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【摘要】本文研究了数学模型思想对初中一元一次方程的启示，探讨了数学模型思想与学生数学学习之间的关系，并结合实例分析在初中课堂上如何基于数学模型思想对一元一次方程进行学习.
【关键词】模型思想;一元一次方程;初中课堂
随着数学教育的不断改革，数学与现实世界之间的联系被越来越多的人所关注.数学教育也越来越重视让学生用数学思想方法观察世界，指引学生经历和体会数学家发现数学的完整过程[1].在初中方程的课堂上渗透数学模型思想不仅可以很好地培养学生的創新思维和发散思维，还可以帮助学生形成一定的问题意识，促进学生主动学习，深入思考.
一、一元一次方程教材内容分析
方程在初中教材中是非常重要的，甚至在数学乃至其他学科的学习中，方程都起着至关重要的作用.方程知识既是初中数学的核心部分，也是学生接下来学习函数和几何问题的基础.对方程知识的学习可以提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.通过对方程知识的学习，学生可以掌握解决问题的思想和方法，对方程的求解可以进一步加强“方程思维”“化归思维”“消元”“降次”“置换”等方法.在解决方程问题的过程中，可以进一步理解模型思维，培养学生的数学思维，提高学生的数学应用能力.
一元一次方程是学生在初一阶段最先学习的知识，以人教版教材为例，一元一次方程作为七年级上册第三章的内容，包含从算式到方程、解一元一次方程（一）、解一元一次方程（二）、实际问题与一元一次方程.本章节内容是初中学生第一次接触方程，是初中方程中最简单、最基础的，同时也是学生在初中阶段继续学习其他方程的基础.如此可见，一元一次方程在整个初中数学的学习过程中有着十分重要的地位.
二、学生情况分析
为了研究在一元一次方程中渗透模型思想的教学过程，应对学生的情况进行分析，了解学生的知识经验和思维水平，并对学生可能遇到的问题做出分析，然后在此基础上开展对一元一次方程的教学，选择适合学生的教学模式，高效地完成教学活动.
（1） 学生已有的知识经验
以人教版教材为例，学生第一次接触方程是在小学五年级第五单元的“简易方程”，之后在初中七年级上第五章“一元一次方程”再次接触到了方程，也就是说学生在接触“一元一次方程”之前对方程已经有了一定的了解.此外，在课程安排上，也将“整式的加减”放到了“一元一次方程”之前，给学生灌输了代数式表示的意义和代数式之间的运算.
（2）学生的思维水平
通过小学阶段的学习，学生已经具备了一定的数学能力.本学期有理数知识的学习培养了学生的计算能力，在整式的加减部分，学生掌握了用字母表示数，具备了分析问题、抽象问题的能力.这些都使学生的认知水平和数学思维有了一定程度的提高，为接下来将要学习的一元一次方程奠定了基础.
（3）学生学习过程中可能遇到的问题
尽管学生在小学五年级已经对“简易方程”进行了学习，对方程的知识具备了一定的了解，但相对于小学的简易方程，一元一次方程与实际生活中的问题联系得更加密切，对学生的问题转换能力、结构化能力、解题执行能力等提出了更高的要求.学生在学习这部分时还是会遇到较大的困难，其中比较主要的困难就是学生从实际问题中抽象出相应的数学模型，并用数学的思想方法来解决问题.
三、基于建构主义理论的模型思想
建构主义理论作为认知心理学的进一步发展，是现代建构主义的先驱皮亚杰早在五十年代就已经提出来的，在他看来，发展并不是人一生下来就有的，而是在周围环境相互作用下，根据自己已有的知识和经验一步步建构的[2].认识不是主体对客体的一种简单被动反映，而是主体在自己原有的知识经验上的一种积极主动建构的过程.这与数学建模思想中的：通过已有知识对未知问题的一种探索和研究的观点相一致，因此也为数学建模思想在心理学水平上的应用提供了理论支持.
在数学建模思想下，要求学生能够根据自己已经掌握的知识和经验来进一步发展自己的认知，建构自己的知识结构和系统，在这一观点下，就要求教师在进行教学过程中不能一味地、单纯地将知识复制给学生，而是通过创设一定的情境，使学生能够根据自己的知识经验，发现问题、分析问题、探究和解决问题，从而使学生在真正意义上掌握与应用知识[3].
四、一元一次方程中渗透模型思想的教学策略
在初中进行数学建模教学时，教师可以根据学生的学习情况开展教学活动.例如，教师可以在日常教学活动中通过创设一定的问题情境，使学生运用自己已经掌握的知识对问题进行解决，在解决问题的过程中加强学生对数学知识的理解，教师也可以根据某一问题或课题组织学生进行小组合作研究，在学生小组学习的过程中培养学生分析问题、合作探究的能力.
（一）选择合适的建模问题
在我们的实际生活中可以被视为数学模型的问题并不少，但是这些问题并不都可以被拿到数学课堂中来.教师应精心选择适合的建模问题，保证所选择的建模问题既符合学生的年龄特点又满足教学内容的需要.选择合适的建模问题是数学建模活动的关键[4].因此，教师可以结合自己班级的具体情况，充分考虑学生的认知结构和生活经验，选择学生熟悉的问题情境，使学生对建立数学模型感兴趣，认为利用数学建模解决问题并不难，使学生爱数学、爱学习.
（二）体验完整的建模过程
渗透模型思想的数学教学，要求教师在教学过程中不能一味地采用传统的灌输式教学模式，应该重视学生的学习过程，让学生经历和体验数学建模的完整过程.知识的获得应是学生亲自经历并发现的，从而达到对知识的真正掌握.在实际的教学过程中，教师应引导学生发现问题、分析问题、鼓励学生大胆假设、合作探究，给学生足够的时间和空间去思考，尊重学生课堂的主体性.
（三）强化学生的模型意识
在完成一个建模活动后，教师要引导学生进行总结，将数学模型内化，成为自己解决现实生活问题的一种方法，使学生在今后的学习与生活中，能够具有一定的模型思想意识，体验到数学与其他学科及实际生活之间的密切联系，感受数学的应用价值，进而增强数学的应用与实践能力. 在渗透模型思想的初中方程的教学过程中，应以学生为主体，选择恰当的数学建模问题，时刻突出以学生为主体的教学活动，让学生亲自经历和体验完整的数学建模过程.在整个教学过程中，重视学生经历知识的获得和发展，突出学生创造性思维的培养.
五、渗透模型思想的一元一次方程的教学过程设计
以“应用问题与一元一次方程”一课为例，通过“提出问题——作出假设——建立模型——求解模型——检验模型——深化模型——应用模型 ”的过程，对学生进行渗透模型思想的一元一次方程教学.
“应用问题与一元一次方程”的教学实施过程如下：
（一）设计问题，导入新课
国际动物日快要到了，为了宣传、鼓励大家爱护动物，老师组织同学们周末到社区为路人发放800张宣传单和若干环保袋，每位路人发两张宣传单和一个环保袋.
师：同学们，你们能帮老师想一下，应该如何发放吗？【发现问题】
生：把两张宣传单放到一个环保袋里，一起发放给路人.
师：同学们都非常棒啊，帮老师找到了解决问题的办法，那谁能知道宣传单和环保袋之间有什么关系呢？ 为保证宣传单恰好发完，应有环保袋多少个？
（二）提出假设，渗透模型
生：宣传单和环保袋数量之间满足一定的比例关系.【提出假设】
生：宣传单和环保袋数量满足2∶1.
（三）分组讨论，建立模型
师：同学们可以小组讨论，找一找其中的等量关系.
生：宣传单的数量=环保袋×2.【建立模型】
（四）列出方程，求解模型
师：同学们，为保证宣传单恰好发完，应有环保袋多少个？
生：设环保袋的数量为x个，则可列方程800=2x 解得x=400.【求解模型】
（五）学生讨论，检验模型
师：同学们都非常棒啊，那么我们来检验一下，这名同学的答案对不对呢？
生：对，宣传单800张，环保袋400个; 数量满足2∶1的关系. 【检验模型】
（六）加强难度，深化模型思想
师：同学们回答得都非常棒，但是经过老师的统计发现每个家庭分发两张宣传单和三个环保袋时，最受路人欢迎，
那么同学们现有800张宣传单，为保证宣传单恰好发完，环保袋应至少有多少个？【深化模型】
生：宣传单∶环保袋=2∶3.
生：设环保袋的数量为a，则可列 3×800=2×a，解得a=1200.
生：经检验，符合题意.
（七）总结反思，应用模型
师：通过上面两个问题，请同学们小组讨论并思考解决这类问题的关键是什么，你又是根据什么列出的等量关系？
生：两种物品的数量成比例.
师：同学们掌握得都非常好，那么下面我们看PPT的这道题.【应用模型】
这是教材中的例1：在一个机械加工车间，共有工人22名，如果生产螺钉，每人一天可以生产1200个，生产螺母，每人一天可以生产2000个，其中一个螺钉和两个螺母为一套，为了保证每天生产的螺钉与螺母都可以恰好配套，应如何安排生产螺钉与螺母的人数？
师：同学们，小组讨论并思考，找到题中的等量关系.
生：螺钉数量∶螺母数量=1∶2.
生：2×螺钉数量=1×螺母数量.
生：设有m名工人生产螺钉，则有（22-m）名工人生产螺母.
可列方程2×1200m=2000（22-m），
解得m=10，22-10=12（名）.
经检验：符合题意.
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
教學反思：
本次课通过发放宣传单和环保袋的问题使学生理解了它们之间的数量关系，进而找到等量关系，列出方程并求解.考虑到学生的接受程度，在问题的选择上由易到难.通过适当的PPT演示，学生在具体的问题情境中进行探究，同时考虑到学生的理解程度，在教学过程中，教师要给学生留出一定的时间思考，建立模型，最后使学生能够掌握模型思想，并应用模型解决问题.
总之，渗透数学建模思想对初中方程的学习具有一定的指导意义，渗透模型思想的方程教学可以有效地提高学生的学习成绩，培养学生的数学思维和数学应用能力，在学生以后的学习中也占有极其重要的作用.故本文以一元一次方程为例研究了在方程教学中渗透模型思想，希望能够对初中方程的教学乃至初中数学的教学有所启示.
【参考文献】
[1]
【关键词】模型思想;一元一次方程;初中课堂
随着数学教育的不断改革，数学与现实世界之间的联系被越来越多的人所关注.数学教育也越来越重视让学生用数学思想方法观察世界，指引学生经历和体会数学家发现数学的完整过程[1].在初中方程的课堂上渗透数学模型思想不仅可以很好地培养学生的創新思维和发散思维，还可以帮助学生形成一定的问题意识，促进学生主动学习，深入思考.
一、一元一次方程教材内容分析
方程在初中教材中是非常重要的，甚至在数学乃至其他学科的学习中，方程都起着至关重要的作用.方程知识既是初中数学的核心部分，也是学生接下来学习函数和几何问题的基础.对方程知识的学习可以提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.通过对方程知识的学习，学生可以掌握解决问题的思想和方法，对方程的求解可以进一步加强“方程思维”“化归思维”“消元”“降次”“置换”等方法.在解决方程问题的过程中，可以进一步理解模型思维，培养学生的数学思维，提高学生的数学应用能力.
一元一次方程是学生在初一阶段最先学习的知识，以人教版教材为例，一元一次方程作为七年级上册第三章的内容，包含从算式到方程、解一元一次方程（一）、解一元一次方程（二）、实际问题与一元一次方程.本章节内容是初中学生第一次接触方程，是初中方程中最简单、最基础的，同时也是学生在初中阶段继续学习其他方程的基础.如此可见，一元一次方程在整个初中数学的学习过程中有着十分重要的地位.
二、学生情况分析
为了研究在一元一次方程中渗透模型思想的教学过程，应对学生的情况进行分析，了解学生的知识经验和思维水平，并对学生可能遇到的问题做出分析，然后在此基础上开展对一元一次方程的教学，选择适合学生的教学模式，高效地完成教学活动.
（1） 学生已有的知识经验
以人教版教材为例，学生第一次接触方程是在小学五年级第五单元的“简易方程”，之后在初中七年级上第五章“一元一次方程”再次接触到了方程，也就是说学生在接触“一元一次方程”之前对方程已经有了一定的了解.此外，在课程安排上，也将“整式的加减”放到了“一元一次方程”之前，给学生灌输了代数式表示的意义和代数式之间的运算.
（2）学生的思维水平
通过小学阶段的学习，学生已经具备了一定的数学能力.本学期有理数知识的学习培养了学生的计算能力，在整式的加减部分，学生掌握了用字母表示数，具备了分析问题、抽象问题的能力.这些都使学生的认知水平和数学思维有了一定程度的提高，为接下来将要学习的一元一次方程奠定了基础.
（3）学生学习过程中可能遇到的问题
尽管学生在小学五年级已经对“简易方程”进行了学习，对方程的知识具备了一定的了解，但相对于小学的简易方程，一元一次方程与实际生活中的问题联系得更加密切，对学生的问题转换能力、结构化能力、解题执行能力等提出了更高的要求.学生在学习这部分时还是会遇到较大的困难，其中比较主要的困难就是学生从实际问题中抽象出相应的数学模型，并用数学的思想方法来解决问题.
三、基于建构主义理论的模型思想
建构主义理论作为认知心理学的进一步发展，是现代建构主义的先驱皮亚杰早在五十年代就已经提出来的，在他看来，发展并不是人一生下来就有的，而是在周围环境相互作用下，根据自己已有的知识和经验一步步建构的[2].认识不是主体对客体的一种简单被动反映，而是主体在自己原有的知识经验上的一种积极主动建构的过程.这与数学建模思想中的：通过已有知识对未知问题的一种探索和研究的观点相一致，因此也为数学建模思想在心理学水平上的应用提供了理论支持.
在数学建模思想下，要求学生能够根据自己已经掌握的知识和经验来进一步发展自己的认知，建构自己的知识结构和系统，在这一观点下，就要求教师在进行教学过程中不能一味地、单纯地将知识复制给学生，而是通过创设一定的情境，使学生能够根据自己的知识经验，发现问题、分析问题、探究和解决问题，从而使学生在真正意义上掌握与应用知识[3].
四、一元一次方程中渗透模型思想的教学策略
在初中进行数学建模教学时，教师可以根据学生的学习情况开展教学活动.例如，教师可以在日常教学活动中通过创设一定的问题情境，使学生运用自己已经掌握的知识对问题进行解决，在解决问题的过程中加强学生对数学知识的理解，教师也可以根据某一问题或课题组织学生进行小组合作研究，在学生小组学习的过程中培养学生分析问题、合作探究的能力.
（一）选择合适的建模问题
在我们的实际生活中可以被视为数学模型的问题并不少，但是这些问题并不都可以被拿到数学课堂中来.教师应精心选择适合的建模问题，保证所选择的建模问题既符合学生的年龄特点又满足教学内容的需要.选择合适的建模问题是数学建模活动的关键[4].因此，教师可以结合自己班级的具体情况，充分考虑学生的认知结构和生活经验，选择学生熟悉的问题情境，使学生对建立数学模型感兴趣，认为利用数学建模解决问题并不难，使学生爱数学、爱学习.
（二）体验完整的建模过程
渗透模型思想的数学教学，要求教师在教学过程中不能一味地采用传统的灌输式教学模式，应该重视学生的学习过程，让学生经历和体验数学建模的完整过程.知识的获得应是学生亲自经历并发现的，从而达到对知识的真正掌握.在实际的教学过程中，教师应引导学生发现问题、分析问题、鼓励学生大胆假设、合作探究，给学生足够的时间和空间去思考，尊重学生课堂的主体性.
（三）强化学生的模型意识
在完成一个建模活动后，教师要引导学生进行总结，将数学模型内化，成为自己解决现实生活问题的一种方法，使学生在今后的学习与生活中，能够具有一定的模型思想意识，体验到数学与其他学科及实际生活之间的密切联系，感受数学的应用价值，进而增强数学的应用与实践能力. 在渗透模型思想的初中方程的教学过程中，应以学生为主体，选择恰当的数学建模问题，时刻突出以学生为主体的教学活动，让学生亲自经历和体验完整的数学建模过程.在整个教学过程中，重视学生经历知识的获得和发展，突出学生创造性思维的培养.
五、渗透模型思想的一元一次方程的教学过程设计
以“应用问题与一元一次方程”一课为例，通过“提出问题——作出假设——建立模型——求解模型——检验模型——深化模型——应用模型 ”的过程，对学生进行渗透模型思想的一元一次方程教学.
“应用问题与一元一次方程”的教学实施过程如下：
（一）设计问题，导入新课
国际动物日快要到了，为了宣传、鼓励大家爱护动物，老师组织同学们周末到社区为路人发放800张宣传单和若干环保袋，每位路人发两张宣传单和一个环保袋.
师：同学们，你们能帮老师想一下，应该如何发放吗？【发现问题】
生：把两张宣传单放到一个环保袋里，一起发放给路人.
师：同学们都非常棒啊，帮老师找到了解决问题的办法，那谁能知道宣传单和环保袋之间有什么关系呢？ 为保证宣传单恰好发完，应有环保袋多少个？
（二）提出假设，渗透模型
生：宣传单和环保袋数量之间满足一定的比例关系.【提出假设】
生：宣传单和环保袋数量满足2∶1.
（三）分组讨论，建立模型
师：同学们可以小组讨论，找一找其中的等量关系.
生：宣传单的数量=环保袋×2.【建立模型】
（四）列出方程，求解模型
师：同学们，为保证宣传单恰好发完，应有环保袋多少个？
生：设环保袋的数量为x个，则可列方程800=2x 解得x=400.【求解模型】
（五）学生讨论，检验模型
师：同学们都非常棒啊，那么我们来检验一下，这名同学的答案对不对呢？
生：对，宣传单800张，环保袋400个; 数量满足2∶1的关系. 【检验模型】
（六）加强难度，深化模型思想
师：同学们回答得都非常棒，但是经过老师的统计发现每个家庭分发两张宣传单和三个环保袋时，最受路人欢迎，
那么同学们现有800张宣传单，为保证宣传单恰好发完，环保袋应至少有多少个？【深化模型】
生：宣传单∶环保袋=2∶3.
生：设环保袋的数量为a，则可列 3×800=2×a，解得a=1200.
生：经检验，符合题意.
（七）总结反思，应用模型
师：通过上面两个问题，请同学们小组讨论并思考解决这类问题的关键是什么，你又是根据什么列出的等量关系？
生：两种物品的数量成比例.
师：同学们掌握得都非常好，那么下面我们看PPT的这道题.【应用模型】
这是教材中的例1：在一个机械加工车间，共有工人22名，如果生产螺钉，每人一天可以生产1200个，生产螺母，每人一天可以生产2000个，其中一个螺钉和两个螺母为一套，为了保证每天生产的螺钉与螺母都可以恰好配套，应如何安排生产螺钉与螺母的人数？
师：同学们，小组讨论并思考，找到题中的等量关系.
生：螺钉数量∶螺母数量=1∶2.
生：2×螺钉数量=1×螺母数量.
生：设有m名工人生产螺钉，则有（22-m）名工人生产螺母.
可列方程2×1200m=2000（22-m），
解得m=10，22-10=12（名）.
经检验：符合题意.
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
教學反思：
本次课通过发放宣传单和环保袋的问题使学生理解了它们之间的数量关系，进而找到等量关系，列出方程并求解.考虑到学生的接受程度，在问题的选择上由易到难.通过适当的PPT演示，学生在具体的问题情境中进行探究，同时考虑到学生的理解程度，在教学过程中，教师要给学生留出一定的时间思考，建立模型，最后使学生能够掌握模型思想，并应用模型解决问题.
总之，渗透数学建模思想对初中方程的学习具有一定的指导意义，渗透模型思想的方程教学可以有效地提高学生的学习成绩，培养学生的数学思维和数学应用能力，在学生以后的学习中也占有极其重要的作用.故本文以一元一次方程为例研究了在方程教学中渗透模型思想，希望能够对初中方程的教学乃至初中数学的教学有所启示.
【参考文献】
[1]