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摘 要： 用热水通过一个水龙头来注满一个浴缸，但是浴缸不是一个带有二次加热系统和循环喷流的温泉式浴缸，而是一个简单的水容器，不能保温。过一会儿，洗澡水就会明显地变凉，所以洗澡的人需要不停地将热水从水龙头注入，以加热洗浴水。当浴缸里的水达到容量极限，多余的水通过溢流口泄流，保持浴缸中的水的体积不变。本文考虑了时间和空间与水温的关系，通过三维热传导模型以及冷热水混合模型运用Matlab建立了一个单一热源对浴缸中水的温度影响的模型。
关键词： 浴缸；三维热传导模型；Matlab；冷热水混合模型
一、三维热传导模型
根据傅里叶定律，取物体内任一小体积元 ，则在dt时间内沿x方向流入小立方体的热量为
同理可得在y与z放量流入小立方体的热量。
再根据能量守恒定律得热平衡方程，对于各向同性的均匀物体，k为常量，得
，其中 ，所以上式就是三维热传导方程。
上式中将 代入可得 ，△为拉普拉斯算子。
其中ρ为物体的密度，c为物体的比热容，λ为物体中的热导率。
由于浴缸中的水拥有热源，所以假设浴缸中左右端的水温度不一样，符合三维热传导模型条件，根据文献资料以及调查，人在浴缸中最舒适的水温为38°，而浴缸不具备保温功能，因此，浴缸中的水的热量会因为与浴缸壁以及空气的接触而流失，为了保持这一温度，须从浴缸的一端放进温度高于38°的水，在此假设进水的温度为43°。
由热传导定律可知，水龙头加进去的热水会与浴缸中的水混合，热量会迅速扩散到浴缸中的其他的水，使其温度上升，假如加入的水的热量刚好等于丧失的水的热量，那么浴缸中的水的温度就会保持不变。
在浴缸中假设没有其他物体，水的流速非常小可以忽略，因此可以看成是静止的水，因此模型 正好符合浴缸中温度的热传导。
为解出這条式子，我们运用了matlab中的pdetools工具箱对式子进行拟合，便可较为简便地画出式子的解在规定区域中的分布，虽然求出来的解的分布不是确切的分布，但是通过pdetools求出来的解的分布可以近似等于式子的解，因为pdetools的拟合程度比较高。
由于pdetools只能够画出二维的传导模型，于是我们对模型进行了简化，考虑水进入浴缸中有流速，故可以假设水进入浴缸时，热量先沿竖直方向传导，由于水流的作用，竖直方向的热量瞬间传导完成，故不考虑热量在竖直方向上的传导。因此可以将热量的传导简化为二维的传导，即沿着轴方向进行传导，如图1。
图1 热量二维传导图
为了方便计算，我们将浴缸拟合为一个长方体，上网查找相关资料得到浴缸的平均长为1.54m，宽为0.64m，水深根据溢水口的高度为0.46m。由此可将浴缸拟合成一个长方体，在计算时代入数据比较方便。
根据matlab中的pdetools中的模型可知，其中的抛物线模型为
根据热传导方程的形式可知，热传导方程与pdetools中的抛物线方程非常类似，因此，可以将热传导方程与pdetools中的抛物线方程进行拟合。
通过方程中系数的对比可知，抛物线方程中的d=ρc，c=λ，a=0，f=0。以上的系数可作为方程拟合时的系数，因此可以直接用抛物线方程进行拟合。接下来需要确定热传导的边界条件。
由于浴缸的水龙头的位置一般为浴缸的长的一端，因此浴缸的一端可作为边界条件之一，拟合时需要确定是Neumann边界条件还是Dirichlet边界条件，查阅相关文献可知，浴缸有外热源的一端得边界条件为Neumann边界条件，其他边界无外热源的边界条件为Dirichlet边界条件，pdetools中Neumann边界条件需要确定q与g的大小，Dirichlet边界条件需要确定h和r的大小。
通过曲线的拟合可知Neumann边界条件q=h，其中h为水与外界的对流换热系数，边界条件g=hThot，其中Thot为水龙头流出热水的温度。Dirichlet边界条件h=0，r=0。[2]
因此获得边界条件以及抛物线的系数之后就可以进行曲线的拟合。我们设置浴缸的平均水温为38°，进水的温度为42°，查阅资料可知水的对流换热系数h=4800W/（m2·℃）。所以代入边界条件可知q=4800，g=201600，将曲线拟合后生成如图所示的温度分布图。温度分布如图2所示。
二、热冷水混合数学模型
热冷水混合是本洗浴温度保持系统中的基本物理过程，在此对其进行数学建模。以便后续应用。根据能量守恒原理，即冷水升高所需的能量与热水降低所消耗的能量相等，冷热水混合后的温度变化情况科表示为：
而 ，因此可得
考虑到浴缸中的水的散热（Qs）以及为使混合后的温度等于初始的温度，即Tmax=Tcold，上式的模型可变为
其中散热量可分为几个方面，在这个模型中先假设浴缸中没有其他的物体，即浴缸中没有其他的热源或者是吸热源，所以浴缸中水的散热可分为两个方面。第一就是浴缸中的水与浴缸壁之间的导热；二就是浴缸中的水与空气中的导热。
浴缸中水与空气表面接触而丧失的热量为
其中t为时间，时间越长，水丧失的热量就会越多。
浴缸中的水与浴缸壁的导热可以分为五个面，即四个侧面以及一个底面。通过查阅资料可以得到一般浴缸壁的热导率λr，浴缸壁的厚度为δ，由平壁导热模型可知，平壁的导热还与浴缸壁两侧的温度有关，即两侧温差越大，水丧失的热量也就会越快，所以用过平壁导热模型可以求得水与浴缸壁五个面的导热为
三、水流速度与水温的关系
通过模型一可知，浴缸可以近似看成长方体，通过长方体的长宽高可以算出水与浴缸壁各个面接触的面积，通过面积可以算出水丧失的热量，问题为了解决的是最优的进水速度，因此将冷热水混合模型转换为
代入数据计算可得
将函数代入matlab中可以得到qin与Thot的关系如下图。
由曲线图的关系可知，当Thot越高时，进水量可以减少，而我们的目的就是为了让进水量越少越好，但是考虑到人有最高承受的温度，查阅相关资料可知一般人的最高承受温度为42°，将人最高承受温度Thot=42°代入可得最小的进水流量为43.407cm3/s，所以，为了保持水的温度而不浪费水时所加的水的温度为Thot=42°，水的流量为43.407cm3/s。
四、模型推广
本模型的建立用于研究三維的热传导中温度的空间和时间的分布，该模型在工业上也存在应用，例如在钢铁固体在冷却过程中应用温度变化规律，解得最优热量利用情况，同时如今服务业的发展，例如温泉的恒温控制对于旅游业成本的节省方面，热传导方程类似于扩散方程，在一定条件下可以求解空气中烟雾的扩散浓度的分布，对有毒气体进行监测与控制。在日常生活的方面，例如家里的鱼缸可以利用热传导规律对鱼缸进行保温策略。■
参考文献
[1]刘连寿，王正清，李高翔.数学物理方法（第三版）[M].北京市：高等教育出版社，2009：133.
[2]李灿，高彦栋，黄素逸.热传导问题的MATLAB数值计算[J].华中科技大学学报.2002，30（9）：91-93.
[3]李春凤.数学建模在传热学中的应用[D].河北省：河北师范大学，2005.
[4]秦允豪.热学（第三版）[M].北京市：高等教育出版社，2011：168.
关键词： 浴缸；三维热传导模型；Matlab；冷热水混合模型
一、三维热传导模型
根据傅里叶定律，取物体内任一小体积元 ，则在dt时间内沿x方向流入小立方体的热量为
同理可得在y与z放量流入小立方体的热量。
再根据能量守恒定律得热平衡方程，对于各向同性的均匀物体，k为常量，得
，其中 ，所以上式就是三维热传导方程。
上式中将 代入可得 ，△为拉普拉斯算子。
其中ρ为物体的密度，c为物体的比热容，λ为物体中的热导率。
由于浴缸中的水拥有热源，所以假设浴缸中左右端的水温度不一样，符合三维热传导模型条件，根据文献资料以及调查，人在浴缸中最舒适的水温为38°，而浴缸不具备保温功能，因此，浴缸中的水的热量会因为与浴缸壁以及空气的接触而流失，为了保持这一温度，须从浴缸的一端放进温度高于38°的水，在此假设进水的温度为43°。
由热传导定律可知，水龙头加进去的热水会与浴缸中的水混合，热量会迅速扩散到浴缸中的其他的水，使其温度上升，假如加入的水的热量刚好等于丧失的水的热量，那么浴缸中的水的温度就会保持不变。
在浴缸中假设没有其他物体，水的流速非常小可以忽略，因此可以看成是静止的水，因此模型 正好符合浴缸中温度的热传导。
为解出這条式子，我们运用了matlab中的pdetools工具箱对式子进行拟合，便可较为简便地画出式子的解在规定区域中的分布，虽然求出来的解的分布不是确切的分布，但是通过pdetools求出来的解的分布可以近似等于式子的解，因为pdetools的拟合程度比较高。
由于pdetools只能够画出二维的传导模型，于是我们对模型进行了简化，考虑水进入浴缸中有流速，故可以假设水进入浴缸时，热量先沿竖直方向传导，由于水流的作用，竖直方向的热量瞬间传导完成，故不考虑热量在竖直方向上的传导。因此可以将热量的传导简化为二维的传导，即沿着轴方向进行传导，如图1。
图1 热量二维传导图
为了方便计算，我们将浴缸拟合为一个长方体，上网查找相关资料得到浴缸的平均长为1.54m，宽为0.64m，水深根据溢水口的高度为0.46m。由此可将浴缸拟合成一个长方体，在计算时代入数据比较方便。
根据matlab中的pdetools中的模型可知，其中的抛物线模型为
根据热传导方程的形式可知，热传导方程与pdetools中的抛物线方程非常类似，因此，可以将热传导方程与pdetools中的抛物线方程进行拟合。
通过方程中系数的对比可知，抛物线方程中的d=ρc，c=λ，a=0，f=0。以上的系数可作为方程拟合时的系数，因此可以直接用抛物线方程进行拟合。接下来需要确定热传导的边界条件。
由于浴缸的水龙头的位置一般为浴缸的长的一端，因此浴缸的一端可作为边界条件之一，拟合时需要确定是Neumann边界条件还是Dirichlet边界条件，查阅相关文献可知，浴缸有外热源的一端得边界条件为Neumann边界条件，其他边界无外热源的边界条件为Dirichlet边界条件，pdetools中Neumann边界条件需要确定q与g的大小，Dirichlet边界条件需要确定h和r的大小。
通过曲线的拟合可知Neumann边界条件q=h，其中h为水与外界的对流换热系数，边界条件g=hThot，其中Thot为水龙头流出热水的温度。Dirichlet边界条件h=0，r=0。[2]
因此获得边界条件以及抛物线的系数之后就可以进行曲线的拟合。我们设置浴缸的平均水温为38°，进水的温度为42°，查阅资料可知水的对流换热系数h=4800W/（m2·℃）。所以代入边界条件可知q=4800，g=201600，将曲线拟合后生成如图所示的温度分布图。温度分布如图2所示。
二、热冷水混合数学模型
热冷水混合是本洗浴温度保持系统中的基本物理过程，在此对其进行数学建模。以便后续应用。根据能量守恒原理，即冷水升高所需的能量与热水降低所消耗的能量相等，冷热水混合后的温度变化情况科表示为：
而 ，因此可得
考虑到浴缸中的水的散热（Qs）以及为使混合后的温度等于初始的温度，即Tmax=Tcold，上式的模型可变为
其中散热量可分为几个方面，在这个模型中先假设浴缸中没有其他的物体，即浴缸中没有其他的热源或者是吸热源，所以浴缸中水的散热可分为两个方面。第一就是浴缸中的水与浴缸壁之间的导热；二就是浴缸中的水与空气中的导热。
浴缸中水与空气表面接触而丧失的热量为
其中t为时间，时间越长，水丧失的热量就会越多。
浴缸中的水与浴缸壁的导热可以分为五个面，即四个侧面以及一个底面。通过查阅资料可以得到一般浴缸壁的热导率λr，浴缸壁的厚度为δ，由平壁导热模型可知，平壁的导热还与浴缸壁两侧的温度有关，即两侧温差越大，水丧失的热量也就会越快，所以用过平壁导热模型可以求得水与浴缸壁五个面的导热为
三、水流速度与水温的关系
通过模型一可知，浴缸可以近似看成长方体，通过长方体的长宽高可以算出水与浴缸壁各个面接触的面积，通过面积可以算出水丧失的热量，问题为了解决的是最优的进水速度，因此将冷热水混合模型转换为
代入数据计算可得
将函数代入matlab中可以得到qin与Thot的关系如下图。
由曲线图的关系可知，当Thot越高时，进水量可以减少，而我们的目的就是为了让进水量越少越好，但是考虑到人有最高承受的温度，查阅相关资料可知一般人的最高承受温度为42°，将人最高承受温度Thot=42°代入可得最小的进水流量为43.407cm3/s，所以，为了保持水的温度而不浪费水时所加的水的温度为Thot=42°，水的流量为43.407cm3/s。
四、模型推广
本模型的建立用于研究三維的热传导中温度的空间和时间的分布，该模型在工业上也存在应用，例如在钢铁固体在冷却过程中应用温度变化规律，解得最优热量利用情况，同时如今服务业的发展，例如温泉的恒温控制对于旅游业成本的节省方面，热传导方程类似于扩散方程，在一定条件下可以求解空气中烟雾的扩散浓度的分布，对有毒气体进行监测与控制。在日常生活的方面，例如家里的鱼缸可以利用热传导规律对鱼缸进行保温策略。■
参考文献
[1]刘连寿，王正清，李高翔.数学物理方法（第三版）[M].北京市：高等教育出版社，2009：133.
[2]李灿，高彦栋，黄素逸.热传导问题的MATLAB数值计算[J].华中科技大学学报.2002，30（9）：91-93.
[3]李春凤.数学建模在传热学中的应用[D].河北省：河北师范大学，2005.
[4]秦允豪.热学（第三版）[M].北京市：高等教育出版社，2011：168.