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摘 要: 用热水通过一个水龙头来注满一个浴缸,但是浴缸不是一个带有二次加热系统和循环喷流的温泉式浴缸,而是一个简单的水容器,不能保温。过一会儿,洗澡水就会明显地变凉,所以洗澡的人需要不停地将热水从水龙头注入,以加热洗浴水。当浴缸里的水达到容量极限,多余的水通过溢流口泄流,保持浴缸中的水的体积不变。本文考虑了时间和空间与水温的关系,通过三维热传导模型以及冷热水混合模型运用Matlab建立了一个单一热源对浴缸中水的温度影响的模型。
关键词: 浴缸;三维热传导模型;Matlab;冷热水混合模型
一、三维热传导模型
根据傅里叶定律,取物体内任一小体积元 ,则在dt时间内沿x方向流入小立方体的热量为
同理可得在y与z放量流入小立方体的热量。
再根据能量守恒定律得热平衡方程,对于各向同性的均匀物体,k为常量,得
,其中 ,所以上式就是三维热传导方程。
上式中将 代入可得 ,△为拉普拉斯算子。
其中ρ为物体的密度,c为物体的比热容,λ为物体中的热导率。
由于浴缸中的水拥有热源,所以假设浴缸中左右端的水温度不一样,符合三维热传导模型条件,根据文献资料以及调查,人在浴缸中最舒适的水温为38°,而浴缸不具备保温功能,因此,浴缸中的水的热量会因为与浴缸壁以及空气的接触而流失,为了保持这一温度,须从浴缸的一端放进温度高于38°的水,在此假设进水的温度为43°。
由热传导定律可知,水龙头加进去的热水会与浴缸中的水混合,热量会迅速扩散到浴缸中的其他的水,使其温度上升,假如加入的水的热量刚好等于丧失的水的热量,那么浴缸中的水的温度就会保持不变。
在浴缸中假设没有其他物体,水的流速非常小可以忽略,因此可以看成是静止的水,因此模型 正好符合浴缸中温度的热传导。
为解出這条式子,我们运用了matlab中的pdetools工具箱对式子进行拟合,便可较为简便地画出式子的解在规定区域中的分布,虽然求出来的解的分布不是确切的分布,但是通过pdetools求出来的解的分布可以近似等于式子的解,因为pdetools的拟合程度比较高。
由于pdetools只能够画出二维的传导模型,于是我们对模型进行了简化,考虑水进入浴缸中有流速,故可以假设水进入浴缸时,热量先沿竖直方向传导,由于水流的作用,竖直方向的热量瞬间传导完成,故不考虑热量在竖直方向上的传导。因此可以将热量的传导简化为二维的传导,即沿着轴方向进行传导,如图1。
图1 热量二维传导图
为了方便计算,我们将浴缸拟合为一个长方体,上网查找相关资料得到浴缸的平均长为1.54m,宽为0.64m,水深根据溢水口的高度为0.46m。由此可将浴缸拟合成一个长方体,在计算时代入数据比较方便。
根据matlab中的pdetools中的模型可知,其中的抛物线模型为
根据热传导方程的形式可知,热传导方程与pdetools中的抛物线方程非常类似,因此,可以将热传导方程与pdetools中的抛物线方程进行拟合。
通过方程中系数的对比可知,抛物线方程中的d=ρc,c=λ,a=0,f=0。以上的系数可作为方程拟合时的系数,因此可以直接用抛物线方程进行拟合。接下来需要确定热传导的边界条件。
由于浴缸的水龙头的位置一般为浴缸的长的一端,因此浴缸的一端可作为边界条件之一,拟合时需要确定是Neumann边界条件还是Dirichlet边界条件,查阅相关文献可知,浴缸有外热源的一端得边界条件为Neumann边界条件,其他边界无外热源的边界条件为Dirichlet边界条件,pdetools中Neumann边界条件需要确定q与g的大小,Dirichlet边界条件需要确定h和r的大小。
通过曲线的拟合可知Neumann边界条件q=h,其中h为水与外界的对流换热系数,边界条件g=hThot,其中Thot为水龙头流出热水的温度。Dirichlet边界条件h=0,r=0。[2]
因此获得边界条件以及抛物线的系数之后就可以进行曲线的拟合。我们设置浴缸的平均水温为38°,进水的温度为42°,查阅资料可知水的对流换热系数h=4800W/(m2·℃)。所以代入边界条件可知q=4800,g=201600,将曲线拟合后生成如图所示的温度分布图。温度分布如图2所示。
二、热冷水混合数学模型
热冷水混合是本洗浴温度保持系统中的基本物理过程,在此对其进行数学建模。以便后续应用。根据能量守恒原理,即冷水升高所需的能量与热水降低所消耗的能量相等,冷热水混合后的温度变化情况科表示为:
而 ,因此可得
考虑到浴缸中的水的散热(Qs)以及为使混合后的温度等于初始的温度,即Tmax=Tcold,上式的模型可变为
其中散热量可分为几个方面,在这个模型中先假设浴缸中没有其他的物体,即浴缸中没有其他的热源或者是吸热源,所以浴缸中水的散热可分为两个方面。第一就是浴缸中的水与浴缸壁之间的导热;二就是浴缸中的水与空气中的导热。
浴缸中水与空气表面接触而丧失的热量为
其中t为时间,时间越长,水丧失的热量就会越多。
浴缸中的水与浴缸壁的导热可以分为五个面,即四个侧面以及一个底面。通过查阅资料可以得到一般浴缸壁的热导率λr,浴缸壁的厚度为δ,由平壁导热模型可知,平壁的导热还与浴缸壁两侧的温度有关,即两侧温差越大,水丧失的热量也就会越快,所以用过平壁导热模型可以求得水与浴缸壁五个面的导热为
三、水流速度与水温的关系
通过模型一可知,浴缸可以近似看成长方体,通过长方体的长宽高可以算出水与浴缸壁各个面接触的面积,通过面积可以算出水丧失的热量,问题为了解决的是最优的进水速度,因此将冷热水混合模型转换为
代入数据计算可得
将函数代入matlab中可以得到qin与Thot的关系如下图。
由曲线图的关系可知,当Thot越高时,进水量可以减少,而我们的目的就是为了让进水量越少越好,但是考虑到人有最高承受的温度,查阅相关资料可知一般人的最高承受温度为42°,将人最高承受温度Thot=42°代入可得最小的进水流量为43.407cm3/s,所以,为了保持水的温度而不浪费水时所加的水的温度为Thot=42°,水的流量为43.407cm3/s。
四、模型推广
本模型的建立用于研究三維的热传导中温度的空间和时间的分布,该模型在工业上也存在应用,例如在钢铁固体在冷却过程中应用温度变化规律,解得最优热量利用情况,同时如今服务业的发展,例如温泉的恒温控制对于旅游业成本的节省方面,热传导方程类似于扩散方程,在一定条件下可以求解空气中烟雾的扩散浓度的分布,对有毒气体进行监测与控制。在日常生活的方面,例如家里的鱼缸可以利用热传导规律对鱼缸进行保温策略。■
参考文献
[1]刘连寿,王正清,李高翔.数学物理方法(第三版)[M].北京市:高等教育出版社,2009:133.
[2]李灿,高彦栋,黄素逸.热传导问题的MATLAB数值计算[J].华中科技大学学报.2002,30(9):91-93.
[3]李春凤.数学建模在传热学中的应用[D].河北省:河北师范大学,2005.
[4]秦允豪.热学(第三版)[M].北京市:高等教育出版社,2011:168.
关键词: 浴缸;三维热传导模型;Matlab;冷热水混合模型
一、三维热传导模型
根据傅里叶定律,取物体内任一小体积元 ,则在dt时间内沿x方向流入小立方体的热量为
同理可得在y与z放量流入小立方体的热量。
再根据能量守恒定律得热平衡方程,对于各向同性的均匀物体,k为常量,得
,其中 ,所以上式就是三维热传导方程。
上式中将 代入可得 ,△为拉普拉斯算子。
其中ρ为物体的密度,c为物体的比热容,λ为物体中的热导率。
由于浴缸中的水拥有热源,所以假设浴缸中左右端的水温度不一样,符合三维热传导模型条件,根据文献资料以及调查,人在浴缸中最舒适的水温为38°,而浴缸不具备保温功能,因此,浴缸中的水的热量会因为与浴缸壁以及空气的接触而流失,为了保持这一温度,须从浴缸的一端放进温度高于38°的水,在此假设进水的温度为43°。
由热传导定律可知,水龙头加进去的热水会与浴缸中的水混合,热量会迅速扩散到浴缸中的其他的水,使其温度上升,假如加入的水的热量刚好等于丧失的水的热量,那么浴缸中的水的温度就会保持不变。
在浴缸中假设没有其他物体,水的流速非常小可以忽略,因此可以看成是静止的水,因此模型 正好符合浴缸中温度的热传导。
为解出這条式子,我们运用了matlab中的pdetools工具箱对式子进行拟合,便可较为简便地画出式子的解在规定区域中的分布,虽然求出来的解的分布不是确切的分布,但是通过pdetools求出来的解的分布可以近似等于式子的解,因为pdetools的拟合程度比较高。
由于pdetools只能够画出二维的传导模型,于是我们对模型进行了简化,考虑水进入浴缸中有流速,故可以假设水进入浴缸时,热量先沿竖直方向传导,由于水流的作用,竖直方向的热量瞬间传导完成,故不考虑热量在竖直方向上的传导。因此可以将热量的传导简化为二维的传导,即沿着轴方向进行传导,如图1。
图1 热量二维传导图
为了方便计算,我们将浴缸拟合为一个长方体,上网查找相关资料得到浴缸的平均长为1.54m,宽为0.64m,水深根据溢水口的高度为0.46m。由此可将浴缸拟合成一个长方体,在计算时代入数据比较方便。
根据matlab中的pdetools中的模型可知,其中的抛物线模型为
根据热传导方程的形式可知,热传导方程与pdetools中的抛物线方程非常类似,因此,可以将热传导方程与pdetools中的抛物线方程进行拟合。
通过方程中系数的对比可知,抛物线方程中的d=ρc,c=λ,a=0,f=0。以上的系数可作为方程拟合时的系数,因此可以直接用抛物线方程进行拟合。接下来需要确定热传导的边界条件。
由于浴缸的水龙头的位置一般为浴缸的长的一端,因此浴缸的一端可作为边界条件之一,拟合时需要确定是Neumann边界条件还是Dirichlet边界条件,查阅相关文献可知,浴缸有外热源的一端得边界条件为Neumann边界条件,其他边界无外热源的边界条件为Dirichlet边界条件,pdetools中Neumann边界条件需要确定q与g的大小,Dirichlet边界条件需要确定h和r的大小。
通过曲线的拟合可知Neumann边界条件q=h,其中h为水与外界的对流换热系数,边界条件g=hThot,其中Thot为水龙头流出热水的温度。Dirichlet边界条件h=0,r=0。[2]
因此获得边界条件以及抛物线的系数之后就可以进行曲线的拟合。我们设置浴缸的平均水温为38°,进水的温度为42°,查阅资料可知水的对流换热系数h=4800W/(m2·℃)。所以代入边界条件可知q=4800,g=201600,将曲线拟合后生成如图所示的温度分布图。温度分布如图2所示。
二、热冷水混合数学模型
热冷水混合是本洗浴温度保持系统中的基本物理过程,在此对其进行数学建模。以便后续应用。根据能量守恒原理,即冷水升高所需的能量与热水降低所消耗的能量相等,冷热水混合后的温度变化情况科表示为:
而 ,因此可得
考虑到浴缸中的水的散热(Qs)以及为使混合后的温度等于初始的温度,即Tmax=Tcold,上式的模型可变为
其中散热量可分为几个方面,在这个模型中先假设浴缸中没有其他的物体,即浴缸中没有其他的热源或者是吸热源,所以浴缸中水的散热可分为两个方面。第一就是浴缸中的水与浴缸壁之间的导热;二就是浴缸中的水与空气中的导热。
浴缸中水与空气表面接触而丧失的热量为
其中t为时间,时间越长,水丧失的热量就会越多。
浴缸中的水与浴缸壁的导热可以分为五个面,即四个侧面以及一个底面。通过查阅资料可以得到一般浴缸壁的热导率λr,浴缸壁的厚度为δ,由平壁导热模型可知,平壁的导热还与浴缸壁两侧的温度有关,即两侧温差越大,水丧失的热量也就会越快,所以用过平壁导热模型可以求得水与浴缸壁五个面的导热为
三、水流速度与水温的关系
通过模型一可知,浴缸可以近似看成长方体,通过长方体的长宽高可以算出水与浴缸壁各个面接触的面积,通过面积可以算出水丧失的热量,问题为了解决的是最优的进水速度,因此将冷热水混合模型转换为
代入数据计算可得
将函数代入matlab中可以得到qin与Thot的关系如下图。
由曲线图的关系可知,当Thot越高时,进水量可以减少,而我们的目的就是为了让进水量越少越好,但是考虑到人有最高承受的温度,查阅相关资料可知一般人的最高承受温度为42°,将人最高承受温度Thot=42°代入可得最小的进水流量为43.407cm3/s,所以,为了保持水的温度而不浪费水时所加的水的温度为Thot=42°,水的流量为43.407cm3/s。
四、模型推广
本模型的建立用于研究三維的热传导中温度的空间和时间的分布,该模型在工业上也存在应用,例如在钢铁固体在冷却过程中应用温度变化规律,解得最优热量利用情况,同时如今服务业的发展,例如温泉的恒温控制对于旅游业成本的节省方面,热传导方程类似于扩散方程,在一定条件下可以求解空气中烟雾的扩散浓度的分布,对有毒气体进行监测与控制。在日常生活的方面,例如家里的鱼缸可以利用热传导规律对鱼缸进行保温策略。■
参考文献
[1]刘连寿,王正清,李高翔.数学物理方法(第三版)[M].北京市:高等教育出版社,2009:133.
[2]李灿,高彦栋,黄素逸.热传导问题的MATLAB数值计算[J].华中科技大学学报.2002,30(9):91-93.
[3]李春凤.数学建模在传热学中的应用[D].河北省:河北师范大学,2005.
[4]秦允豪.热学(第三版)[M].北京市:高等教育出版社,2011:168.