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所谓“同课异构”，是指同样的教材内容，由不同教师根据自己的生活经历、知识背景、情感体验，结合学生的实际情况，建构出不同意义的设计，呈现出不同教学风格的课堂，赋予静态教材以生命活力的一种教学形式，它能让我们在比较中反思，在反思中理解教材、领悟教学。
有幸在区教研活动中听到了三节不同的《计数原理——乘法原理》，三位不同教龄、来自不同学校的老师针对相同的授课内容精心设计，在三节课（下称案例1、案例2、案例3）上体现了不同的教学特色和教学理念，听后颇有些感触。
一、案例的背景
《计数原理——乘法原理》是高中三年级教材第16章排列组合与二项式定理16.1的教学内容，是关于计数的基本原理，是今后推导排列数、组合数公式的基础，在解题过程中应正确灵活的应用。教学目标有三个：一是理解乘法原理的概念并能运用乘法原理的分步思想解决问题；二是通过实例归纳得出乘法原理，体会从特殊到一般的数学研究方法及数学建模思想；三是通过选择恰当的实例感受数学与实际生活的息息相关。
二、案例异同
1、新课引入的方式不同
案例1的引入是从学生的实际出发，让学生说说从学校到车站有几种乘坐方式，从车站到家有几种乘坐方式，则每天放学共有多少种乘车方式。这样的引入使学生很快的进入到兴奋状态，课堂顿时活跃了起来。
案例2的引入开门见山，直接采用课本上的实例及课后练习改编的2个问题形成三个课前准备的小问题：①如图，某人从入口A进入绿地再走到出口B②书架上有3本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法③小明到食堂去买午饭，荤菜3种，素菜3种，汤2种，他买一荤一素一汤，共多少不同的买法。通过分析引导，从而引出乘法原理的概念。
案例3的引入是一段视频，这段视频中新郎要去接新娘，从村到县城中间隔着一条河，新郎从村里出发需先经过桥再到县城，那新郎略读了几年数学，用了数学知识算共有多少种方法，搞笑的情节让学生捧腹。
相对比而言，作为数学课笔者更倾向于案例2中教师的处理，案例1中的引入太过实际，公交线路很多，问法不够规范，导致很多学生注意力被转移，看似课堂气氛热烈，其实浪费不少时间；案例3中的视频其实是借以讽刺新郎的书呆迂腐，于教学虽然有一点联系但于学生学数学的兴趣培养是不利的。当然案例2中的3个课前准备的小问题似乎多了点，若说是为了从特殊到一般，引出乘法原理的概念，需要问题的逐步复杂化，则问题②大可删去。所谓课堂引入就是教师通过各种方法引出所要讲述的课题，把学生领进学习的“大门”，课堂引入固然是要有利于激发学生的学习热情，但也应当遵循几个原则：服务于教学的目标；服从于教学的内容；符合于学生的实际；简洁性和多样性；方法的灵活性。若是为了引入而引入，大可不必。
2、得出概念的处理过程不同
案例1中教师通过分析学生从学校到车站有5中乘车方案，从车站到家有2中乘车方案，从而得到完成一件事分2步：第一步有5种方法，第二步有2种方法，则共有N=5×2种；抽象为若完成一件事分2步，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，则共有N=m1·m2种方法；层层递进，再推广得到乘法原理的概念。整个过程几乎都是教师在讲解、引导，最后用PPT展示乘法原理的概念。
案例2中教师通过三个课前准备的小问题，利用树形图口述分析问题①，完成这件事分两步，第一步有2种方法，第二步有3种方法，则共有N=2×3种走法，板书N=2×3，又再分析了问题②、③，同样都只板书了最终答案，然后试图引导学生说出乘法原理的概念。初衷是希望通过从特殊到一般的研究方法，让学生自主得出概念，但由于学生能力有限也因为教师的引导略有欠缺，因此，在“概念的得出”这部分时间花了很多，最终还是基本上从教师口中说出，没有达到预期效果。
案例3中教师通过树形图分析新郎从村到桥有3种方式，从桥到县城有2种方式，则共有N=3×2种，通过分析和启示，引导学生进行推广：若从村到桥有m1种方法，从桥到县城有m2种方法，则共有N=m1·m2种方法；若从村到桥有m1种方法，从桥到乡有m2种方法，从乡到镇有m3种方法，……到县城有mn种方法，则共有N=m1·m2……mn种方法，再由学生概括得到乘法原理严格的定义。
三位老师都是从特殊到一般的方式得到乘法原理的概念，区别在于案例1中教师是一言堂，学生有能力说却没有机会说；案例2中教师试图引导学生自己归纳出概念，但是由于引导过程中关键性的叙述没有板书，导致预设的结果没有从学生口中得到；案例3中教师同样从特殊到一般的方式引导学生归纳得出概念，借助PPT展示关键步骤和概念中关键性语言，学生在教师的带领下轻而易举的得到概念，相信长期下去，对于学生概念学习能力的培养以及学习数学的兴趣培养都是有利的。
3、练习的处理不同
三位老师安排的练习中都有课后练习16.1的第2小题：某农场要在4中不同类型的土地上试验4种（设A、B、C、D）不同品种的小麦。共有多少种不同的试验方案。但是三位老师的处理方式各有不同。案例①中教师为了避免学生出现4×4的错误结果，改编问题为“5个信箱投3封信”；案例②中教师预想到了学生可能会出现问题，但是依然采用原题，希望学生在思维冲突中反思，加深印象；案例③中教师考虑到原题与学生现实生活脱节，于是将问题改编成“4颗不同类型的糖果分给4为同学，每人一颗，共有多少种不同的方法”，学生果然如教师预设的出现4×4的错误结果。教师拿出准备好的糖果给学生做实验，通过实际操作使学生明确完成这件事共需要几步，从而突破难点。教师在备课时预设到会出现的问题，是让问题继续发生产生所谓的冲突，还是通过教师适当的铺垫和引导，化难点于无形，这是值得一线数学教师思考的问题。
三、案例反思
1、总体感受
三节课各有千秋，三位教师都能以民主的精神、宽松的环境组织教学活动，能预先设置好问题情境，试图发挥学生主动性，努力落实课改精神。 案例1的教师充分调动学生能动性，教态亲切有激情，概念的引入和例题的选择都能从实际出发，以调动学生学习兴趣为主旨。所谓“兴趣是最好的老师”，这位教师所带的班级学生必定是很乐于学习数学。案例2的教师从语言到教态再到概念的引入、问题的设置……都显示出教师的功底较为深厚，只是若能在备课时多考虑学生实际情况，就完美了；案例3中的教师针对教材和学生实际设置的问题串、处理难点都比较老辣，整节课以问题为主线，构建活动平台，注重探究过程，将训练作为一种体验，最终的落脚点在思维上。
2、教学启示
（1）课堂引入应简洁而有效
数学是一门非常严谨的学科，教师在教学中往往由于过于注重教学逻辑和知识传授，而导致课堂气氛压抑，学生乏味无趣，教学效果低下。适当的引入能高度激发学生的求知欲和学习兴趣，但不能为了引入而引入。案例1中的引入太过生活化，问题不够确切，学生七嘴八舌，课堂气氛是热闹了，但是浪费不少时间，同样的作用用课本引例就可以了；案例2中的引入遵循课本引例，为了便于学生理解，又加了两个练习，简洁明了，开门见山；案例3中的引入用了一段视频，虽然搞笑，但是于学生学习数学的兴趣培养没有什么好处，显然是为了引入而引入。其实引入的方法有很多：复习引入法、直接引入法、实验引入法、故事引入法、类比引入法、悬念引入法、情境引入法、联系实际引入法……，无论怎样的引入方式，都应当遵循简洁明了、短小精悍、符合课型需要和学生实际。
（2）突出概念的建构过程
数学是由概念与命题等内容组成的知识体系。它是一门以抽象思维为主的学科，而概念又是这种思维的语言。因此概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。然而，很多老师在新课中往往把概念用很短的时间交代一下，定义交代完后接着就是解题，把概念课直接变成了解题课，用解题来替代概念的理解，用解题替代学习数学。三个案例中的教师都采用从特殊到一般的方式，引导学生从特殊例子理解推广到一般化，尤其案例2中的教师试图启发学生自己说出乘法原理的概念，其做法是值得肯定的，案例3中的教师通过PPT的展示，一步步从特殊到一般，从具体到抽象，使得概念的得出水到渠成，她的做法是值得我们学习的。
（3）慎重改编课本例题
教材是教师最主要和最重要的教学材料，也是学生最主要和最重要的学习材料。教材是构成课堂的重要要素之一。教材的编写，汇聚了学科众多教育教学专家的经验与智慧，教材中的每一个题，都是经过深思熟虑的，它们都具有广泛的代表性和优越性，并具有一定的教育意义。由此可见，在数学教学中，教师如何理解和使用好教材，并引导学生也理解和使用好教材，提高教材的使用效率，体现教材的价值，是一件重要且有意义的事。案例1中的教师对教材中所有的例题和练习都进行的改编，课本中例1“关于手机外形和色彩的搭配”问题改变成了“淘宝购物的选择”问题，为了贴近学生实际生活，这一改编无可厚非；课本中例题2“程序模块执行路径”改变成了“1、2、3、4这4个数组成没有重复数字的四位数，有几个？有几个四位偶数？”难度陡然提升；原本课本中的例3“540的不同正约数共有多少个”变成了“4个信箱2封信”的问题。案例2中教师则是另一个极端，所有例题和练习完全照搬课本，但由于课本中“某农场要在4中不同类型的土地上试验4种（设A、B、C、D）不同品种的小麦，共有多少种不同的试验方案”的例题本就是难点，且与学生生活比较脱离，导致教师的释疑过程不顺利。案例3中的教师教龄较长，处理教材就相对比较老辣，基本的例题和练习都采用了课本中的例题和练习，只是对课本中“某农场要在4中不同类型的土地上试验4种（设A、B、C、D）不同品种的小麦，共有多少种不同的试验方案”改编成了“4颗不同类型的糖果分给4为同学，每人一颗，共有多少种不同的方法”，在释疑过程中通过实践操作轻而易举的分解难点，学生印象深刻。教师进行教学时在某些特殊情况下（比如：为了符合学生实际经验背景）可以进行适当的更改或调整，但应牢记“严格按照教材编排开展教学”是基本要求，是大前提。
有幸在区教研活动中听到了三节不同的《计数原理——乘法原理》，三位不同教龄、来自不同学校的老师针对相同的授课内容精心设计，在三节课（下称案例1、案例2、案例3）上体现了不同的教学特色和教学理念，听后颇有些感触。
一、案例的背景
《计数原理——乘法原理》是高中三年级教材第16章排列组合与二项式定理16.1的教学内容，是关于计数的基本原理，是今后推导排列数、组合数公式的基础，在解题过程中应正确灵活的应用。教学目标有三个：一是理解乘法原理的概念并能运用乘法原理的分步思想解决问题；二是通过实例归纳得出乘法原理，体会从特殊到一般的数学研究方法及数学建模思想；三是通过选择恰当的实例感受数学与实际生活的息息相关。
二、案例异同
1、新课引入的方式不同
案例1的引入是从学生的实际出发，让学生说说从学校到车站有几种乘坐方式，从车站到家有几种乘坐方式，则每天放学共有多少种乘车方式。这样的引入使学生很快的进入到兴奋状态，课堂顿时活跃了起来。
案例2的引入开门见山，直接采用课本上的实例及课后练习改编的2个问题形成三个课前准备的小问题：①如图，某人从入口A进入绿地再走到出口B②书架上有3本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法③小明到食堂去买午饭，荤菜3种，素菜3种，汤2种，他买一荤一素一汤，共多少不同的买法。通过分析引导，从而引出乘法原理的概念。
案例3的引入是一段视频，这段视频中新郎要去接新娘，从村到县城中间隔着一条河，新郎从村里出发需先经过桥再到县城，那新郎略读了几年数学，用了数学知识算共有多少种方法，搞笑的情节让学生捧腹。
相对比而言，作为数学课笔者更倾向于案例2中教师的处理，案例1中的引入太过实际，公交线路很多，问法不够规范，导致很多学生注意力被转移，看似课堂气氛热烈，其实浪费不少时间；案例3中的视频其实是借以讽刺新郎的书呆迂腐，于教学虽然有一点联系但于学生学数学的兴趣培养是不利的。当然案例2中的3个课前准备的小问题似乎多了点，若说是为了从特殊到一般，引出乘法原理的概念，需要问题的逐步复杂化，则问题②大可删去。所谓课堂引入就是教师通过各种方法引出所要讲述的课题，把学生领进学习的“大门”，课堂引入固然是要有利于激发学生的学习热情，但也应当遵循几个原则：服务于教学的目标；服从于教学的内容；符合于学生的实际；简洁性和多样性；方法的灵活性。若是为了引入而引入，大可不必。
2、得出概念的处理过程不同
案例1中教师通过分析学生从学校到车站有5中乘车方案，从车站到家有2中乘车方案，从而得到完成一件事分2步：第一步有5种方法，第二步有2种方法，则共有N=5×2种；抽象为若完成一件事分2步，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，则共有N=m1·m2种方法；层层递进，再推广得到乘法原理的概念。整个过程几乎都是教师在讲解、引导，最后用PPT展示乘法原理的概念。
案例2中教师通过三个课前准备的小问题，利用树形图口述分析问题①，完成这件事分两步，第一步有2种方法，第二步有3种方法，则共有N=2×3种走法，板书N=2×3，又再分析了问题②、③，同样都只板书了最终答案，然后试图引导学生说出乘法原理的概念。初衷是希望通过从特殊到一般的研究方法，让学生自主得出概念，但由于学生能力有限也因为教师的引导略有欠缺，因此，在“概念的得出”这部分时间花了很多，最终还是基本上从教师口中说出，没有达到预期效果。
案例3中教师通过树形图分析新郎从村到桥有3种方式，从桥到县城有2种方式，则共有N=3×2种，通过分析和启示，引导学生进行推广：若从村到桥有m1种方法，从桥到县城有m2种方法，则共有N=m1·m2种方法；若从村到桥有m1种方法，从桥到乡有m2种方法，从乡到镇有m3种方法，……到县城有mn种方法，则共有N=m1·m2……mn种方法，再由学生概括得到乘法原理严格的定义。
三位老师都是从特殊到一般的方式得到乘法原理的概念，区别在于案例1中教师是一言堂，学生有能力说却没有机会说；案例2中教师试图引导学生自己归纳出概念，但是由于引导过程中关键性的叙述没有板书，导致预设的结果没有从学生口中得到；案例3中教师同样从特殊到一般的方式引导学生归纳得出概念，借助PPT展示关键步骤和概念中关键性语言，学生在教师的带领下轻而易举的得到概念，相信长期下去，对于学生概念学习能力的培养以及学习数学的兴趣培养都是有利的。
3、练习的处理不同
三位老师安排的练习中都有课后练习16.1的第2小题：某农场要在4中不同类型的土地上试验4种（设A、B、C、D）不同品种的小麦。共有多少种不同的试验方案。但是三位老师的处理方式各有不同。案例①中教师为了避免学生出现4×4的错误结果，改编问题为“5个信箱投3封信”；案例②中教师预想到了学生可能会出现问题，但是依然采用原题，希望学生在思维冲突中反思，加深印象；案例③中教师考虑到原题与学生现实生活脱节，于是将问题改编成“4颗不同类型的糖果分给4为同学，每人一颗，共有多少种不同的方法”，学生果然如教师预设的出现4×4的错误结果。教师拿出准备好的糖果给学生做实验，通过实际操作使学生明确完成这件事共需要几步，从而突破难点。教师在备课时预设到会出现的问题，是让问题继续发生产生所谓的冲突，还是通过教师适当的铺垫和引导，化难点于无形，这是值得一线数学教师思考的问题。
三、案例反思
1、总体感受
三节课各有千秋，三位教师都能以民主的精神、宽松的环境组织教学活动，能预先设置好问题情境，试图发挥学生主动性，努力落实课改精神。 案例1的教师充分调动学生能动性，教态亲切有激情，概念的引入和例题的选择都能从实际出发，以调动学生学习兴趣为主旨。所谓“兴趣是最好的老师”，这位教师所带的班级学生必定是很乐于学习数学。案例2的教师从语言到教态再到概念的引入、问题的设置……都显示出教师的功底较为深厚，只是若能在备课时多考虑学生实际情况，就完美了；案例3中的教师针对教材和学生实际设置的问题串、处理难点都比较老辣，整节课以问题为主线，构建活动平台，注重探究过程，将训练作为一种体验，最终的落脚点在思维上。
2、教学启示
（1）课堂引入应简洁而有效
数学是一门非常严谨的学科，教师在教学中往往由于过于注重教学逻辑和知识传授，而导致课堂气氛压抑，学生乏味无趣，教学效果低下。适当的引入能高度激发学生的求知欲和学习兴趣，但不能为了引入而引入。案例1中的引入太过生活化，问题不够确切，学生七嘴八舌，课堂气氛是热闹了，但是浪费不少时间，同样的作用用课本引例就可以了；案例2中的引入遵循课本引例，为了便于学生理解，又加了两个练习，简洁明了，开门见山；案例3中的引入用了一段视频，虽然搞笑，但是于学生学习数学的兴趣培养没有什么好处，显然是为了引入而引入。其实引入的方法有很多：复习引入法、直接引入法、实验引入法、故事引入法、类比引入法、悬念引入法、情境引入法、联系实际引入法……，无论怎样的引入方式，都应当遵循简洁明了、短小精悍、符合课型需要和学生实际。
（2）突出概念的建构过程
数学是由概念与命题等内容组成的知识体系。它是一门以抽象思维为主的学科，而概念又是这种思维的语言。因此概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。然而，很多老师在新课中往往把概念用很短的时间交代一下，定义交代完后接着就是解题，把概念课直接变成了解题课，用解题来替代概念的理解，用解题替代学习数学。三个案例中的教师都采用从特殊到一般的方式，引导学生从特殊例子理解推广到一般化，尤其案例2中的教师试图启发学生自己说出乘法原理的概念，其做法是值得肯定的，案例3中的教师通过PPT的展示，一步步从特殊到一般，从具体到抽象，使得概念的得出水到渠成，她的做法是值得我们学习的。
（3）慎重改编课本例题
教材是教师最主要和最重要的教学材料，也是学生最主要和最重要的学习材料。教材是构成课堂的重要要素之一。教材的编写，汇聚了学科众多教育教学专家的经验与智慧，教材中的每一个题，都是经过深思熟虑的，它们都具有广泛的代表性和优越性，并具有一定的教育意义。由此可见，在数学教学中，教师如何理解和使用好教材，并引导学生也理解和使用好教材，提高教材的使用效率，体现教材的价值，是一件重要且有意义的事。案例1中的教师对教材中所有的例题和练习都进行的改编，课本中例1“关于手机外形和色彩的搭配”问题改变成了“淘宝购物的选择”问题，为了贴近学生实际生活，这一改编无可厚非；课本中例题2“程序模块执行路径”改变成了“1、2、3、4这4个数组成没有重复数字的四位数，有几个？有几个四位偶数？”难度陡然提升；原本课本中的例3“540的不同正约数共有多少个”变成了“4个信箱2封信”的问题。案例2中教师则是另一个极端，所有例题和练习完全照搬课本，但由于课本中“某农场要在4中不同类型的土地上试验4种（设A、B、C、D）不同品种的小麦，共有多少种不同的试验方案”的例题本就是难点，且与学生生活比较脱离，导致教师的释疑过程不顺利。案例3中的教师教龄较长，处理教材就相对比较老辣，基本的例题和练习都采用了课本中的例题和练习，只是对课本中“某农场要在4中不同类型的土地上试验4种（设A、B、C、D）不同品种的小麦，共有多少种不同的试验方案”改编成了“4颗不同类型的糖果分给4为同学，每人一颗，共有多少种不同的方法”，在释疑过程中通过实践操作轻而易举的分解难点，学生印象深刻。教师进行教学时在某些特殊情况下（比如：为了符合学生实际经验背景）可以进行适当的更改或调整，但应牢记“严格按照教材编排开展教学”是基本要求，是大前提。