几何学是数学科学中最古老、最成熟的一个分支.直到18世纪，还是由欧几里得几何一统天下，即使解析几何出现了，也未改变欧氏几何的实质内容.进入19世纪，一场几何学领域的革命悄然开始了.
　　对于第五公设的思考
　　古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中给出了五个公设（卷首介绍），其中第五个公设是“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交”.长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见.有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第29个命题中才用到，而且以后再也没有使用.也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前28个命题.因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？还有的数学家们又尝试用反证法讨论第五公设.到了19世纪上半叶，数学家们认识到，应该否认第五公设，引入新的几何理念，这就是几何革命的开始，非欧几何也随之诞生.
　　非欧几何的诞生
　　德国数学家高斯否定了第五公设，从1813年开始建立新的几何学，并定名为“非欧几何”.可惜他生前有关的信件和笔记一直没有发表，直到去世后才引起人们的注意.
　　罗巴切夫斯基的非欧几何
　　首先有系统著作发表的要算俄国数学家罗巴切夫斯基（ 1792 -1856）.1826年，他在喀山大学宣读了关于几何原理概述的论文.1829年，他又在《喀山通报》上发表《论几何原理》，这成为世界上最早发表的非欧几何文献.新几何学公布后，遭到许多人的攻击，被指责为“荒唐的笑话”.但他却始终不妥协，表现出非凡的勇气.罗巴切夫斯基晚年双目失明，仍以口述的方式完成他最后的著作《泛几何学》，对非欧几何给出了全新的说明.因此，现在人们把由他发展的非欧几何称为罗巴切夫斯基几何，简称“罗氏几何”.
　　三种几何的比较
　　非欧几何的产生和发展，引起了人们对数学本质的深入探讨，影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展.
　　黎曼的非欧几何
　　1854年，德国数学家黎曼（ 1826 - 1866）在哥廷根大学作了题为《关于几何基础的假设》的报告，提出了另一种既不是欧氏几何，又不是罗氏几何的新几何体系.现在人们称它为黎曼几何，简称“黎氏几何”.
　　黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一，为数学的发展立下了丰功伟绩. 他一生中发表的论文著作虽然不多，却异常深刻，篇篇堪称经典.他是复变函数论的奠基人.在素数分布中，他提出的“黎曼猜想”，是数学中悬而未决的最重要的猜想.