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【摘要】简单介绍了当前复杂网络外部同步的最新发展，通过回顾复杂网络的研究历程，结合当前的研究热点，具体分析了不连续复杂网络外部同步、两个耦合复杂动力学网络的有限时间外部同步、复杂网络有限时间随机广义外部同步。得出了将来研究复杂网络的一个趋势，以期待为今后复杂网络的研究提供有益借鉴。
【关键词】复杂网络；有限时间同步；外部同步；随机网络
1.引言
20世纪60年代，由匈牙利数学家Erdǒs和Rényi建立的随机图理论，在数学上开创了复杂网络理论的系统性研究。80年代以来，以互联网为代表的计算机和信息工程技术的迅猛发展使人类社会大步迈入了一个“网络时代”[1]。从互联网到万维网、从电力网到交通网、从大脑神经网到新陈代谢网、从科研合作网到各种社会关系网等，足见复杂网络广泛存在于我们生活中[2-4]。同步现象是复杂网络典型动力学行为之一，近年来复杂网络同步问题受到了广泛的关注，其中，文献[5]用主稳定函数方法研究了网络同步状态的稳定性；文献[6-7]研究了小世界网络与无尺度网络的同步问题；文献[8]研究了时变动态网络的同步问题；文献[9]认为在特定的耦合方式下，耦合矩阵的第二大特征值可以表征网络的同步能力；文献[10]认为在通常情况下，只要耦合强度的值足够大，都会使耦合系统进入同步状态，这些工作都极大地丰富了有关复杂网络同步的研究内容。
然而上述研究的主要内容是复杂网络的“内部同步”，即一个网络内部节点间的同步。两个或多个网络间的同步行为，即“外部同步”却研究较少。本文将着重介绍最新的复杂网络外部同步研究成果，通过分析不同的研究思路，得到未来复杂网络的研究热点。
2.复杂网络外部同步最新研究具体分析
2.1 不连续复杂网络的广义同步
近年来复杂网络外部同步引起了人们的广泛关注，文献[11]首先研究了两个单向耦合网络之间的外部同步，并导出了有相同拓扑结构的两个网络之间的同步准则。文献[12]用自适应控制器分析了两个不同拓扑结构的复杂网络间的外部同步。然而，现有的文献大多假设在一段时间内驱动网络是连续的，在此基础上进行连续耦合的研究。实际上，连续的驱动网络很少见，更多的是随时间变化不连续的，例如疾病的传播速度会随时间变化，捕食者与被捕食者之间的数量关系会随季节变化，这些都是典型的不连续的复杂网络。那么不连续的复杂网络最终是否会实现广义外部同步？文献[13]研究了不连续耦合复杂网络的外部同步，得出了尽管在某些时刻复杂网络是不连续的，但它仍可以达到广义外部同步的结论。此文献可以说是对复杂网络研究的一个创新，但是文中假设了所有节点的动力学信息是可以得到的，对于简单网络假设是可以实现的，而对于复杂网络，实现就不是那么的容易。是否可进一步弱化条件？例如在不考虑复杂网络内部节点的动力学信息的情况下，实现复杂网络的外部同步。通过分析可以发现，不连续复杂网络的外部同步问题是一个值得研究的方向。
2.2 复杂动力学网络的有限时间外部同步
如今一些学者研究的复杂网络的外部同步问题集中在网络同步状态的稳定性上。例如文献[14]研究了两个相同网络的外部同步。文献[15]研究了具有不同节点动力学和拓扑结构网络的广义外部同步问题，却忽略了同步的速度与时间。实际上，时间因素非常重要，例如通信行业的加密解密、社会谣言传播的控制等。因此研究有限时间外部同步就很有现实意义。
究竟是否可实现有限时间内的外部同步？文献[16]研究了复杂动力学网络的有限时间外部同步，从理论上给出了有限时间内实现复杂网络外部同步的充分条件。是否可进一步降低控制条件要求，使复杂网络仍可以实现有限时间外部同步？除此以外，不同节点动力学和拓扑结构的复杂网络是否可以在有限时间内实现外部同步，相同节点动力学和拓扑结构复杂网络实现外部同步的约束条件是否会和两个不同复杂动力学网络相关等，都是可以进一步探索的问题。
2.3 复杂网络有限时间随机广义外部同步
最近，对一般控制系统的有限时间稳定或两个混沌间的同步的研究已经取得了一定成果，但是对于大量耦合镇子构成的复杂网络的有限时间同步的研究却还很少，文献[17]研究了复杂网络有限时间内部同步问题。
我们知道复杂网络传播时会受到外界的干扰，并且干扰是随机的。为了进一步反映现实系统，可以考虑在响应网络中加入白噪声，引入随机项。文献[18]研究了两个非线性耦合的复杂网络有限时间随机广义同步的问题，从理论上给出了更加切合实际的复杂动力学网络实现随机广义外部同步的充分条件，发现了对于任意高强度的噪声，都可以在有限时间内实现广义同步，证明了同步对于噪声扰动具有鲁棒性的特征。然而，文章给出的模型假设虽然在一些著名混沌系统中适用，例如Chen系统，但没有证明在一般系统中普遍存在。
现实中，系统间作用是需要时间的，当系统间有时间延迟时是否可以得到相同的结论？若传播过程中也存在一个随机的扰动，最终能否实现复杂网络广义外部同步？如果可以，结果与现有的结论是否仅相差一个时间常数？伴随着这些问题的解决，广义外部同步问题将会得到更加全面、透彻的研究，模型也会更加贴近现实，对于将来的理论运用与生活生产很有意义。
3.总结
回顾网络科学发展的这些年，人们主要的兴趣和精力大多数集中在对网络自身的结构和动力学过程进行建模、分析乃至预测上，其中包含复杂网络内部同步以及外部同步。随着当前研究重心的转移，关于复杂网络有限时间的可控性，时间延迟可控性，含有扰动项可控性，不连续耦合可控性都得到了广泛关注。究其核心都是强调怎样控制，可以预知将来的研究核心内容将是如何对复杂网络系统进行定性乃至精确地控制。
参考文献
[1]陈关荣.复杂网络及最新研究进展[J].力学进展，2008，38 （6）：653-662. [2]WATTS D J，STROGATZ S H.Collective dynamical of“small-world”network[J].Nature，1998，391（4）：440-442.
[3]BARABASI A L，ALBERT R.Emergence of scaling in random network[J].Science，1999，286（5439）：509-512.
[4]BARABASI A L.Scale-free networks：a decade and beyond[J].Science，2009，325（5939）：412-413.
[5]PECORA L M，CARROLL T L.Master stability functions for synchronized coupled systems[J].Phys Rev Lett，1998，80（10）：2109-2122.
[6]WANG X，CHEN G.Synchronization in small-world dynamical networks[J].Int J Bifurcationand Chaos，2002，12（1）：187-192.
[7]WANG X，CHEN G.Synchronization in scale-free dynamical net-works：robustnessandFragility[J].IEEETransonCircuitsSystemI，2002，49（1）：54-62.
[8]LU J，CHEN G.A time-varying complex dynamical network model and its controlledsynchronization criteria[J].IEEE Trans Automatic Control，2005，50（6）：841-846.
[9]Wang X F，Chen G IEEE Transations on Circuits and Systems I 2002：49-54.
[10]Wu C W IEEE Trans.Autom.Control 2006，51：1207.
[11]LIChangpin，SUN Weigang，Kurths，J.Synchronizationbetween two coupled complex networks[J].Phys.Rev.E，2007，76.
[12]WANG G，CAO J，Outer synchronization between two nonidentical networks with circumstance noise[J].Physica A，2010，389：1480-1488.
[13]Ma Z，Liu F，Shi Y，etal.Generalized outer synchronization between two complex dynamical networks with on-off coupling[C].//，accepted by CCC，2013.
[14]LIC，SUNW，KURTHSJ.Synchronizationbetweentwocoupledcomplex networks[J].PhysRev E，2007，76（4）.
[15]WUX，ZHENGW，ZHOU J.Generalized outer synchron-ization between complex dynamicalnetworks[J].Chaos， 2012，22（4）.
[16]李望，石咏，马继伟.复杂动力学网络的有限时间外部同步[J].山东大学学报（工学版），2013，43（2）：48-53.
[17]YANG Xinsong，CAO Jinde.Finite-time stochastic synchronization of complex networks[J].Applied Mathematical Modeling，2010，34：3631-3641.
[18]石咏，马志才，刘峰，等.复杂网络有限时间随机广义同步[C].//，被CCC接收，2013.
作者简介：陈正伟（1991—），男，江苏扬州人，现就读于中国矿业大学理学院，主要研究复杂网络同步分析。
【关键词】复杂网络；有限时间同步；外部同步；随机网络
1.引言
20世纪60年代，由匈牙利数学家Erdǒs和Rényi建立的随机图理论，在数学上开创了复杂网络理论的系统性研究。80年代以来，以互联网为代表的计算机和信息工程技术的迅猛发展使人类社会大步迈入了一个“网络时代”[1]。从互联网到万维网、从电力网到交通网、从大脑神经网到新陈代谢网、从科研合作网到各种社会关系网等，足见复杂网络广泛存在于我们生活中[2-4]。同步现象是复杂网络典型动力学行为之一，近年来复杂网络同步问题受到了广泛的关注，其中，文献[5]用主稳定函数方法研究了网络同步状态的稳定性；文献[6-7]研究了小世界网络与无尺度网络的同步问题；文献[8]研究了时变动态网络的同步问题；文献[9]认为在特定的耦合方式下，耦合矩阵的第二大特征值可以表征网络的同步能力；文献[10]认为在通常情况下，只要耦合强度的值足够大，都会使耦合系统进入同步状态，这些工作都极大地丰富了有关复杂网络同步的研究内容。
然而上述研究的主要内容是复杂网络的“内部同步”，即一个网络内部节点间的同步。两个或多个网络间的同步行为，即“外部同步”却研究较少。本文将着重介绍最新的复杂网络外部同步研究成果，通过分析不同的研究思路，得到未来复杂网络的研究热点。
2.复杂网络外部同步最新研究具体分析
2.1 不连续复杂网络的广义同步
近年来复杂网络外部同步引起了人们的广泛关注，文献[11]首先研究了两个单向耦合网络之间的外部同步，并导出了有相同拓扑结构的两个网络之间的同步准则。文献[12]用自适应控制器分析了两个不同拓扑结构的复杂网络间的外部同步。然而，现有的文献大多假设在一段时间内驱动网络是连续的，在此基础上进行连续耦合的研究。实际上，连续的驱动网络很少见，更多的是随时间变化不连续的，例如疾病的传播速度会随时间变化，捕食者与被捕食者之间的数量关系会随季节变化，这些都是典型的不连续的复杂网络。那么不连续的复杂网络最终是否会实现广义外部同步？文献[13]研究了不连续耦合复杂网络的外部同步，得出了尽管在某些时刻复杂网络是不连续的，但它仍可以达到广义外部同步的结论。此文献可以说是对复杂网络研究的一个创新，但是文中假设了所有节点的动力学信息是可以得到的，对于简单网络假设是可以实现的，而对于复杂网络，实现就不是那么的容易。是否可进一步弱化条件？例如在不考虑复杂网络内部节点的动力学信息的情况下，实现复杂网络的外部同步。通过分析可以发现，不连续复杂网络的外部同步问题是一个值得研究的方向。
2.2 复杂动力学网络的有限时间外部同步
如今一些学者研究的复杂网络的外部同步问题集中在网络同步状态的稳定性上。例如文献[14]研究了两个相同网络的外部同步。文献[15]研究了具有不同节点动力学和拓扑结构网络的广义外部同步问题，却忽略了同步的速度与时间。实际上，时间因素非常重要，例如通信行业的加密解密、社会谣言传播的控制等。因此研究有限时间外部同步就很有现实意义。
究竟是否可实现有限时间内的外部同步？文献[16]研究了复杂动力学网络的有限时间外部同步，从理论上给出了有限时间内实现复杂网络外部同步的充分条件。是否可进一步降低控制条件要求，使复杂网络仍可以实现有限时间外部同步？除此以外，不同节点动力学和拓扑结构的复杂网络是否可以在有限时间内实现外部同步，相同节点动力学和拓扑结构复杂网络实现外部同步的约束条件是否会和两个不同复杂动力学网络相关等，都是可以进一步探索的问题。
2.3 复杂网络有限时间随机广义外部同步
最近，对一般控制系统的有限时间稳定或两个混沌间的同步的研究已经取得了一定成果，但是对于大量耦合镇子构成的复杂网络的有限时间同步的研究却还很少，文献[17]研究了复杂网络有限时间内部同步问题。
我们知道复杂网络传播时会受到外界的干扰，并且干扰是随机的。为了进一步反映现实系统，可以考虑在响应网络中加入白噪声，引入随机项。文献[18]研究了两个非线性耦合的复杂网络有限时间随机广义同步的问题，从理论上给出了更加切合实际的复杂动力学网络实现随机广义外部同步的充分条件，发现了对于任意高强度的噪声，都可以在有限时间内实现广义同步，证明了同步对于噪声扰动具有鲁棒性的特征。然而，文章给出的模型假设虽然在一些著名混沌系统中适用，例如Chen系统，但没有证明在一般系统中普遍存在。
现实中，系统间作用是需要时间的，当系统间有时间延迟时是否可以得到相同的结论？若传播过程中也存在一个随机的扰动，最终能否实现复杂网络广义外部同步？如果可以，结果与现有的结论是否仅相差一个时间常数？伴随着这些问题的解决，广义外部同步问题将会得到更加全面、透彻的研究，模型也会更加贴近现实，对于将来的理论运用与生活生产很有意义。
3.总结
回顾网络科学发展的这些年，人们主要的兴趣和精力大多数集中在对网络自身的结构和动力学过程进行建模、分析乃至预测上，其中包含复杂网络内部同步以及外部同步。随着当前研究重心的转移，关于复杂网络有限时间的可控性，时间延迟可控性，含有扰动项可控性，不连续耦合可控性都得到了广泛关注。究其核心都是强调怎样控制，可以预知将来的研究核心内容将是如何对复杂网络系统进行定性乃至精确地控制。
参考文献
[1]陈关荣.复杂网络及最新研究进展[J].力学进展，2008，38 （6）：653-662. [2]WATTS D J，STROGATZ S H.Collective dynamical of“small-world”network[J].Nature，1998，391（4）：440-442.
[3]BARABASI A L，ALBERT R.Emergence of scaling in random network[J].Science，1999，286（5439）：509-512.
[4]BARABASI A L.Scale-free networks：a decade and beyond[J].Science，2009，325（5939）：412-413.
[5]PECORA L M，CARROLL T L.Master stability functions for synchronized coupled systems[J].Phys Rev Lett，1998，80（10）：2109-2122.
[6]WANG X，CHEN G.Synchronization in small-world dynamical networks[J].Int J Bifurcationand Chaos，2002，12（1）：187-192.
[7]WANG X，CHEN G.Synchronization in scale-free dynamical net-works：robustnessandFragility[J].IEEETransonCircuitsSystemI，2002，49（1）：54-62.
[8]LU J，CHEN G.A time-varying complex dynamical network model and its controlledsynchronization criteria[J].IEEE Trans Automatic Control，2005，50（6）：841-846.
[9]Wang X F，Chen G IEEE Transations on Circuits and Systems I 2002：49-54.
[10]Wu C W IEEE Trans.Autom.Control 2006，51：1207.
[11]LIChangpin，SUN Weigang，Kurths，J.Synchronizationbetween two coupled complex networks[J].Phys.Rev.E，2007，76.
[12]WANG G，CAO J，Outer synchronization between two nonidentical networks with circumstance noise[J].Physica A，2010，389：1480-1488.
[13]Ma Z，Liu F，Shi Y，etal.Generalized outer synchronization between two complex dynamical networks with on-off coupling[C].//，accepted by CCC，2013.
[14]LIC，SUNW，KURTHSJ.Synchronizationbetweentwocoupledcomplex networks[J].PhysRev E，2007，76（4）.
[15]WUX，ZHENGW，ZHOU J.Generalized outer synchron-ization between complex dynamicalnetworks[J].Chaos， 2012，22（4）.
[16]李望，石咏，马继伟.复杂动力学网络的有限时间外部同步[J].山东大学学报（工学版），2013，43（2）：48-53.
[17]YANG Xinsong，CAO Jinde.Finite-time stochastic synchronization of complex networks[J].Applied Mathematical Modeling，2010，34：3631-3641.
[18]石咏，马志才，刘峰，等.复杂网络有限时间随机广义同步[C].//，被CCC接收，2013.
作者简介：陈正伟（1991—），男，江苏扬州人，现就读于中国矿业大学理学院，主要研究复杂网络同步分析。