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【摘 要】认知冲突常常存在于以学习者为中心的学习场境之中，在解题过程中发现并解决认 知冲突，建立同化与顺应的平衡，是学生在学习过程中必须要经历的过程，也是学生学会学习， 掌握所学知识的必然阶段。解题过程中常常有以下认知冲突存在：简便与烦琐、理解与水平、 已有观念与新知。逐渐形成的自主意识，将有助于培养学生的数学思维，激发他们解决数学问 题的兴趣。
【关鍵词】认知冲突解题情境数学思维
认知冲突常常存在于以学习者为中心的学习情境之 中。以学习者为中心的学习情境指的是构建一种学习情 境，让学习者将他们的知识、技能、态度、信仰带到其中， 学习者带来的东西在这里都必须得到足够的重视。它与 “诊断性教学”概念相吻合，试图发现学生对所面临问题 的看法、错误概念，给他们创设一种情境，使他们能够继 续思考，重新调整自己的看法。
建构主义认为：个体在遇到新刺激时，先尝试用自 己原有的认知结构去同化它，以求达到暂时的平衡;同 化不成功时，个体则采取顺应的方法，即通过调节原有认 知结构或新建认知结构，来得到新的平衡。在解题过程 中发现并解决认知冲突，建立同化与顺应的平衡，是学生 在学习过程中必须要经历的过程，也是学生学会学习、掌 握所学知识的必然阶段。
一、简便与烦琐的认知冲突
学生在做题时，有些题目往往会一再出现问题，在此 情形之下，学生对于数学方法的需求就更为迫切。有些 解题方法是需要在不断的练习中加以巩固的;有些解题 方法是需要在不断的实践中进行选择的;有些解题方法 是需要在不断的反思中灵活运用的。有些题目看起来并 不难，但学生一再出现问题，这往往就是因为常见且固化 了的方法不易掌握。
下面以一道练习题为例：
习题1 ：小丽比小明高2cm，小丽比小刚高1cm，最 高的是（ ），最矮的是（ ）。
常规做题方法是画线段图表示小丽、小明、小刚的身 高（见图1），正如书中的例题也是如此解题的。学生是 不会画图吗？答案是否定的。做不对的原因在于他们宁愿冒着做不对的风险，也不愿意大费周章地画图。因此，教师除了强迫他们用画图的方法以外，还应该开发或教学一些其他的便于学生 使用的方法。
例如，本题可以使用的举例法，发现在两个条件中都 有小丽，可以假设小丽的身高是100cm，这样小明身高是 98cm，小刚身高是99cm，从而完成填空。经过假设的教学 和训练，学生很快发现假设小明的身高或小刚的身高都可 以很快求解，三者的解题过程均優于画线段图。
举例的方法用途很广泛，无论是简单或复杂的，无论 是代数领域（习题2）还是几何领域（习题3 ）都有广泛的 应用。
习题2 ：小明去外婆家，去时每分钟走60m，回来时 每分钟走40米，求往返的平均速度。
平均速度需要用总路程除以总时间，在小明往返的 过程中，没有总路程的数据。要解决这个问题，可以假 设路程为360m （60和 40 的倍数），360 60=6 分钟，360^-40=9分钟， 360 x 2 ^-（ 6 9 ）=48m/ min，即平均速度。
习题3 ：大长方形 中有一个正方形，求长 方形的周长。（见图2）
举例的方法在做题中有广泛应用，数值也可以取极 端数据来使计算更为简便，这其中便蕴含着极限的数学 思想。
《数学教育心理学》中关于极限的描述是这样的：用 以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。不 过，考虑极限数据并不等于极限的数学思想。
王永春老师在他的《小学数学思想方法解读及教学 案例》一书中谈到关于极限思想的两个关键语句：一个 是变化的量是无穷多个;另一个是无限变化的量趋向于 一个常数。本文中提到的极限思想无疑是属于后者，一 个变量与另一个已知量的无限逼近，以至于可以使用这 个已知量来反映这个变量的极限值。这往往又需要数感 作为基础，此类方法应用得较好的学生，通常表现为有较 优的数感。
仍旧以上述三道习题为例：
习题1 ：如果假设小丽的身高为2，小刚的身高是1， 小明的身高是0。
习题2 ：如果假设全程是1，那么去时时间是 寿，返回时时间是击，平均速度就可以用1x2 （唸 击），同样可得到平均速度。
习题3可以看得更明显：
两种极值分别是0和32。
如果假设正方形的边长 等于长方形的宽等于32cm， 那么左边的小长方形就不存 在了（见图3），进而发现原题简化成了长方形中的最大正方形问题，将大长方形分割为一个正方形和一个小长方形， 从而赋予了 35与32的差一定的意义——小长方形的宽。 大长方形的周长就是（35 32） x 2。
如果举正方形的边长是0，35这条边可以向右延伸 到右端点，下面这条边也会向左延伸至左端点，同时长方 形的宽就没有了。这样长方形周长就只剩下了 35 32的 两条线段（见图4），周长等于（35 32） x 2。
从习题3的极限数据来看，举极端数据对学生的要 求很高。没有好的数感，学生完全找不到应用极端数据 使计算简便的方法。使用极端数据，往往会让题目完全 脱离情境。例如，长方形的宽为0、全程仅为Im、小丽的 身高仅为2cm等匪夷所思的数据，需要学生用抽象的眼 光来学习数学。
由此可见，该题型的熟练掌握对学生的数感培养、数 学思想的建立和运用、解题方法的熟练运用都有很大的 帮助，当数学知识体系进行不断扩充之后，这一点会不断 得到证明。
三、已有观念与新知的认知冲突
学生在接受一个新的概念之前，常常需要对原有概 念的传统认知进行重组，因为这些错误概念会严重干扰 学习。例如，学生对“长方形与正方形周长”一课中一道 习题的研究如下： 题目：从一个长18cm、宽12cm的长方形纸上剪去 一个最大的正方形，剩余部分的周长是多少？
生1信心满满地回答：我们知道这个最大的正方形 的边长是12cm，那么剩余部分的宽就是18-12=6cm，我 们可以用（18 12） x 2=60cm，先求出原来长方形的周长， 再求正方形的周长12 x 4=48cm，剩余部分的周长就是 60-48=12cmo
话音刚落，质疑便来了。
生2 ：剩余部分是一个长方形，周长应该是（12 6） x 2=3 6cm，比 12cm 长多了。
剩余的等于原来的减去剪去的，这是学生从接触数 量关系以来就一直建立的一种概念，但在教学周长的概 念时，常常会产生已有认知与新的概念之间的认知冲突。 因此，教师需要创造新的情境来帮助他们继续思考。
可以分为以下几步：
第一步：长方形的周长、正方形的周长以及剩余部 分的周长是这样的（见图5）。
第二步：分析错因，讨论“长方形的周长能否减去正 方形的周长”。
将重叠的部分擦掉，可以帮助学生发现长方形的周 长剩余三条线段（6cm 12cm 6cm），正方形的周长剩余 一条线段（12cm），因此可以发现正方形的周长并不完 全包围于长方形的周长（见图6），因此不能相减，由此解惑。
第三步：讨论如何改正。
如果再做一步转化，长方形周长剩余的线段与正方 形周长剩余的线段中都包括12cm长的线段，相抵消后 可以理解为用长方形的周长减去正方形的周长剩余两条 6cm长的线段之和，只算了剩余部分的两条宽，因此如果 想用長方形的周长减去正方形的周长，算得结果12cm 后还得加上12 x 2，结果也就是36cm （见图7 ）。
第四步：讨论算法优化。
在比较后可以发现，在长方形中剪去最大的正方形 剩余部分周长的算法是用大长方形的周长减正方形的周 长后，还需要加上原来长方形的两条宽，相比较而言，直 接求剩余部分长方形的周长简便得多，从而推荐给学生使用。
本题的讲解因为生1的错误示范多耗费了一些时 间，但是正是因为这个错误示范让这个认知冲突在课堂 得以呈现，从而帮助更多的学生掌握类似问题的正确做 法，明白其中蕴含的道理。
经过训练，学生会自主地选择合适的解题方法并在 解题的过程中推断问题的实际意义，这种自主意识，将有 助于培养学生的数学思维，激发他们解决数学问题的兴 趣。“错误从学生中来，疑惑自学生中起，讨论自学生中 生，结论自学生中定”，构建学习者中心的环境，需要关注 每一个学生知道些什么、关心些什么、能做些什么、想要 做什么，发现和解决认知冲突的过程，正是帮助学生建立 新的认知的必经之路。
【关鍵词】认知冲突解题情境数学思维
认知冲突常常存在于以学习者为中心的学习情境之 中。以学习者为中心的学习情境指的是构建一种学习情 境，让学习者将他们的知识、技能、态度、信仰带到其中， 学习者带来的东西在这里都必须得到足够的重视。它与 “诊断性教学”概念相吻合，试图发现学生对所面临问题 的看法、错误概念，给他们创设一种情境，使他们能够继 续思考，重新调整自己的看法。
建构主义认为：个体在遇到新刺激时，先尝试用自 己原有的认知结构去同化它，以求达到暂时的平衡;同 化不成功时，个体则采取顺应的方法，即通过调节原有认 知结构或新建认知结构，来得到新的平衡。在解题过程 中发现并解决认知冲突，建立同化与顺应的平衡，是学生 在学习过程中必须要经历的过程，也是学生学会学习、掌 握所学知识的必然阶段。
一、简便与烦琐的认知冲突
学生在做题时，有些题目往往会一再出现问题，在此 情形之下，学生对于数学方法的需求就更为迫切。有些 解题方法是需要在不断的练习中加以巩固的;有些解题 方法是需要在不断的实践中进行选择的;有些解题方法 是需要在不断的反思中灵活运用的。有些题目看起来并 不难，但学生一再出现问题，这往往就是因为常见且固化 了的方法不易掌握。
下面以一道练习题为例：
习题1 ：小丽比小明高2cm，小丽比小刚高1cm，最 高的是（ ），最矮的是（ ）。
常规做题方法是画线段图表示小丽、小明、小刚的身 高（见图1），正如书中的例题也是如此解题的。学生是 不会画图吗？答案是否定的。做不对的原因在于他们宁愿冒着做不对的风险，也不愿意大费周章地画图。因此，教师除了强迫他们用画图的方法以外，还应该开发或教学一些其他的便于学生 使用的方法。
例如，本题可以使用的举例法，发现在两个条件中都 有小丽，可以假设小丽的身高是100cm，这样小明身高是 98cm，小刚身高是99cm，从而完成填空。经过假设的教学 和训练，学生很快发现假设小明的身高或小刚的身高都可 以很快求解，三者的解题过程均優于画线段图。
举例的方法用途很广泛，无论是简单或复杂的，无论 是代数领域（习题2）还是几何领域（习题3 ）都有广泛的 应用。
习题2 ：小明去外婆家，去时每分钟走60m，回来时 每分钟走40米，求往返的平均速度。
平均速度需要用总路程除以总时间，在小明往返的 过程中，没有总路程的数据。要解决这个问题，可以假 设路程为360m （60和 40 的倍数），360 60=6 分钟，360^-40=9分钟， 360 x 2 ^-（ 6 9 ）=48m/ min，即平均速度。
习题3 ：大长方形 中有一个正方形，求长 方形的周长。（见图2）
举例的方法在做题中有广泛应用，数值也可以取极 端数据来使计算更为简便，这其中便蕴含着极限的数学 思想。
《数学教育心理学》中关于极限的描述是这样的：用 以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。不 过，考虑极限数据并不等于极限的数学思想。
王永春老师在他的《小学数学思想方法解读及教学 案例》一书中谈到关于极限思想的两个关键语句：一个 是变化的量是无穷多个;另一个是无限变化的量趋向于 一个常数。本文中提到的极限思想无疑是属于后者，一 个变量与另一个已知量的无限逼近，以至于可以使用这 个已知量来反映这个变量的极限值。这往往又需要数感 作为基础，此类方法应用得较好的学生，通常表现为有较 优的数感。
仍旧以上述三道习题为例：
习题1 ：如果假设小丽的身高为2，小刚的身高是1， 小明的身高是0。
习题2 ：如果假设全程是1，那么去时时间是 寿，返回时时间是击，平均速度就可以用1x2 （唸 击），同样可得到平均速度。
习题3可以看得更明显：
两种极值分别是0和32。
如果假设正方形的边长 等于长方形的宽等于32cm， 那么左边的小长方形就不存 在了（见图3），进而发现原题简化成了长方形中的最大正方形问题，将大长方形分割为一个正方形和一个小长方形， 从而赋予了 35与32的差一定的意义——小长方形的宽。 大长方形的周长就是（35 32） x 2。
如果举正方形的边长是0，35这条边可以向右延伸 到右端点，下面这条边也会向左延伸至左端点，同时长方 形的宽就没有了。这样长方形周长就只剩下了 35 32的 两条线段（见图4），周长等于（35 32） x 2。
从习题3的极限数据来看，举极端数据对学生的要 求很高。没有好的数感，学生完全找不到应用极端数据 使计算简便的方法。使用极端数据，往往会让题目完全 脱离情境。例如，长方形的宽为0、全程仅为Im、小丽的 身高仅为2cm等匪夷所思的数据，需要学生用抽象的眼 光来学习数学。
由此可见，该题型的熟练掌握对学生的数感培养、数 学思想的建立和运用、解题方法的熟练运用都有很大的 帮助，当数学知识体系进行不断扩充之后，这一点会不断 得到证明。
三、已有观念与新知的认知冲突
学生在接受一个新的概念之前，常常需要对原有概 念的传统认知进行重组，因为这些错误概念会严重干扰 学习。例如，学生对“长方形与正方形周长”一课中一道 习题的研究如下： 题目：从一个长18cm、宽12cm的长方形纸上剪去 一个最大的正方形，剩余部分的周长是多少？
生1信心满满地回答：我们知道这个最大的正方形 的边长是12cm，那么剩余部分的宽就是18-12=6cm，我 们可以用（18 12） x 2=60cm，先求出原来长方形的周长， 再求正方形的周长12 x 4=48cm，剩余部分的周长就是 60-48=12cmo
话音刚落，质疑便来了。
生2 ：剩余部分是一个长方形，周长应该是（12 6） x 2=3 6cm，比 12cm 长多了。
剩余的等于原来的减去剪去的，这是学生从接触数 量关系以来就一直建立的一种概念，但在教学周长的概 念时，常常会产生已有认知与新的概念之间的认知冲突。 因此，教师需要创造新的情境来帮助他们继续思考。
可以分为以下几步：
第一步：长方形的周长、正方形的周长以及剩余部 分的周长是这样的（见图5）。
第二步：分析错因，讨论“长方形的周长能否减去正 方形的周长”。
将重叠的部分擦掉，可以帮助学生发现长方形的周 长剩余三条线段（6cm 12cm 6cm），正方形的周长剩余 一条线段（12cm），因此可以发现正方形的周长并不完 全包围于长方形的周长（见图6），因此不能相减，由此解惑。
第三步：讨论如何改正。
如果再做一步转化，长方形周长剩余的线段与正方 形周长剩余的线段中都包括12cm长的线段，相抵消后 可以理解为用长方形的周长减去正方形的周长剩余两条 6cm长的线段之和，只算了剩余部分的两条宽，因此如果 想用長方形的周长减去正方形的周长，算得结果12cm 后还得加上12 x 2，结果也就是36cm （见图7 ）。
第四步：讨论算法优化。
在比较后可以发现，在长方形中剪去最大的正方形 剩余部分周长的算法是用大长方形的周长减正方形的周 长后，还需要加上原来长方形的两条宽，相比较而言，直 接求剩余部分长方形的周长简便得多，从而推荐给学生使用。
本题的讲解因为生1的错误示范多耗费了一些时 间，但是正是因为这个错误示范让这个认知冲突在课堂 得以呈现，从而帮助更多的学生掌握类似问题的正确做 法，明白其中蕴含的道理。
经过训练，学生会自主地选择合适的解题方法并在 解题的过程中推断问题的实际意义，这种自主意识，将有 助于培养学生的数学思维，激发他们解决数学问题的兴 趣。“错误从学生中来，疑惑自学生中起，讨论自学生中 生，结论自学生中定”，构建学习者中心的环境，需要关注 每一个学生知道些什么、关心些什么、能做些什么、想要 做什么，发现和解决认知冲突的过程，正是帮助学生建立 新的认知的必经之路。