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立体几何是培养空间观念和公理化体系处理数学问题的重要载体,是高中数学的重要内容. 从历年的高考试题来看,立体几何一般以“两小一大”命题,以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,空间角与空间距离的探求为考查重点,同时空间向量在研究上述问题中也起着很大的作用.
本考点为新增内容,主要考查空间几何体三视图的识别和判断,通过所给三视图计算空间几何体的表面积和体积等问题. 题型主要是选择题或填空题,基本上都是中等难度或比较简单的试题.
(1)了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构.
(2)能画出简单空间几何体的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.
认识三视图的关键是要分清观察者的方向,应从正、侧、上三个方向观察,原则是:长对正,高平齐,宽相等. 在画一个物体的三视图时,一定注意实线与虚线要分明;另外,几何体的主视图和侧视图会因观察角度的不同而不同. 因此,要注意几何体中所给出的观察角度.
例1 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( )
A B C D
破解思路 本题考查三视图的判断. 由题意画出几何体的直观图,然后以zOx平面为投影面,得到正视图即是答案.
答案详解 因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画出其直观图如图1所示,是一个以正方体的顶点为顶点的正四面体,所以以zOx平面为投影面得到的正视图如图2所示. 故选A.
图1 图2
例2 一个四棱锥的三视图如图3所示,其侧视图是等边三角形.该四棱锥的体积等于( )
A. B. 2
C. 3 D. 6
图3
破解思路 本题首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状,然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,最后确定几何体的形状如图4所示.
图4
答案详解 由三视图可知,四棱锥的底面是俯视图中对应的梯形,四棱锥的侧面是等边三角形且该侧面和底面垂直,所以四棱锥的高为 ,底面梯形的面积为 =3,所以四棱锥的体积为 ×3× = ,选A.
1. 某几何体的三视图如图5所示,根据所给尺寸(单位:cm),可知该几何体的体积为________cm3.
图5
2. 一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )
① ② ③ ④
A. ①② B. ①③
C. ③④ D. ②④
本考点为新增内容,主要考查空间几何体三视图的识别和判断,通过所给三视图计算空间几何体的表面积和体积等问题. 题型主要是选择题或填空题,基本上都是中等难度或比较简单的试题.
(1)了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构.
(2)能画出简单空间几何体的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.
认识三视图的关键是要分清观察者的方向,应从正、侧、上三个方向观察,原则是:长对正,高平齐,宽相等. 在画一个物体的三视图时,一定注意实线与虚线要分明;另外,几何体的主视图和侧视图会因观察角度的不同而不同. 因此,要注意几何体中所给出的观察角度.
例1 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( )
A B C D
破解思路 本题考查三视图的判断. 由题意画出几何体的直观图,然后以zOx平面为投影面,得到正视图即是答案.
答案详解 因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画出其直观图如图1所示,是一个以正方体的顶点为顶点的正四面体,所以以zOx平面为投影面得到的正视图如图2所示. 故选A.
图1 图2
例2 一个四棱锥的三视图如图3所示,其侧视图是等边三角形.该四棱锥的体积等于( )
A. B. 2
C. 3 D. 6
图3
破解思路 本题首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状,然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,最后确定几何体的形状如图4所示.
图4
答案详解 由三视图可知,四棱锥的底面是俯视图中对应的梯形,四棱锥的侧面是等边三角形且该侧面和底面垂直,所以四棱锥的高为 ,底面梯形的面积为 =3,所以四棱锥的体积为 ×3× = ,选A.
1. 某几何体的三视图如图5所示,根据所给尺寸(单位:cm),可知该几何体的体积为________cm3.
图5
2. 一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )
① ② ③ ④
A. ①② B. ①③
C. ③④ D. ②④