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【摘要】利用Helmholtz方程、Sommerfeld輻射条件及neumann条件，构造一个对称延拓，将半平面障碍物反散射问题转化为全平面问题，利用因子分解法求解半平面障碍反散射问题，利用远场数据重构障碍散射物，得到障碍物的重构方程，该方程可以取代线性抽样方法求解远场方程。
【关键词】Helmholtz方程 反散射 远场数据 因子分解法
1 引言
近年来，反散射在石油探测，地质勘探，雷达等领域广泛应用，随着理论研究的深入，反散射将应用于更多的领域。研究中遇到较多的是正散射问题，即已知入射场和障碍物来求解散射场。但很多时候，无法得到障碍物的性质。因此，需要通过入射场和散射场来求解障碍物，即反散射问题。
反散射问题已经有很多理论成果，D.Colton和R，Kress等人利用积分方程从理论上对散射问题进行了系统的研究，A.Kirsch和P.Monk利用有限元结合谱方法及有限元结合Nystrom方法得到了介质问题的近似解，并给出了收敛性证明和误差分析。
反散射问题的求解主要有两个困难，一个是问题的非线性，另一个是问题的不适定性。因子分解法是近年来比较常用的解决反散射问题的方法，它是线性抽样法的改进方法，优点在于不需要预先知道障碍物的物理性质，也不需要知道障碍物由几部分组成，相对线性抽样方法来说，它仅需要远场算子的谱数据即可求解反散射问题。半平面反散射问题是反散射问题中的一种特殊情况，现在利用因子分解法对此进行理论研究。
2 数学模型
半平面反散射问题是将障碍物放置到一个不可穿透的基底上求解散射场，或者求解散射体于无穷远处的渐进状态，即为远场。反散射问题就是指给定远场，求介质散射体的几何与物理参数（或求障碍物边界，位置等）。这样，只需考虑上半空间的散射情况，与此同时，相对于全平面问题，半平面反散射问题中将会多一个反射波数据。求解全平面反散射问题，已经有较为完善的方法，现将半平面的模型转化成与其等价的定义在全平面的数学问题的基础上，求解半平面问题。
Helmholtz方程、Sommerfeld辐射条件及neumann条件是求解反散射问题的简化形式，其中，Helmholtz方程如下：
本文利用Helmholtz方程、Sommerfeld辐射条件及neumann条件并构造一个对称延拓将半平面障碍物反散射问题转化为全平面问题，然后利用双层位势算子和远场算子并通过合理的假设最后得到远场方程，该方程可以替代线性抽样方法求解远场方程，并运用于某些半平面反散射问题。
参考文献
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