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摘要 本论文联系当今中学的教学状态和新课标改革，提出中学数学教学过程中应重视知识的收敛和思维的发散，而这样的教学目的才能适应时代发展的形势，培养具有创新的人才。
关键词 知识收敛 思维发散 必要性
中图分类号：G633.3
数学学科由于受高考、中考的指挥棒的影响，许多学校的教学“应试”气氛还是很浓，教师们提倡的是所谓的高效学习，即十分重视学习方法的学习，其主要目的是提高学习的“效率”。它“给人以鱼”，并强调“授人以渔”，但实际上并不关心给的是什么“鱼”和打到的是什么“鱼”。这种高效学习所追求的是掌握知识的量而不是质。因此，我认为要在初中数学中重视知识收敛思维发散，这样更有助于提高学生掌握知识质量和提高思维能力。本文就此进行初步探讨。
首先我们来看看知识收敛与思维发散的涵义。知识的收敛指的是在教学中，教师们向学生介绍、补充知识和概念时，不应过多，不要凡是能涉及到的概念与知识统统在课堂内向学生介绍，并要求学生牢记、掌握，而是要有所选择，突出主干内容。一个概念是否介绍给学生，一是看其在数学学科结构体系中的地位如何，二是分析该概念、知识是否典型，其作用如何，三是考虑其需要性和必要性。知识的收敛意味着知识内容的精选，减少学生纯记忆的内容，而不是追求知识内容的量。
思维的发散[1]指的是对已知的信息进行多方向、多角度、多层次的思考与分析，不局限于既定的理解，提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式，这种思维是开放式的，表现出灵活、巧妙与创新的特征，它思路广阔，寻求变异，对已知信息通过转换或改造进行扩散派生以形成各种新信息。在思维内容上具有变通性和开放性，它对推广原理问题、引申旧知识、发现新方法等具有积极的开拓作用。
其次，我們来谈谈知识收敛与思维发散的必要性。
1. 知识的更新速度要求我们对知识要有所收敛的学习
说起知识，照理应该是知识越多越好，但是在这知识爆炸的年代，我们的教育如果只注重知识的传授，那么，任何一个人，即使是天才，在他的一生中即使“胎教”加“终身教育”所掌握的信息也是极为有限的，我们的后人只能接受前人所留下的一部分知识，而且仅这部分知识也不可能掌握得很深很透，更谈不上发展与创新了。
历史在前进，社会在发展，教育也必须适应社会的发展，我们的教育所培养出来的人必须具有创新的意识与创新的精神。如果在课堂里学生每时每刻都在接受知识，如何形成创新的意识和能力呢？因此，教学中知识必须收敛，必须在突出主干内容的基础上，向纵深发展。这正象造房子，以前的房子是靠砖块一块一块地迭上去，这些砖块就好比是知识与概念，这样的房子造不高也造不牢。现在的房子是框架式的，它依靠几个支柱把房子造高了、造牢了，砖块仅仅起到一些隔离的作用。这不是新的创造发明，在此之前我们的先人已经给我们做了很好的榜样，如在几何中，首先依靠几个公理为基础，证明一些定理，几何问题的解决便依靠这些公理与定理。这些公理就好比是建筑中的桩，这些定理就是柱与梁，这门学科依靠了一些主干的内容，建立了完整的学科体系，它把十三卷《几何原本》的内容写成了一册书，学生通过这样的学习高效率地掌握了几何知识、几何方法及它所形成的思维。如果把《几何原本》一卷卷地让学生去学习，那将是如何呢？不可想象也不敢去想象。
在当今的信息社会，知识的大量增加，我们除了利用现代化的工具——电脑之外，在教学中还是要考虑如何设计好这门学科中的“桩”、“柱”和“梁”，即如何突出主干内容。因此，教学时知识必须要收敛。
2. 思维发散的直接趋向就是创造性思维，而创新思维是时代的需求
由于发散思维的直接趋向就是创造性思维，而创造性思维与它的结果，即发现、发明或创造，是人类智慧的花朵和文明的结晶。一般来说，创造是指发现新事物，揭示新规律，获得新成果，建立新理论，创造新方法，发明新技术等等。因此，创造所涉及的范围是非常广泛的，创造性思维就是“创新过程中的思维活动”。即只要思维的结果具有创新性质，那么它的思维就是创造性思维。
思维结果的创新性是有客观标准的，首先表现为[2]这种结果的自身价值和社会意义，通常应对人类社会的物质或文化的发展具有一定的社会效益和促进作用；其次是思维结果的创新程度和它的相对性，我们可以按照创新的相对意义从两种不同的角度把创造性思维划分成两类：创造和再发现。
通常意义下的创造性思维是“创造”和“再发现”的总和。严格意义下的创造并不能一蹴而就，它是“再发现”或创造性思维的积累和发展，只有“再发现”式的创造性思维得到充分的发展后，才有可能产生从量变到质变的飞跃，达到真正的发明、创造的高度，在这种理解下，创造性思维对于一切正常人来说都是可能产生的，对于数学教学具有重要的现实教育意义。
3. 培养学生思维的发散在数学教学中具有独特的意义
就当前中学数学教学而言，我们的学生还谈不上严格意义下的“创造”，但却有大量的“再发现”的内容与机会。例如，勾股定理的证明，课本上采用了的利用面积相等的证明方法，虽然到目前为止，勾股定理的证明已有370多种证明方法，但对于学生来说，如发现除这种方法之外的证明方法，都是“创造”，当然这种“创造”不是严格意义下的创造，而是“再发现”，教学需要有这种“再发现”，这对学生的创新意识和创新能力培养尤为重要。
因此，在我们的教学中，思维要发散，要让学生从多角度、多方向去分析思考问题，让学生不断地“再发现”，这样学生才会为以后的严格意义下的创造打下坚實的基础。
综上所述，教师在教学中，只有充分考虑知识的收敛，才能有效地进行思维的发散，这就要求教师认真钻研教材，根据学生实际抓住重点，抓主干内容，合理大胆地进行教材处理。这种教材处理当然不能远离大纲，应该在遵循大纲和课本内容但又不拘泥于大纲和课本内容的前提下进行的。教师一要敢于把有利于培养学生思维和能力的题材用于教学，善于挖掘教材的内涵；二要能大胆地把一些作用不大、费时太多的内容处理掉，把许多重复的操练减下来，让学生学得轻松、愉快、高效。
引用文献：
[1]. 马忠林. 数学思维论. [M] 广西：广西教育出版社，2002年8月 第24页
[2]. 钱学森. 关于思维科学.[M] 北京：科学出版社，2000年12月 第76-78页
关键词 知识收敛 思维发散 必要性
中图分类号：G633.3
数学学科由于受高考、中考的指挥棒的影响，许多学校的教学“应试”气氛还是很浓，教师们提倡的是所谓的高效学习，即十分重视学习方法的学习，其主要目的是提高学习的“效率”。它“给人以鱼”，并强调“授人以渔”，但实际上并不关心给的是什么“鱼”和打到的是什么“鱼”。这种高效学习所追求的是掌握知识的量而不是质。因此，我认为要在初中数学中重视知识收敛思维发散，这样更有助于提高学生掌握知识质量和提高思维能力。本文就此进行初步探讨。
首先我们来看看知识收敛与思维发散的涵义。知识的收敛指的是在教学中，教师们向学生介绍、补充知识和概念时，不应过多，不要凡是能涉及到的概念与知识统统在课堂内向学生介绍，并要求学生牢记、掌握，而是要有所选择，突出主干内容。一个概念是否介绍给学生，一是看其在数学学科结构体系中的地位如何，二是分析该概念、知识是否典型，其作用如何，三是考虑其需要性和必要性。知识的收敛意味着知识内容的精选，减少学生纯记忆的内容，而不是追求知识内容的量。
思维的发散[1]指的是对已知的信息进行多方向、多角度、多层次的思考与分析，不局限于既定的理解，提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式，这种思维是开放式的，表现出灵活、巧妙与创新的特征，它思路广阔，寻求变异，对已知信息通过转换或改造进行扩散派生以形成各种新信息。在思维内容上具有变通性和开放性，它对推广原理问题、引申旧知识、发现新方法等具有积极的开拓作用。
其次，我們来谈谈知识收敛与思维发散的必要性。
1. 知识的更新速度要求我们对知识要有所收敛的学习
说起知识，照理应该是知识越多越好，但是在这知识爆炸的年代，我们的教育如果只注重知识的传授，那么，任何一个人，即使是天才，在他的一生中即使“胎教”加“终身教育”所掌握的信息也是极为有限的，我们的后人只能接受前人所留下的一部分知识，而且仅这部分知识也不可能掌握得很深很透，更谈不上发展与创新了。
历史在前进，社会在发展，教育也必须适应社会的发展，我们的教育所培养出来的人必须具有创新的意识与创新的精神。如果在课堂里学生每时每刻都在接受知识，如何形成创新的意识和能力呢？因此，教学中知识必须收敛，必须在突出主干内容的基础上，向纵深发展。这正象造房子，以前的房子是靠砖块一块一块地迭上去，这些砖块就好比是知识与概念，这样的房子造不高也造不牢。现在的房子是框架式的，它依靠几个支柱把房子造高了、造牢了，砖块仅仅起到一些隔离的作用。这不是新的创造发明，在此之前我们的先人已经给我们做了很好的榜样，如在几何中，首先依靠几个公理为基础，证明一些定理，几何问题的解决便依靠这些公理与定理。这些公理就好比是建筑中的桩，这些定理就是柱与梁，这门学科依靠了一些主干的内容，建立了完整的学科体系，它把十三卷《几何原本》的内容写成了一册书，学生通过这样的学习高效率地掌握了几何知识、几何方法及它所形成的思维。如果把《几何原本》一卷卷地让学生去学习，那将是如何呢？不可想象也不敢去想象。
在当今的信息社会，知识的大量增加，我们除了利用现代化的工具——电脑之外，在教学中还是要考虑如何设计好这门学科中的“桩”、“柱”和“梁”，即如何突出主干内容。因此，教学时知识必须要收敛。
2. 思维发散的直接趋向就是创造性思维，而创新思维是时代的需求
由于发散思维的直接趋向就是创造性思维，而创造性思维与它的结果，即发现、发明或创造，是人类智慧的花朵和文明的结晶。一般来说，创造是指发现新事物，揭示新规律，获得新成果，建立新理论，创造新方法，发明新技术等等。因此，创造所涉及的范围是非常广泛的，创造性思维就是“创新过程中的思维活动”。即只要思维的结果具有创新性质，那么它的思维就是创造性思维。
思维结果的创新性是有客观标准的，首先表现为[2]这种结果的自身价值和社会意义，通常应对人类社会的物质或文化的发展具有一定的社会效益和促进作用；其次是思维结果的创新程度和它的相对性，我们可以按照创新的相对意义从两种不同的角度把创造性思维划分成两类：创造和再发现。
通常意义下的创造性思维是“创造”和“再发现”的总和。严格意义下的创造并不能一蹴而就，它是“再发现”或创造性思维的积累和发展，只有“再发现”式的创造性思维得到充分的发展后，才有可能产生从量变到质变的飞跃，达到真正的发明、创造的高度，在这种理解下，创造性思维对于一切正常人来说都是可能产生的，对于数学教学具有重要的现实教育意义。
3. 培养学生思维的发散在数学教学中具有独特的意义
就当前中学数学教学而言，我们的学生还谈不上严格意义下的“创造”，但却有大量的“再发现”的内容与机会。例如，勾股定理的证明，课本上采用了的利用面积相等的证明方法，虽然到目前为止，勾股定理的证明已有370多种证明方法，但对于学生来说，如发现除这种方法之外的证明方法，都是“创造”，当然这种“创造”不是严格意义下的创造，而是“再发现”，教学需要有这种“再发现”，这对学生的创新意识和创新能力培养尤为重要。
因此，在我们的教学中，思维要发散，要让学生从多角度、多方向去分析思考问题，让学生不断地“再发现”，这样学生才会为以后的严格意义下的创造打下坚實的基础。
综上所述，教师在教学中，只有充分考虑知识的收敛，才能有效地进行思维的发散，这就要求教师认真钻研教材，根据学生实际抓住重点，抓主干内容，合理大胆地进行教材处理。这种教材处理当然不能远离大纲，应该在遵循大纲和课本内容但又不拘泥于大纲和课本内容的前提下进行的。教师一要敢于把有利于培养学生思维和能力的题材用于教学，善于挖掘教材的内涵；二要能大胆地把一些作用不大、费时太多的内容处理掉，把许多重复的操练减下来，让学生学得轻松、愉快、高效。
引用文献：
[1]. 马忠林. 数学思维论. [M] 广西：广西教育出版社，2002年8月 第24页
[2]. 钱学森. 关于思维科学.[M] 北京：科学出版社，2000年12月 第76-78页