刻，使BaSO4 尽量沉底。
（5） 滤：用胶头滴管轻将上泛的CuCl2及BaCl2溶液吸取。
（6） 烧：用酒精灯加热。
（7） 称：称其质量，采集数据。
在这个实验中，我们不仅看到数学及数学函数在化学反应中的应用，而且利用数学建模和数学方法的指导实际测量实验的操作；同时，也用数学分析误差（设误差参数）并想法用数学的方法消去误差参数，此处具有极强的学生创新能力的培养。 5.3 自由落体运动——数学模型h（t）=12gt2。
（1） 介绍伽利略及亚里士多德（数学史——体现数学文化）。
（2） 探究性地研究分析，设计实验。引导学生，使学生自主发现实验数据采集的困难性与实验的不可操（纵）作性。
（3） 介绍新的实验方法——平抛。
x=v0ty=12gt2两个未知量中，消去时间t，可达到目的。
（4） 演示实验：平抛物体运动板的实验演示。
（5） 分析实验：采集数据。
（6） 描点画图：这是得到和画出函数图像的重要方法之一。
（7 逼近二次函数，得出结论。
5.4 介绍学生实验——“冰块溶化为水的函数模型”。
向学生讲明下节课的学生亲自动手的实验室实验：取一块冰，放在常温下的教室里，记下冰块的质量与试问，并定时测量气溶化为水的质量。显然，在这个过程中，你需要考虑一些影响冰块溶化为水的因素。例如，教室温度越高，在单位时间内溶化为水的冰块越多。为了研究问题的方便，在权衡各种因素的影响大小后，我们常常忽略其他因素而只看时间的影响，据此建立冰块随时间变化溶为水的函数模型。另外，为了使别人能相信你的模型的可靠性，你需要尽量详细地描述建立函数模型的过程和它成立的条件。
布置学生预习和准备冰块。
5.5 练习1题（书）
将一个底面圆的直径为 的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为 ，对角线长为 ，截面的面积为 ，求面积 以 为自变量的函数式，并写出它的定义域。
分析：S=x·d2-x2 （0xd）
当t=x2=d22时，S取最大 S=d2 x=d2 d2-x2=d2
即为正方形时，面积最大。
5.6 小结：
提出问题——收集数据——整理分析数据——建立函数模型——解决问题。
6. 布置作业 习题1，2，4，5。
7. 后记 完满达到设计意图；时间控制得当。
本节课与时俱进地培养学生“双基”，体现了数学的文化价值的同时，注重的动手的数学、实验的数学，以及对学生数学思维能力的培养。
学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，在本节课中，除对实验的操演过程外，还教学生探究发现、创造“自由落体实验”，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。
用实验的方法进行教学也是数学思维能力培养的大好机会，实验的演示和学生的动手处处体现着：直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维能力的培养。
提高应用意识也是本节课的特点。20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，很长一段时间，对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视。按照当今素质教育的要求，应力求使学生体验数学在解决实际问题中作用，数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形式和发展数学应用意识，提高实践能力。
函数概念在高中数学数学课程中是非常重要的基础知识，也是学生非常难以接受的概念之一。因此教师在处理这些内容的时候，注重让学生从实际问题归纳出函数的概念，加深对函数概念的理解和应用，这是符合新课程“关注学生的理解、关注方法的形成”的设计思路。
另外，采用实验的教学，有效地创设了实际问题情境，在讨论和解决问题的过程中，充分调动了学生的积极性和兴趣，并作用于现实生活，以问题研讨和动手实验的形式替代教师的讲解，分化难点、解决终点，有利于学生对知识的掌握，强化对函数以及其建立的理解，学生在讨论、动手、合作中解决问题，充分体会到了成功的愉悦。
数学是一种精神，特别是一种理性精神，使得人类的思维得到充分的发展，数学课不同于其他课，因此，并不是每一节数学课堂都要加入生活中的例子，华而不实，画蛇添足，反而弄巧成拙，关键是学生的思维动起来。课堂教学中，给学生留出足够的空间和时间，为学生提供表现的机会，是学生主动参与教学的思维过程，发展学生的智力培养学生的能力，也充分体现了教师角色的改变：教师仅仅是引导者、组织者、参与者、合作者。
所以，在“函数的应用举例与数学建模”中，重在培养学生应用数学的意识，以及建立函数的能力；培养学生分析问题、解决问题的能力。用实验演示以及动手操作的办法，并且学生可以使用物理、化学、生物所学，可有效增强学生敢于综合应用、拓展思维的信心与学习兴趣，成为学习的真正主人。
在函数教学中，这样的授课方式的例子我用的很多，限于篇幅，只举例说明。
通过课后学生访谈评价，新颖的课堂教学让同学们感受到学习数学的乐趣与信心。于是，一种欣慰感跃然我的脸上。
“春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干”，四个月来不遗余力，精心设计，通过教育教学原理和方法将我的知识传授于学生，方才感到教师身负重责、心怀无私，为祖国的教学事业倾心尽力。
辛勤的耕耘，必有秋的成果。经过一学期紧张而有序的历练，深感：太阳底下最光辉的事业——教育事业。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部制订·数学课程标准·北京·人民教育出版社，2003年
[2] VICTOR J.KATZ（美）·A History of Mathematics数学史通论·第二版·北京·高等教育出版社，2006年
[3] 姜启源..·数学模型·第三版·北京·高等教育出版社，2008年
[4] 孔企平 张维忠 黄荣金·数学新课程与数学学习·北京·首都师范大学出版社，2008年
[5] 威廉.威尔斯曼（美）·教育研究方法导论·北京·教育科学出版社，2003年
收稿日期：2013-03-16