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摘 要：在解决有关倍的问题时理清量与量之间的数量关系起着非常重要的作用，本文对教学“解决有关倍的问题”的过程中利用线段图帮助学生理清数量关系并解决问题进行了研究和实践。
关键词：倍的问题;线段图;数量关系
“解决倍的问题”是人教版三年级上册第五单元的内容，教材上出现了两类问题：求一个数是另一个数的几倍（求几倍数）;求一个数的几倍是多少（求比较量）。而在我们实际解决有关倍的问题时，往往还会出现第三类问题：已知一个数的几倍是多少，求这个数（求标准量）。这些问题看似简单，但学生却很容易出现“见倍就乘”或无从下手的情况，究其原因是没有理清问题中“标准量”、“比较量”和“几倍数”这三种量之间的数量关系。
数量关系是从一类有共同规律的数学问题中总结出来的，能够揭示某些数量之间的本质联系的数学概念。它能為学生在解决类似问题指引方向，提供基本方法，形成思维，帮助学生有效解决问题。
笔者认为，线段图可以帮助学生快速而准确理清数量关系。线段图是由一条或几条线段组合在一起，利用线段的长短关系表示问题中抽象的数量关系的一种解题形式。线段图有利于把抽象的概念形象化，帮助学生理清题目中的条件和问题，抓住它们之间的数量关系，成功解决难题。线段图可以让“倍的问题”中三种量的关系更加的直观，三年级的学生以具体形象思维为主，数量关系又比较抽象，所以我们可以利用线段图的直观形象，帮助学生理解并分析数量关系。
一、动态演变，初识线段图
理清问题中的数量关系是学生解决有关倍的问题的关键所在，因此我们要让学生读懂线段图，了解线段图中每一部分表示的意思，知道各部分之间的关系。
1.思考：图示在学生思维发展过程中的变化及联系
三年级的学生之前并没有接触过线段图，这主要和学生的思维发展有关。学生的思维特点在小学阶段是一个动态的发展：具体形象思维→抽象逻辑思维，但他们的抽象思维很大程度上仍然和直观经验相关联，需要具体形象的帮助。
笔者对教材中出现三类图示的运用情况进行了统计，发现示意图通常出现在一年级至三上年级，高年级也有出现，但一般在“数学广角”和“综合实践”课;色条图只在二上年级出现过一次;线段图是在三上年级解决“求一个数的几倍是多少”时开始出现，并且在高年级成为学生解决问题中的有力工具。可见，图示应用的改变也体现了学生思维发展的变化。
图示是思维的具象表现，但不得不说，三种图示还是有所不同：示意图是最具象的一种图示，学生最容易理解并且利用它解决问题，所以是学生在低段常用的解决问题的方法;色条图是对示意图的初步抽象，教材中使用不多，学生对于这种图示并不熟悉;线段图是对图示的再一次抽象，对三年级的学生而言，线段图的理解有一定的困难。
2.教学实践：
针对学生在学习过程中对于色条图和线段图的理解有困难，我对这两种图示的呈现给予动画演变的过程，即示意图→色条图→线段图，动态的演变过程能让学生将抽象的图示与已经理解的具象的图示联系起来，帮助对抽象图示的理解。
【教学片段：】
（1）示意图解决问题
（课件出示数学信息，引导学生提出有关倍的问题：擦桌椅的有12人，扫地的有4人。擦桌椅的人数是扫地的几倍？）
①引出示意图，请学生描述对示意图的理解（明确：一个○表示一个人）
②利用示意图解决问题
问：你能看出擦桌椅的人数是扫地的几倍吗？怎么看的？（把扫地的4人看作一份，擦桌椅的就有这样的3份，就是三倍。）也可以用圈一圈的方法，看出有这样的3份。（课件演示圈一圈解决问题的过程）
（2）色条图解决问题
①色条图的认识
（利用课件动态演示呈现色条图：）
问：你能从这个图示中找到刚才的信息吗？你能把刚才的信息填到这幅图示中吗？（“扫地的”旁边一条长度表示4人，“擦桌椅的”旁边一条表示12人）
提出：这样的图我们把它叫做色条图，它的长短表示数量的多少。
②利用色条图解决问题
问：怎样才能从色条图中知道擦桌椅的人数是扫地的几倍？（用扫地的一条去下面比一比，看看有几个这样的一条？）
（3）认识线段图
（将色条图演变成线段图：）
请学生根据自己的理解将信息填入线段图中。
二、二次画图，感知数量关系
1.数量关系在线段图中的体现
解决问题能综合培养学生各方面能力，学生解决问题的过程中，有时候会遇到数学信息颇多的题目，那么学生往往会不知道从何开始分析题目，找不出其中的数量关系，特别是有些问题中是多个数量关系的叠加，因此利用线段图，标注简单的符号、简洁的文字，让学生直观感知问题中单一的或多重的数量关系，从而得出解决问题的思路和方法。
在人教版的教材中，问题中的数量关系有单一数量关系以及由单一数量关系组成的多重数量关系，笔者对小学阶段用线段图来解决问题的数量关系进行了整理：
（1）体现单一数量关系的线段图
以上线段图基本上涵盖了所有数量关系的不同形式，主要为和差关系、总分关系和倍数关系。当我们解决“小明有4个气球，小红有6个气球，两人共有多少个气球？”这个问题时，我们就可以用①号线段图来帮助学生理解题意，理清数量关系，解决问题;当我们解决“汽车每小时行驶60千米，2小时行驶了多少千米？”这个问题时，可以用④号线段图来速度、时间和路程之间有“速度×时间=路程”的关系;④号线段图还可以帮助学生解决“每箱有12瓶水，4箱共有多少瓶水？”这样的问题，学生能够在理解的基础上提炼出数量关系：每箱的数量×箱数=总数;像⑦号线段图既可以解决“求一个数的几倍是多少”，也可以解决“求一个数的几分之几是多少”这类倍率问题。 （2）体现多重数量关系的线段图
我们不难发现，这些能够体现多重数量关系的线段图里所包含的数量关系，都是两个单一数量关系的组合，当然，若出现更复杂的问题也会包含更多个单一数量关系。这也说明线段图可以帮助我们理清各类问题中的数量关系，学生分析各类问题都可以使用线段图这个工具来分析题意，理清关系，突破问题的关键。
2.数量关系在线段图中的形成
数学思维就是用数学思考问题和解决问题的思维活动形式。数学学习离不开思维，数学问题的解决需要通过思维来实现，学生画图的过程既是学生思维活动的过程，同时也是数量关系的建构过程。而对于一些已知条件比较多、关系比较复杂的问题，我们也可以将线段图作为学生思考的媒介。
画线段图是从已有的数学信息出发，用线段来表示条件和问题，并用简洁的文字、符号进行一一对应的标注。
例如：甲数是5，乙数是甲数的3倍，丙数比乙数多4，丙数是多少？
画法：根据“甲是5”，可以用一条线段来表示甲;“乙數是甲数的3倍”，那么表示乙数的线段就有
3条表示甲数的线段那么长;再根据“丙数比乙数多4”，知道表示丙数的线段比乙数长一些。同时将条件和问题准确的填补上去（如右图）。根据已有的数量和数量之间的关系来作图的，每画一步都体现其中两个量的关系，学生在作图的过程中不知不觉感知其中的数量关系：“甲数×3=乙数”和“乙数+4=丙数”，并建构出两个关系之间的联系：甲数×3+4=丙数，从而得出解决问题的思路。
3.教学实践：
放手让三年级的学生画线段图难度是比较大的，因此笔者在该部分以一问一答一画的形式，让学生说，教师板演画图的方式进行执教，为学生理清思路，感知不同的有关倍的问题中包含的几个量的关系。
（1）第一次画图解决问题
【教学片段】
师：我们也来动手画一画，先画什么？再画什么？代表什么？
师：然后我们把信息标上去，一般情况下表示具体的人数我们标在线段的下面，“几倍”表示两个量之间的关系，我们标在线段上面。
师：现在我们来从线段图中来解决这个几倍问题，你是怎么想的？（就是求12里面有几个4）
（2）第二次画图解决问题
【教学片段】
师：3倍一定对吗？我们是不是要来检验一下，我们再来画画线段图。
师：先画什么？再画什么？一样长的一段说明什么？为什么画3段？
师：这样看来我们求4的3倍就是求3个4是多少？
两次画图体现并解决了有关倍的两类问题：求一个数是另一个数的几倍，求一个数的几倍是多少。本环节通过对前面的结果进行质疑，学生自然而然提出有关“求一个数的几倍是多少”的问题，提出检验要求，使学生初步感受两种问题之间存在着联系。两次画图，先画都是“扫地的4人”，学生充分明白解决有关倍的问题第一要素是要找出“标准量”，体现对倍概念本质的理解，再根据先画已知条件再画问题的方式来逐步画出比较量和几倍数，若已知比较量求几倍数，则先画比较量再标注问题，若已知几倍数求比较量，则先画同样长的几段标准量的长度，再标注问题。在这样的过程中，让学生感知标准量、比较量和几倍数这三种量存在着一定的联系。
（3）在比较中提炼数量关系
比较法是数学学习中常用的方法，是思维发展的展现。让学生对两次画的线段图进行观察比较，找到它们的联系和区别。
【教学片段：】
师：刚才我们因为要检验画了第二幅线段图，现在请你比较两幅线段图，你有什么发现？
生：两幅图中的三个量已知的变成未知，未知的变成已知，但他们的关系也没有变。师：什么样的关系？生1：擦桌椅的人数÷扫地的人数=3倍。生2：扫地的人数×3倍=擦桌椅的人数生3：扫地的人数看成1份，擦桌椅的人数里有若干个扫地的人数。
通过这一环节的设置，学生能够清楚的理解在有关倍的问题中有三种量：标准量（看作1份的量）、比较量（里面有若干个标准量的量）和几倍数（表示另两种量的倍比关系），这三种量之间有着固定的关系：即“比较量”里有“几倍数”个“标准量”。
三、专项练习，丰富与倍有关的知识结构网
练习是我们课堂上的一个重要组成部分，学生在巩固对倍本质的理解以及解决有关倍的问题都离不开练习这一基本活动。有效的练习不仅能使学生巩固知识，发展学生的思维，也能有新的发现和运用，从而巩固而丰富知识结构网。因此教师应根据教学内容和将要实现的目标设计一系列有效的练习。
【教学实践】
1.获取信息，编成应用题。
课件出示情境图（右图），请学生选择合适的信息，提出有关倍的问题，编成一道应用题。
（1）独立解决问题
（2）分析典型
①小鹿有18只，小猴有6只，小鹿的只数是小猴的几倍？
②天鹅有8只，小兔的只数是天鹅的3倍，小兔有几只？
（3）将信息填入线段图中
请学生将两题的信息填入空白信息的线段图中
（4）分析解决问题
根据线段图显示的信息分析量与量之间的关系，理清关系，解决问题。
（5）对比两幅线段图
通过对比，发现两组线段图倍数关系一致，但一倍量不一样。
本环节在教学过程中，有学生提出了这样的问题：“小鹿有18只，天鹅有8只，小鹿的只数是天鹅的几倍？”通过列式“18÷8=”，发现不能整除，这样的问题超出了老师的预设，但我们不能进行冷处理，而应该有一定的教育机智，充分利用学生的课堂生成，通过追问来放大它的价值。这就是有余数除法，对于“18÷8=2……2”进行追问两个“2”分别是什么意思？引出“一个数是另一个的几倍多或少几”的问题，使学生感受到前面学习的有余数除法和“倍”的问题之间的密切联系，并且感知两种量的关系可以是倍比关系和差比关系共存。此外，用线段图来表示他们的关系，让学生深刻感知线段图对于呈现量与量之间关系的强大功能性。
线段图的分析是一种数形结合的方法，让学生将抽象的条件和问题转化成形象的线段，能够明确问题中的数量关系，这在教学“解决有关倍的问题”时起了很大的推进作用，学生两次画图，经历了数量关系的建构过程，通过对比提炼数量关系，理清有关倍的问题中标准量、比较量和几倍数之间的关系。学生能够体会线段图强大的工具性功能，为将来利用线段图解决更复杂的问题做铺垫。
参考文献：
[1]全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001.
[2]人教版数学教师用书. [M].北京：人民教育出版社，2007.
[3]鲍庆贺，线段图在和差倍问题中的应用[J].西部素质教育.2015（13）：107
[4]师天龙，论小学数学应用题教学中数量关系分析能力的培养.2020（13）：145，147
关键词：倍的问题;线段图;数量关系
“解决倍的问题”是人教版三年级上册第五单元的内容，教材上出现了两类问题：求一个数是另一个数的几倍（求几倍数）;求一个数的几倍是多少（求比较量）。而在我们实际解决有关倍的问题时，往往还会出现第三类问题：已知一个数的几倍是多少，求这个数（求标准量）。这些问题看似简单，但学生却很容易出现“见倍就乘”或无从下手的情况，究其原因是没有理清问题中“标准量”、“比较量”和“几倍数”这三种量之间的数量关系。
数量关系是从一类有共同规律的数学问题中总结出来的，能够揭示某些数量之间的本质联系的数学概念。它能為学生在解决类似问题指引方向，提供基本方法，形成思维，帮助学生有效解决问题。
笔者认为，线段图可以帮助学生快速而准确理清数量关系。线段图是由一条或几条线段组合在一起，利用线段的长短关系表示问题中抽象的数量关系的一种解题形式。线段图有利于把抽象的概念形象化，帮助学生理清题目中的条件和问题，抓住它们之间的数量关系，成功解决难题。线段图可以让“倍的问题”中三种量的关系更加的直观，三年级的学生以具体形象思维为主，数量关系又比较抽象，所以我们可以利用线段图的直观形象，帮助学生理解并分析数量关系。
一、动态演变，初识线段图
理清问题中的数量关系是学生解决有关倍的问题的关键所在，因此我们要让学生读懂线段图，了解线段图中每一部分表示的意思，知道各部分之间的关系。
1.思考：图示在学生思维发展过程中的变化及联系
三年级的学生之前并没有接触过线段图，这主要和学生的思维发展有关。学生的思维特点在小学阶段是一个动态的发展：具体形象思维→抽象逻辑思维，但他们的抽象思维很大程度上仍然和直观经验相关联，需要具体形象的帮助。
笔者对教材中出现三类图示的运用情况进行了统计，发现示意图通常出现在一年级至三上年级，高年级也有出现，但一般在“数学广角”和“综合实践”课;色条图只在二上年级出现过一次;线段图是在三上年级解决“求一个数的几倍是多少”时开始出现，并且在高年级成为学生解决问题中的有力工具。可见，图示应用的改变也体现了学生思维发展的变化。
图示是思维的具象表现，但不得不说，三种图示还是有所不同：示意图是最具象的一种图示，学生最容易理解并且利用它解决问题，所以是学生在低段常用的解决问题的方法;色条图是对示意图的初步抽象，教材中使用不多，学生对于这种图示并不熟悉;线段图是对图示的再一次抽象，对三年级的学生而言，线段图的理解有一定的困难。
2.教学实践：
针对学生在学习过程中对于色条图和线段图的理解有困难，我对这两种图示的呈现给予动画演变的过程，即示意图→色条图→线段图，动态的演变过程能让学生将抽象的图示与已经理解的具象的图示联系起来，帮助对抽象图示的理解。
【教学片段：】
（1）示意图解决问题
（课件出示数学信息，引导学生提出有关倍的问题：擦桌椅的有12人，扫地的有4人。擦桌椅的人数是扫地的几倍？）
①引出示意图，请学生描述对示意图的理解（明确：一个○表示一个人）
②利用示意图解决问题
问：你能看出擦桌椅的人数是扫地的几倍吗？怎么看的？（把扫地的4人看作一份，擦桌椅的就有这样的3份，就是三倍。）也可以用圈一圈的方法，看出有这样的3份。（课件演示圈一圈解决问题的过程）
（2）色条图解决问题
①色条图的认识
（利用课件动态演示呈现色条图：）
问：你能从这个图示中找到刚才的信息吗？你能把刚才的信息填到这幅图示中吗？（“扫地的”旁边一条长度表示4人，“擦桌椅的”旁边一条表示12人）
提出：这样的图我们把它叫做色条图，它的长短表示数量的多少。
②利用色条图解决问题
问：怎样才能从色条图中知道擦桌椅的人数是扫地的几倍？（用扫地的一条去下面比一比，看看有几个这样的一条？）
（3）认识线段图
（将色条图演变成线段图：）
请学生根据自己的理解将信息填入线段图中。
二、二次画图，感知数量关系
1.数量关系在线段图中的体现
解决问题能综合培养学生各方面能力，学生解决问题的过程中，有时候会遇到数学信息颇多的题目，那么学生往往会不知道从何开始分析题目，找不出其中的数量关系，特别是有些问题中是多个数量关系的叠加，因此利用线段图，标注简单的符号、简洁的文字，让学生直观感知问题中单一的或多重的数量关系，从而得出解决问题的思路和方法。
在人教版的教材中，问题中的数量关系有单一数量关系以及由单一数量关系组成的多重数量关系，笔者对小学阶段用线段图来解决问题的数量关系进行了整理：
（1）体现单一数量关系的线段图
以上线段图基本上涵盖了所有数量关系的不同形式，主要为和差关系、总分关系和倍数关系。当我们解决“小明有4个气球，小红有6个气球，两人共有多少个气球？”这个问题时，我们就可以用①号线段图来帮助学生理解题意，理清数量关系，解决问题;当我们解决“汽车每小时行驶60千米，2小时行驶了多少千米？”这个问题时，可以用④号线段图来速度、时间和路程之间有“速度×时间=路程”的关系;④号线段图还可以帮助学生解决“每箱有12瓶水，4箱共有多少瓶水？”这样的问题，学生能够在理解的基础上提炼出数量关系：每箱的数量×箱数=总数;像⑦号线段图既可以解决“求一个数的几倍是多少”，也可以解决“求一个数的几分之几是多少”这类倍率问题。 （2）体现多重数量关系的线段图
我们不难发现，这些能够体现多重数量关系的线段图里所包含的数量关系，都是两个单一数量关系的组合，当然，若出现更复杂的问题也会包含更多个单一数量关系。这也说明线段图可以帮助我们理清各类问题中的数量关系，学生分析各类问题都可以使用线段图这个工具来分析题意，理清关系，突破问题的关键。
2.数量关系在线段图中的形成
数学思维就是用数学思考问题和解决问题的思维活动形式。数学学习离不开思维，数学问题的解决需要通过思维来实现，学生画图的过程既是学生思维活动的过程，同时也是数量关系的建构过程。而对于一些已知条件比较多、关系比较复杂的问题，我们也可以将线段图作为学生思考的媒介。
画线段图是从已有的数学信息出发，用线段来表示条件和问题，并用简洁的文字、符号进行一一对应的标注。
例如：甲数是5，乙数是甲数的3倍，丙数比乙数多4，丙数是多少？
画法：根据“甲是5”，可以用一条线段来表示甲;“乙數是甲数的3倍”，那么表示乙数的线段就有
3条表示甲数的线段那么长;再根据“丙数比乙数多4”，知道表示丙数的线段比乙数长一些。同时将条件和问题准确的填补上去（如右图）。根据已有的数量和数量之间的关系来作图的，每画一步都体现其中两个量的关系，学生在作图的过程中不知不觉感知其中的数量关系：“甲数×3=乙数”和“乙数+4=丙数”，并建构出两个关系之间的联系：甲数×3+4=丙数，从而得出解决问题的思路。
3.教学实践：
放手让三年级的学生画线段图难度是比较大的，因此笔者在该部分以一问一答一画的形式，让学生说，教师板演画图的方式进行执教，为学生理清思路，感知不同的有关倍的问题中包含的几个量的关系。
（1）第一次画图解决问题
【教学片段】
师：我们也来动手画一画，先画什么？再画什么？代表什么？
师：然后我们把信息标上去，一般情况下表示具体的人数我们标在线段的下面，“几倍”表示两个量之间的关系，我们标在线段上面。
师：现在我们来从线段图中来解决这个几倍问题，你是怎么想的？（就是求12里面有几个4）
（2）第二次画图解决问题
【教学片段】
师：3倍一定对吗？我们是不是要来检验一下，我们再来画画线段图。
师：先画什么？再画什么？一样长的一段说明什么？为什么画3段？
师：这样看来我们求4的3倍就是求3个4是多少？
两次画图体现并解决了有关倍的两类问题：求一个数是另一个数的几倍，求一个数的几倍是多少。本环节通过对前面的结果进行质疑，学生自然而然提出有关“求一个数的几倍是多少”的问题，提出检验要求，使学生初步感受两种问题之间存在着联系。两次画图，先画都是“扫地的4人”，学生充分明白解决有关倍的问题第一要素是要找出“标准量”，体现对倍概念本质的理解，再根据先画已知条件再画问题的方式来逐步画出比较量和几倍数，若已知比较量求几倍数，则先画比较量再标注问题，若已知几倍数求比较量，则先画同样长的几段标准量的长度，再标注问题。在这样的过程中，让学生感知标准量、比较量和几倍数这三种量存在着一定的联系。
（3）在比较中提炼数量关系
比较法是数学学习中常用的方法，是思维发展的展现。让学生对两次画的线段图进行观察比较，找到它们的联系和区别。
【教学片段：】
师：刚才我们因为要检验画了第二幅线段图，现在请你比较两幅线段图，你有什么发现？
生：两幅图中的三个量已知的变成未知，未知的变成已知，但他们的关系也没有变。师：什么样的关系？生1：擦桌椅的人数÷扫地的人数=3倍。生2：扫地的人数×3倍=擦桌椅的人数生3：扫地的人数看成1份，擦桌椅的人数里有若干个扫地的人数。
通过这一环节的设置，学生能够清楚的理解在有关倍的问题中有三种量：标准量（看作1份的量）、比较量（里面有若干个标准量的量）和几倍数（表示另两种量的倍比关系），这三种量之间有着固定的关系：即“比较量”里有“几倍数”个“标准量”。
三、专项练习，丰富与倍有关的知识结构网
练习是我们课堂上的一个重要组成部分，学生在巩固对倍本质的理解以及解决有关倍的问题都离不开练习这一基本活动。有效的练习不仅能使学生巩固知识，发展学生的思维，也能有新的发现和运用，从而巩固而丰富知识结构网。因此教师应根据教学内容和将要实现的目标设计一系列有效的练习。
【教学实践】
1.获取信息，编成应用题。
课件出示情境图（右图），请学生选择合适的信息，提出有关倍的问题，编成一道应用题。
（1）独立解决问题
（2）分析典型
①小鹿有18只，小猴有6只，小鹿的只数是小猴的几倍？
②天鹅有8只，小兔的只数是天鹅的3倍，小兔有几只？
（3）将信息填入线段图中
请学生将两题的信息填入空白信息的线段图中
（4）分析解决问题
根据线段图显示的信息分析量与量之间的关系，理清关系，解决问题。
（5）对比两幅线段图
通过对比，发现两组线段图倍数关系一致，但一倍量不一样。
本环节在教学过程中，有学生提出了这样的问题：“小鹿有18只，天鹅有8只，小鹿的只数是天鹅的几倍？”通过列式“18÷8=”，发现不能整除，这样的问题超出了老师的预设，但我们不能进行冷处理，而应该有一定的教育机智，充分利用学生的课堂生成，通过追问来放大它的价值。这就是有余数除法，对于“18÷8=2……2”进行追问两个“2”分别是什么意思？引出“一个数是另一个的几倍多或少几”的问题，使学生感受到前面学习的有余数除法和“倍”的问题之间的密切联系，并且感知两种量的关系可以是倍比关系和差比关系共存。此外，用线段图来表示他们的关系，让学生深刻感知线段图对于呈现量与量之间关系的强大功能性。
线段图的分析是一种数形结合的方法，让学生将抽象的条件和问题转化成形象的线段，能够明确问题中的数量关系，这在教学“解决有关倍的问题”时起了很大的推进作用，学生两次画图，经历了数量关系的建构过程，通过对比提炼数量关系，理清有关倍的问题中标准量、比较量和几倍数之间的关系。学生能够体会线段图强大的工具性功能，为将来利用线段图解决更复杂的问题做铺垫。
参考文献：
[1]全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001.
[2]人教版数学教师用书. [M].北京：人民教育出版社，2007.
[3]鲍庆贺，线段图在和差倍问题中的应用[J].西部素质教育.2015（13）：107
[4]师天龙，论小学数学应用题教学中数量关系分析能力的培养.2020（13）：145，147