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习题来源：浙教版八年级《数学》（上册））2.7直角三角形全等的判定课后作业题第2题（第47页） ：
如图，AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点D，
P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则
△ ABP≌△PDC。请说明理由。
摘 要：数学教材体系有两条线索：
一条明线是数学知识；一条暗线是数学思想方法。数学课堂教学，应赋予学生什么？是知识？是技能？是智慧？
关键词：数学 课堂教学 技能智慧
引 子：授人以鱼，供一餐之需；教人以渔，则终身受用。
数学教材体系有两条线索：一条是数学知识，这是写在教材上的明线；一条是数学思想方法，这是教材编写的指导思想，是不很明确地写在教材中的，是一条暗线。前者容易理解，后者不易看明。教师在教学中常常只注重明线的把握，而忽视了对暗线的渗透，这其实无异于买椟还珠，是相当可惜的。因为在未来的社会里，教育的真正意义不在于获得一堆知识，而在于掌握学习方法、学会学习，而在这个显性知识的背后隐藏着科学的探索的方法与思维策略，乃至勇于探索的精神。对于学生一生来讲，方法比知识重要百倍。因为学生走出校门之后，可能一辈子再也碰不到数学的题目，但是他可用这种方法、策略去面对纷繁复杂的人生。在本习题的教学中，比较明显的折射出掌握知识已不是数学学习的最终目的，而是成了启迪数学思想方法的载体。
一、 结论的延伸与拓展
具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学不要忽视了这些小题，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以達到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维，创新能力，数学素质，都将起作积极的推动作用。
●链接 如图1，AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点DP是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则ABP≌△PDC。请说明理由。
延伸1：观察图形猜想AB、BD、CD之间的关系，并证明你的猜想。
延伸2：已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线L的同侧，分别过这两点作L的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且∠AED=90°。
（1）如图1，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长。
（2）如图2，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。
再探究：当A、D分别在直线两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。
【点评】（1）经历观察猜想到验证的解决问题方法；培养学生探究能力与解决问题的能力。
（2）让题设条件与图形“动”起来，克服思维定势和图形位置定势，使学生习惯于“开放”与“探究”的思维。
二、条件和结论互逆变换
●链接 两个全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如图3所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取的BD中点M，连结EM，EC，试判断的△CME形状，并说明理由.
三、弱化条件
当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中一两个条件一般化，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新的命题以求拓展应用。
演变命题1 ：弱化条件“线段相等”则结论由三角形的全等弱化为三角形相似。
●链接 如图，AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点， AP⊥PC，则△ABP △PDC。请说明理由。
延伸：如图5，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0 （1）求证：mn=-6；
（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使
若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由
【点评】（1）添加直角坐标系，与函数结合，是一道代数与几何的综合题，又是一道解决动态的问题，考查相似三角形、图形与坐标、函数等知识；
（2）培养学生综合分析问题能力、处理实际问题能力和应变能力。
演变命题2 ：弱化条件“直角”，则“全等三角形”结论仍然成立。
●链接 如图6或7，△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，∠ACE=∠B=∠D，则△ABC≌△CDE
。
【点评】无论如何变换，本质是三个角相等，应用三角形相似（全等）来解决。
延伸： 如图8，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y
（1）求y与x的函数解析式，
（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
【点评】充分运用数形结合和建立函数模型求最值问题。
四、基本图形的构造
几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形的分解能力，同时，还应具备必需的辅助线构造基本图形的技能。
●链接 如图21，∠MON=90°，MON的内部有一个正方形AOCD，点A，C分别在射线OM，ON上，点B在ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形。
⑴连接， 求证： =90°
⑵连接， 猜一猜， 的度数？并证明你的结论。
⑶ON上任取一点 ，以 为边。在∠MON的内部作出正方形 ，观察图形，并结合（1），（2）的结论，请你再作出一个合理的判断
英国大哲学家怀特海说：“尽管知识技能是智育的一个主要目标，但知识技能的价值还有另一个更模糊但更伟大、更居支配地位的成分，古人把它称为‘智慧’。没有某些知识技能基础，你不可能聪明；但是你也许轻而易举地获得了知识技能，却仍然缺乏智慧”。智慧不是简单的知识技能的累积，如果一个人记忆了许多知识、掌握了很多技能，只会重复别人的思想，却不善于自己独立思考，更不会主动探究和创造，那就还没有智慧。拥有知识掌握技能的人不等于拥有智慧，但拥有智慧的人一定拥有知识与技能，更懂得如此运用知识，获取新知识。对教学而言，“知识技能”往往关注的是现成的结论、现成的答案等，而“智慧”更关注这些结论的形成过程，关注那引人入胜的未知领域，这是知识技能与智慧的最大区别。
数学学习是思维的旅行。数学课堂教学，应赋予学生什么？是知识吗？如果是的话，那它对我们今后的人生几乎没有具体的作用。是技能吗？那似乎也不够。爱因斯坦就说过，任何技术层面的知识都是可以教会的，但这不是以构成一个完整的人。数学课应赋予学生“知识”，更要赋予学生“方法”； 赋予学生“技能”，更要赋予学生“智慧”，应把数学探索的历程浓缩成一堂课，学生在探索的世界里蹒跚而行，这样学到的数学才是真正意义上的数学，才会在今后的生活中真正去用数学。
参考文献：
[1]《数学教学论》（罗增儒、李文铭编）
[2]《数学教育概论》主编：李玉琪 中国科技出版社
如图，AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点D，
P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则
△ ABP≌△PDC。请说明理由。
摘 要：数学教材体系有两条线索：
一条明线是数学知识；一条暗线是数学思想方法。数学课堂教学，应赋予学生什么？是知识？是技能？是智慧？
关键词：数学 课堂教学 技能智慧
引 子：授人以鱼，供一餐之需；教人以渔，则终身受用。
数学教材体系有两条线索：一条是数学知识，这是写在教材上的明线；一条是数学思想方法，这是教材编写的指导思想，是不很明确地写在教材中的，是一条暗线。前者容易理解，后者不易看明。教师在教学中常常只注重明线的把握，而忽视了对暗线的渗透，这其实无异于买椟还珠，是相当可惜的。因为在未来的社会里，教育的真正意义不在于获得一堆知识，而在于掌握学习方法、学会学习，而在这个显性知识的背后隐藏着科学的探索的方法与思维策略，乃至勇于探索的精神。对于学生一生来讲，方法比知识重要百倍。因为学生走出校门之后，可能一辈子再也碰不到数学的题目，但是他可用这种方法、策略去面对纷繁复杂的人生。在本习题的教学中，比较明显的折射出掌握知识已不是数学学习的最终目的，而是成了启迪数学思想方法的载体。
一、 结论的延伸与拓展
具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学不要忽视了这些小题，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以達到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维，创新能力，数学素质，都将起作积极的推动作用。
●链接 如图1，AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点DP是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则ABP≌△PDC。请说明理由。
延伸1：观察图形猜想AB、BD、CD之间的关系，并证明你的猜想。
延伸2：已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线L的同侧，分别过这两点作L的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且∠AED=90°。
（1）如图1，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长。
（2）如图2，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。
再探究：当A、D分别在直线两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。
【点评】（1）经历观察猜想到验证的解决问题方法；培养学生探究能力与解决问题的能力。
（2）让题设条件与图形“动”起来，克服思维定势和图形位置定势，使学生习惯于“开放”与“探究”的思维。
二、条件和结论互逆变换
●链接 两个全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如图3所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取的BD中点M，连结EM，EC，试判断的△CME形状，并说明理由.
三、弱化条件
当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中一两个条件一般化，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新的命题以求拓展应用。
演变命题1 ：弱化条件“线段相等”则结论由三角形的全等弱化为三角形相似。
●链接 如图，AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点， AP⊥PC，则△ABP △PDC。请说明理由。
延伸：如图5，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0
（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使
若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由
【点评】（1）添加直角坐标系，与函数结合，是一道代数与几何的综合题，又是一道解决动态的问题，考查相似三角形、图形与坐标、函数等知识；
（2）培养学生综合分析问题能力、处理实际问题能力和应变能力。
演变命题2 ：弱化条件“直角”，则“全等三角形”结论仍然成立。
●链接 如图6或7，△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，∠ACE=∠B=∠D，则△ABC≌△CDE
。
【点评】无论如何变换，本质是三个角相等，应用三角形相似（全等）来解决。
延伸： 如图8，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y
（1）求y与x的函数解析式，
（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
【点评】充分运用数形结合和建立函数模型求最值问题。
四、基本图形的构造
几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形的分解能力，同时，还应具备必需的辅助线构造基本图形的技能。
●链接 如图21，∠MON=90°，MON的内部有一个正方形AOCD，点A，C分别在射线OM，ON上，点B在ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形。
⑴连接， 求证： =90°
⑵连接， 猜一猜， 的度数？并证明你的结论。
⑶ON上任取一点 ，以 为边。在∠MON的内部作出正方形 ，观察图形，并结合（1），（2）的结论，请你再作出一个合理的判断
英国大哲学家怀特海说：“尽管知识技能是智育的一个主要目标，但知识技能的价值还有另一个更模糊但更伟大、更居支配地位的成分，古人把它称为‘智慧’。没有某些知识技能基础，你不可能聪明；但是你也许轻而易举地获得了知识技能，却仍然缺乏智慧”。智慧不是简单的知识技能的累积，如果一个人记忆了许多知识、掌握了很多技能，只会重复别人的思想，却不善于自己独立思考，更不会主动探究和创造，那就还没有智慧。拥有知识掌握技能的人不等于拥有智慧，但拥有智慧的人一定拥有知识与技能，更懂得如此运用知识，获取新知识。对教学而言，“知识技能”往往关注的是现成的结论、现成的答案等，而“智慧”更关注这些结论的形成过程，关注那引人入胜的未知领域，这是知识技能与智慧的最大区别。
数学学习是思维的旅行。数学课堂教学，应赋予学生什么？是知识吗？如果是的话，那它对我们今后的人生几乎没有具体的作用。是技能吗？那似乎也不够。爱因斯坦就说过，任何技术层面的知识都是可以教会的，但这不是以构成一个完整的人。数学课应赋予学生“知识”，更要赋予学生“方法”； 赋予学生“技能”，更要赋予学生“智慧”，应把数学探索的历程浓缩成一堂课，学生在探索的世界里蹒跚而行，这样学到的数学才是真正意义上的数学，才会在今后的生活中真正去用数学。
参考文献：
[1]《数学教学论》（罗增儒、李文铭编）
[2]《数学教育概论》主编：李玉琪 中国科技出版社