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摘要：在介绍定级分理论基本概念的基础上，结合电气工程专业课程学习中的电容器充电过程及超导磁体储能过程，展示了定积分的应用价值。在高等数学定积分理论的教学实践中，通过具体工程示例，调动了电气工程类学生的学习积极性，加深了对理论基础的理解，提高了学生分析和解决问题的能力，效果良好。
关键词：定积分；教学方法；电气工程
作者简介：严稳莉（1964-），女，陕西乾县人，华北电力大学数理学院，副教授。（北京 102206）
基金项目：本文系华北电力大学2010年教育教学改革立项项目的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）18-0165-02
定积分理论是整个微积分学的核心内容，是工程类学生研究客观事物变化规律的基础工具。定积分理论教学通常采用曲边梯形的面积的求解、变速运动物体路程的计算引出概念，通过划分、近似、求和、取极限的方法给出定义，通过上限函数论述积分与导数的关系，结合平面与空间几何、力学等示例说明定积分的应用。这一过程已成为定积分教学过程的定式。一般教材中没有给出结合电气工程的示例。
电气工程是研究客观世界中电磁现象运动规律的学科。众所周知，电荷的变化产生电流，电流的“积累”形成电荷。磁链的变化产生电势，电势的“累加”产生磁链。在一定条件下，电量与磁量又相互转化。而这些电磁量相互作用、相互转化的前提是这些量的运动与变化。因此，微积分理论成为研究电磁现象的基础工具。电气工程类学生掌握好包括定积分在内的微积分理论是大学数学学习的核心内容。作为电力大学的高等数学教学，应该结合电气工程的内容，通过具体应用示例，展示微积分的应用价值。这对调动学生的学习积极性、加深对理论基础的理解、掌握数学方法的应用具有重要作用。
本文在依据传统方法给出定积分的基本概念和定义之后，结合电气工程实例，探讨定积分理论的应用。采用MATLAB，给出这些示例的直观求解和说明。
一、定积分的基本概念[1]
1.问题的提出
设函数，且，，求由曲线，直线x=a、x=b与x轴所围成的平面图形，即平面点集构成的曲边梯形（如图1）的面积。
划分：在区间内插入若干个分点，，把区间分成n个小区间，长度为。
近似：在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形面积为
求和：曲边梯形面积的近似值为
逼近：当划分无限加细，即小区间的长度的最大值，令得曲边梯形面积为
2.定积分的定义
设函数在上有界，在中任意插入个分点
把区间分成n个小区间，各小区间的长度依次为，在各小区间上任取一点，
作乘积并作和，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数在区间上的定积分，记为
（1）
3.无穷限的反常积分
设函数在的任何有限子区间上可积，则，定积分存在。现把上限b看作变量，考虑积分上限的函数，则当时，可能有极限，也可能没有极限。为了将这种情况以一般的数学形式表达出来，可借用定积分的记号，引入如下的形式记号：，并把它称为在无穷区间上的反常积分（improper integral）。
设函数在的任何有限子区间上可积，如果极限存在，则称反常积分收敛，并把此极限称为反常积分的值，即有。如果上式表示的极限不存在，则称反常积分发散。类似可定义其他形式的反常积分。
二、结合电气学习定积分
电容器作为电气工程应用中的基本元件，具有存储电荷的功能。对于具有定常电容值C的电容器，其两端所加电压与电容器所存储的电荷的关系为：[2]。当电容器存储的电荷发生变化时就意味着有电流流动。从而。由此可得电容器中电压与电流的基本关系式：。因此，电容器两端的电荷（电压）与电流的关系为微积分关系。已知电荷（电压）变化规律时，通过微分运算，便可得到电流。反之，已知电流时，通过积分运算，可得到电荷（电压）。给定时间内电荷（电压）的变化，可通过这段时间内对流过电容器的电流的定积分来求解。对于定常电流，积分对应矩形面积，很容易计算。而对任意变化的电流，必须借助定积分理论的有关思路和方法进行求解。
一电容值为10uF的电容器，初值为零，流过典型的整流后的电流（图2）时，求取其上电压的变化规律。整流后的电流在半周期上的表达式为正弦函数：，其中A为电流幅值，这里设为100mA。上述电容的基本电气量关系表明，电容器中累计的电荷量就是对电流积分，对应的就是电流曲线和横坐标在给定时间段的面积。当起始时间为零，上限时间为变量t时，电荷为一上限函数。得到电荷量后，电压只需除以常数C。对于半周期之内，电压可通过下式得到：
（2）
对于半周期以后的情景，可借助MATLAB进行数值计算。
电感是电气工程应用中的另一个基本元件，具有存储磁场能的作用。对于具有定常电感值L的器件，其线圈所通过的电流与该电流所建立的磁链的关系为：。当电感中存储的磁链发生变化时就意味着有感应电动势产生。从而。由此可得电感元件中电压与电流的基本关系式：。因此，电感元件两端的磁链（电流）与电压的关系为微积分关系。已知磁链（电流）变化规律时，通过微分运算，便可得到电压量。反之，已知电压量时，通过积分运算，可得到磁链（电流）。给定时间内磁链（电流）的变化，可通过这段时间内对加在线圈上的电压的定积分来求解。对于定常电压，积分对应矩形面积，很容易计算。而对任意变化的电压，必须借助定积分理论的有关思路和方法进行求解。
超导线圈可被用做储能设备（SMES），在电气工程中具有广阔应用前景。SMES中所存储的能量与电流的关系式为：。因此，可通过调节SMES线圈中电流的大小，调节其储能的多少。而电流的变化规律可通过对电压的定积分运算获得。一电感值为1H的SMES线圈，初值为零，若加在其上的电压为典型的全波整流后的电压（图3）时，求取SMES[3]线圈中储能的变化规律。整流后的电压在半周期上的表达式为正弦函数：，其中V为电压幅值，这里设为100V。
上述电感元件的基本电气量关系表明，电感中累计的磁链量就是对电压的积分，对应的就是电压曲线和横坐标在给定时间段的面积。当起始时间为零，上限时间为变量t时，磁链为一上限函数。得到磁链量后，除以常数L便得到电流量，然后根据SMES储能关系式，可得到储能的变化规律。对于半周期之内，储能可通过下式得到：
（3）
对于半周期以后的情景，可借助MATLAB进行数值计算。
图4所示电路包括一个储能元件，称为一阶电路。[2]开关K合上后，电容器开始充电。充电电流的变化规律符合一阶电路中电流的变化规律，如下式所示：
（4）
即，i（t）依据指数规律衰减，t→＋∞时，电流衰减到零。因此，电容器中存储的电荷为电流的反常积分。定义为：
（5）
显然，该反常积分收敛，t→＋∞，q=CE。事实上，该一阶电路充电的最终结果必然是电容电压与电源电压相等。通过电容器的电压电荷关系同样可以得到上述结论。学生通过该示例，可对反常积分的实际应用有更具体的认识。
三、电气工程应用示例在MATLAB中的实现
MATLAB是一种集数学计算、分析、可视化、算法开发与发布等于一体的软件平台，[4]通过MATLAB及相关工具箱，可以在统一的平台下完成相应的科学计算工作。自1984年mathworks 公司推出以来，MATLAB 已广泛应用于电气、自动化、汽车、电子、仪器仪表和通讯等领域与行业。本文结合定积分在电气工程中的实际应用，在simulink环境下建立相关模型，通过MATLAB仿真计算定积分。图5为例1在MATLAB中建立的基于数学描述的模型。模型利用Sine Wave及Abs模块产生典型的整流后的电流，由Integrator模块对整流后的电流积分，通过增益Gain最终形成电容器两端的电压波形。利用示波器Scope1观察波形。
设仿真时间为0.03秒，运行仿真模型，即图5所示的电路。通过积分模块计算后得到电容器两端的电压波形如图6所示。
通过对比可以发现，图6的波形与式（2）的描述完全一致。
由于论文篇幅所限，学生自己也可自行将上一节中的其余两个示例在MATLAB中实现。
四、结论
本文针对电气工程类学生学习定积分理论及其应用的实际需求，结合电气工程的具体应用示例，展示了定积分的概念及其应用价值。所给示例既有经典电路问题，又有电气领域的新技术。所设计的定积分问题及包括基本的普通定积分，又包括反常积分。这对调动电气类学生学习的积极性、加深对理论基础的理解、掌握数学方法的應用具有重要作用。
参考文献：
[1]同济大学数学系.北京:高等数学[M].高等教育出版社,2006.
[2]邱关源.电路[M].北京:高等教育出版社,2006.
[3]韩民晓,等.柔性电力技术[M].北京:水利电力出版社,2007.
[4]王忠礼,等.MATLAB应用技术在电气工程与自动化专业中的应用[M].北京:清华大学出版社,2007.
（责任编辑：刘丽娜）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词：定积分；教学方法；电气工程
作者简介：严稳莉（1964-），女，陕西乾县人，华北电力大学数理学院，副教授。（北京 102206）
基金项目：本文系华北电力大学2010年教育教学改革立项项目的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）18-0165-02
定积分理论是整个微积分学的核心内容，是工程类学生研究客观事物变化规律的基础工具。定积分理论教学通常采用曲边梯形的面积的求解、变速运动物体路程的计算引出概念，通过划分、近似、求和、取极限的方法给出定义，通过上限函数论述积分与导数的关系，结合平面与空间几何、力学等示例说明定积分的应用。这一过程已成为定积分教学过程的定式。一般教材中没有给出结合电气工程的示例。
电气工程是研究客观世界中电磁现象运动规律的学科。众所周知，电荷的变化产生电流，电流的“积累”形成电荷。磁链的变化产生电势，电势的“累加”产生磁链。在一定条件下，电量与磁量又相互转化。而这些电磁量相互作用、相互转化的前提是这些量的运动与变化。因此，微积分理论成为研究电磁现象的基础工具。电气工程类学生掌握好包括定积分在内的微积分理论是大学数学学习的核心内容。作为电力大学的高等数学教学，应该结合电气工程的内容，通过具体应用示例，展示微积分的应用价值。这对调动学生的学习积极性、加深对理论基础的理解、掌握数学方法的应用具有重要作用。
本文在依据传统方法给出定积分的基本概念和定义之后，结合电气工程实例，探讨定积分理论的应用。采用MATLAB，给出这些示例的直观求解和说明。
一、定积分的基本概念[1]
1.问题的提出
设函数，且，，求由曲线，直线x=a、x=b与x轴所围成的平面图形，即平面点集构成的曲边梯形（如图1）的面积。
划分：在区间内插入若干个分点，，把区间分成n个小区间，长度为。
近似：在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形面积为
求和：曲边梯形面积的近似值为
逼近：当划分无限加细，即小区间的长度的最大值，令得曲边梯形面积为
2.定积分的定义
设函数在上有界，在中任意插入个分点
把区间分成n个小区间，各小区间的长度依次为，在各小区间上任取一点，
作乘积并作和，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数在区间上的定积分，记为
（1）
3.无穷限的反常积分
设函数在的任何有限子区间上可积，则，定积分存在。现把上限b看作变量，考虑积分上限的函数，则当时，可能有极限，也可能没有极限。为了将这种情况以一般的数学形式表达出来，可借用定积分的记号，引入如下的形式记号：，并把它称为在无穷区间上的反常积分（improper integral）。
设函数在的任何有限子区间上可积，如果极限存在，则称反常积分收敛，并把此极限称为反常积分的值，即有。如果上式表示的极限不存在，则称反常积分发散。类似可定义其他形式的反常积分。
二、结合电气学习定积分
电容器作为电气工程应用中的基本元件，具有存储电荷的功能。对于具有定常电容值C的电容器，其两端所加电压与电容器所存储的电荷的关系为：[2]。当电容器存储的电荷发生变化时就意味着有电流流动。从而。由此可得电容器中电压与电流的基本关系式：。因此，电容器两端的电荷（电压）与电流的关系为微积分关系。已知电荷（电压）变化规律时，通过微分运算，便可得到电流。反之，已知电流时，通过积分运算，可得到电荷（电压）。给定时间内电荷（电压）的变化，可通过这段时间内对流过电容器的电流的定积分来求解。对于定常电流，积分对应矩形面积，很容易计算。而对任意变化的电流，必须借助定积分理论的有关思路和方法进行求解。
一电容值为10uF的电容器，初值为零，流过典型的整流后的电流（图2）时，求取其上电压的变化规律。整流后的电流在半周期上的表达式为正弦函数：，其中A为电流幅值，这里设为100mA。上述电容的基本电气量关系表明，电容器中累计的电荷量就是对电流积分，对应的就是电流曲线和横坐标在给定时间段的面积。当起始时间为零，上限时间为变量t时，电荷为一上限函数。得到电荷量后，电压只需除以常数C。对于半周期之内，电压可通过下式得到：
（2）
对于半周期以后的情景，可借助MATLAB进行数值计算。
电感是电气工程应用中的另一个基本元件，具有存储磁场能的作用。对于具有定常电感值L的器件，其线圈所通过的电流与该电流所建立的磁链的关系为：。当电感中存储的磁链发生变化时就意味着有感应电动势产生。从而。由此可得电感元件中电压与电流的基本关系式：。因此，电感元件两端的磁链（电流）与电压的关系为微积分关系。已知磁链（电流）变化规律时，通过微分运算，便可得到电压量。反之，已知电压量时，通过积分运算，可得到磁链（电流）。给定时间内磁链（电流）的变化，可通过这段时间内对加在线圈上的电压的定积分来求解。对于定常电压，积分对应矩形面积，很容易计算。而对任意变化的电压，必须借助定积分理论的有关思路和方法进行求解。
超导线圈可被用做储能设备（SMES），在电气工程中具有广阔应用前景。SMES中所存储的能量与电流的关系式为：。因此，可通过调节SMES线圈中电流的大小，调节其储能的多少。而电流的变化规律可通过对电压的定积分运算获得。一电感值为1H的SMES线圈，初值为零，若加在其上的电压为典型的全波整流后的电压（图3）时，求取SMES[3]线圈中储能的变化规律。整流后的电压在半周期上的表达式为正弦函数：，其中V为电压幅值，这里设为100V。
上述电感元件的基本电气量关系表明，电感中累计的磁链量就是对电压的积分，对应的就是电压曲线和横坐标在给定时间段的面积。当起始时间为零，上限时间为变量t时，磁链为一上限函数。得到磁链量后，除以常数L便得到电流量，然后根据SMES储能关系式，可得到储能的变化规律。对于半周期之内，储能可通过下式得到：
（3）
对于半周期以后的情景，可借助MATLAB进行数值计算。
图4所示电路包括一个储能元件，称为一阶电路。[2]开关K合上后，电容器开始充电。充电电流的变化规律符合一阶电路中电流的变化规律，如下式所示：
（4）
即，i（t）依据指数规律衰减，t→＋∞时，电流衰减到零。因此，电容器中存储的电荷为电流的反常积分。定义为：
（5）
显然，该反常积分收敛，t→＋∞，q=CE。事实上，该一阶电路充电的最终结果必然是电容电压与电源电压相等。通过电容器的电压电荷关系同样可以得到上述结论。学生通过该示例，可对反常积分的实际应用有更具体的认识。
三、电气工程应用示例在MATLAB中的实现
MATLAB是一种集数学计算、分析、可视化、算法开发与发布等于一体的软件平台，[4]通过MATLAB及相关工具箱，可以在统一的平台下完成相应的科学计算工作。自1984年mathworks 公司推出以来，MATLAB 已广泛应用于电气、自动化、汽车、电子、仪器仪表和通讯等领域与行业。本文结合定积分在电气工程中的实际应用，在simulink环境下建立相关模型，通过MATLAB仿真计算定积分。图5为例1在MATLAB中建立的基于数学描述的模型。模型利用Sine Wave及Abs模块产生典型的整流后的电流，由Integrator模块对整流后的电流积分，通过增益Gain最终形成电容器两端的电压波形。利用示波器Scope1观察波形。
设仿真时间为0.03秒，运行仿真模型，即图5所示的电路。通过积分模块计算后得到电容器两端的电压波形如图6所示。
通过对比可以发现，图6的波形与式（2）的描述完全一致。
由于论文篇幅所限，学生自己也可自行将上一节中的其余两个示例在MATLAB中实现。
四、结论
本文针对电气工程类学生学习定积分理论及其应用的实际需求，结合电气工程的具体应用示例，展示了定积分的概念及其应用价值。所给示例既有经典电路问题，又有电气领域的新技术。所设计的定积分问题及包括基本的普通定积分，又包括反常积分。这对调动电气类学生学习的积极性、加深对理论基础的理解、掌握数学方法的應用具有重要作用。
参考文献：
[1]同济大学数学系.北京:高等数学[M].高等教育出版社,2006.
[2]邱关源.电路[M].北京:高等教育出版社,2006.
[3]韩民晓,等.柔性电力技术[M].北京:水利电力出版社,2007.
[4]王忠礼,等.MATLAB应用技术在电气工程与自动化专业中的应用[M].北京:清华大学出版社,2007.
（责任编辑：刘丽娜）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文