【摘要】本文对椭圆化为圆的变换进行了分析，得到一些不变性质，在此基础上，利用圆的性质解决了椭圆的有关问题.
　　【关键词】变换；不变性；椭圆
　　圆是特殊的椭圆，具有比椭圆更多的优美性质，并且我们对圆有更多的了解，通过适当的变换能把椭圆化为圆.本文对椭圆化为圆的变换进行了分析，在此基础上，利用圆的性质解决椭圆有关的问题.
　　1.定理及证明
　　定理1 若直线l1∥l2，其方程为l1：m1x+n1y+t1=0（m1，n1不同时为0）和l2：m2x+n2y+t2=0（m2，n2不同时为0），在变换x=au，y=bv，ab≠0下，对应直线分别为l′1和l′2，则l′1∥l′2.
　　证明 ∵直线l′1∥l′2，∴m1n2=m2n1且m1t2a≠m2t1a或n1t2b≠n2t1b.
　　即有(m1a)(n2b)=(m2a)(n1b)且［(m1a)(t2)≠(m2a)(t1)或(n1b)(t2)≠(n2b)(t1)］.(*)
　　∴变换后l′1和l′2方程分别为
　　l′1：(m1a)u+(n1b)v+t1=0和l′2：(m2a)u+(n2b)v+t2=0.
　　∴由(*)得知l′1∥l′2.
　　定理1说明了平行直线变换后仍然是平行直线.
　　由分点性质，可以证明如下定理.
　　定理2 若线段AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，点B(x2,y2)，点P(x3,y3)分有向线段AB所成的比为λ，在变换x=au，y=bv，ab≠0下，P点的对应点P′分有向线段AB的对应线段A′B′所成的比为λ′，则λ=λ′.
　　定理2说明了线段的定比分点分线段所成的比等于变换后分点的对应点分对应线段所成的比.
　　推论 线段中点的对应点变换后仍然是对应线段的中点.
　　2.应用举例
　　下面通过具体例题，体会如何利用上面的定理，解决椭圆的有关问题.
　　例1 如图1，过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0，b>0)外一点P作椭圆的两条切线PA,PB，切点分别为A，B，O为坐标原点，连接OP交椭圆于N，连接AB交OP于M，求证：（1）M为AB的中点；（2）|ON|2=|OM||OP|.
　　证明 设x=au，y=bv，ab≠0，则u2+v2=1，令P，A，B，N，N，O在变换下的对应点分别为P′,A′,B′,N′,M′,O′（如图2），依据变换的性质，PA,PB的对应直线P′A′，P′B′为单位圆u2+v2=1的切线，A′,B′为切点，M′点为O′P′与A′B′的交点，∴由圆的性质知M′为A′B′的中点.
　　故M为AB的中点.
　　又 ∵在Rt△O′A′P′中，|O′A′|2=|O′M′||O′P′|，|O′A′|=|O′N′|，
　　∴|O′N′|2=|O′M′||O′P′|，即|O′N′||O′M′|=|O′P′||O′N′|.
　　∴|ON||OM|=|OP||ON|，∴|ON|2=|OM||OP|.
　　评注 本题的转化把椭圆的切线问题转化为圆的切线问题，把长度不定的ON转化为长度恒等于1的|O′N′|，充分利用圆的性质，使证明变得简洁.
　　例2 如图3，直线l：y=kx+1与椭圆x2+y22=1交于点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点)，当k变化时，求点P的轨迹方程.
　　解 设x=u，y2=v，椭圆x2+y22=1转化为单位圆u2+v2=1，直线l:y=kx+1转化为2v=ku+1，平行四边形OAPB转化为菱形O′A′P′B′（如图4）.设P′(u,v)，由O′P′⊥A′B′及O′P′的中点在A′B′上有vu×k2=-1，2v2=ku2+1，消去k，得u2+v2=2v.由vu×k2=-1，得v≠0.转化为x-y平面中的P点的轨迹方程为2x2+(y-x)2=1(0　　评注 本题把椭圆转化为圆后，同时也把平行四边形转化为菱形，从而为求动点P的轨迹创造了更多有利的条件，简化了解题过程.
　　【参考文献】
　　［1］梅向民，刘增贤，王江淳，王智秋.高等几何［M］.高等教育出版社，2000.
　　［2］朱德祥.初等几何研究［M］.高等教育出版社.
　　［3］何作发.仿射几何几点应用.湖北大学成人教育学院学报，2004，22（4）.
　　［4］尤承业.解析几何.北京大学出版社，2004.
　　［5］陈志杰，陈咸平，林磊.高等代数与解析几何习题精解.科学出版社，2002.