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【摘要】利率期限结构反映了利率与到期期限之间的关系。它是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利及投机的基准。该文分析了目前利率期限结构研究的现状。包括利率期限结构形成假设、估计、利率期限结构动态模型及其动态模型的实证检验。此外，还对国内的利率期限结构的研究现状进行了述评。
【关键词】商业银行 利率期限结构 GARCH模型 实证研究
一、引言
利率是经济和金融领域的一个核心变量,它实质上是资金的价格,反映了资金的供求关系。利率期限结构是指在相同违约风险水平下的各期零息债券(zero-coupon bond)的平均年收益率曲线。它是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等的基准。
由于利率期限结构的基准作用,因此对利率期限结构的研究一直是金融学领域一个十分基础性的研究课题。在我国，随着证券市场的发展，利率市场化进程的不断推进，对利率期限结构的研究无疑具有更多的理论和现实意义。
二、文献回顾
在国外，经济学家和金融学家对利率期限结构提出了各种各样的利率期限结构的假说。影响较大的有三种理论假设：纯预期理论、流动性偏好理论及市场分割理论。纯预期理论认为利率期限结构的形状及变动都是由投资者对未来短期利率（远期利率）的预期引起的，当预期未来短期利率上升时，由于长期利率实际上是一系列短期利率的组合，因此长期利率比短期利率更高，根据这种理论，当前的远期利率就是未来的即期利率。而流动性偏好理论认为不同期限的利率水平之所以不一样，是由于不同期限的债券的风险水平不一样造成的。特别是期限较短的债券流动性相对较好，有一定的流动性溢价，从而短期债券的收益率相对于长期债券来说较低。流动性偏好理论能够解释为什么利率曲线在大部分时候是向上倾斜的。
但在实际中，这些因素往往同时存在。因此，研究者糅合了上述两种因素，提出了更为一般的合理预期理论（Rational Expectation Hypothesis）。合理预期理论实际上是一种联合假设，既假设投资者对未来的利率有合理的预期，又假设长期利率在短期利率基础上有一个不随时间变化的期限风险溢价。这个理论可以用下式表示：
■ （1）
其中，R■■代表到期期限为k的零息票债券的到期收益率（即期利率）。R■■代表不同时刻的剩余到期期限为1的零息票债券的到期收益率（即期利率）。θ■■表示持有长期债券相对于滚动的持有短期债券的预期超额收益。而Et表示在t时刻的市场信息基础上的条件期望。根据合理预期理论，风险溢价θ■■只跟到期期限k有关，而不随时间改变，因此，θ■■=θ■。
在这个合理预期理论提出以后，许多学者对这个理论进行了实证检验，而大部分实证检验都拒绝了这个理论。否定原因是学者们发现存在随着时间变化的期限风险溢价。这些否定的研究大部分都是采用美国的利率数据，利用其他国家的数据进行研究的比较有限。中国债券市场的发展相对滞后，但是研究的条件已初步具备。国内已有一些研究者开始利用债券利率数据对期限结构理论进行检验。本文在之前的研究基础上，用中国的利率期限结构数据对合理预期理论进行实证检验，以便分析中国债券市场利率期限结构的形成机制。
三、实证分析
对合理预期理论的检验方法有很多，例如参数比较法、回归方法、VAR等。比较常见的检验是用回归方法。所以本文也采用回归方法。投资者投资于债券（不管长期还是短期债券）目的是获得投资收益，因此收益率是他们最为关心的变量。但是这里的收益率并不是指到期收益率，而是持有期的收益率。因为投资于长期债券的投资者大多不会将债券持有到期，而是在持有一段时间后出售以获取一定的收益。本文将观察投资者在一段时间内投资于长期债券相对于投资于短期债券是否获得了超额收益，这种超额收益是检验利率期限结构理论的关键因素。超额收益定义如下：
■ （2）
这里，H■■表示在t+1时刻到期限期限为k的零息票债券，持有1个时期的超额收益。R代表即期利率，上标表示到期期限，下标表示时刻（即期利率以连续复利年利率表示）。这个线形表达式是利用即期利率进行推导的。这个公式可以这样理解，对于t时刻到期期限为k的零息票债券来说，1个时期以后（即t+1时刻）当期限为k-1的即期利率（R■■）确定时，这个零息票债券的价格也就确定了，因此这个零息票债券在这个持有期内的收益也就确定了。因此，KR■■-(k-1)EtR■■表示期限为k的零息票债券1个时期的持有期收益率。减去1个时期的短期收益率R■■，也就得到了超额收益率。
下面定义随时间变化的预期超额收益率θ■■如下：
■ （3）
这个预期超额收益可以看作期限风险溢价。通过期限风险溢价可以对超额收益H■■进行预测，但是会出现预测误差（forecast error）。因为超额收益率可以分解成期限风险溢价以及一个时期的预测误差：
■ （4）
假设这个预测误差跟当时的信息集是正交的，那么就可以为超额收益H■■的可预测性提供一定的证据。但是，因为期限风险溢价的表达式中存在條件期望，使得这个溢价是不能直接观测的。根据预期理论，k期收益率与1期收益率之间的差额（收益率差）包含了市场对长期利率变化的最好预测。并且有以下公式：
■ （5）
根据合理预期理论α0=-θ■■,α1=1。整理后，得到超额收益对收益率差的回归表达式：
■ （6）
这里，■。根据预期理论，■，由于H■■可以分解成期限风险溢价以及预测误差之和，并假设预测误差与信息集是正交的，那么，α1的估计值显著不等于0就可以断定存在随时间变化的期限风险溢价，即合理预期理论不成立。
根据中国货币网的统计数据，在银行间市场国债回购的交易比现券的交易还要活跃，债券回购交易的的活跃性保证了其形成的短期利率有足够的市场代表性。本文的样本时间选择从2005年1月到2010年12月，采用每个月月底的月度数据，对于个别月份的缺失数据采用插值法来填补。采用月度数据主要基于以下考虑，一是考虑投资者在实际投资中的业绩评价的时间间隔；另外就是使得有足够的数据用于检验。数据的可获得性和准确性对实证检验是非常重要的。
从公式（2）以及银行间国债回购利率月度数据，可以计算出k为2，3的超额收益时序数据。见图1和图2。
图1 2个月即期利率的超额收益 图2 3个月即期利率的超额收益
从图1和图2可以看出，2个月即期利率和3个月即期利率的超额收益的变动有很大的相似之处。在某些时间里，超额收益的波动较大，而在某些时间里，超额收益的波动较小。总体上看，3个月即期利率的超额收益的波动性比2个月即期利率的超额收益的波动大，这一点可以从表2的统计数据中看出。
表1 超额收益统计数据（样本：2005.1－2010.12）
从以上可以看出，3个月即期利率的超额收益的标准差比2个月的要大，但同时，3个月即期利率的超额收益的均值更大。说明期限越长，波动越大，但收益也相对较高。从金融的角度看，超额收益的波动越大，其风险越大，因此，其需要的补偿也越高。
以下，通过公式（6）对合理预期理论进行回归检验。即对
■
验证：H0:α1=0 H1:α1≠0
当k=2时，回归方程如下：
■
其中，括号内是T统计量。由回归结果可知，α1显著不等于0。
k=3时，回归方程如下：
■
其中，括号内是T统计量。由回归结果可知，α1显著不等于0。
检验结果表明，原假设是不成立的，即α1显著不等于0。因此，与合理预期理论推导出来的结果相矛盾，说明合理预期理论不成立。结合之前的假设，预测误差与信息集是正交的，说明存在随着时间变化的期限风险溢价。
从上面的实证结果可以看出合理预期理论并不成立，期限风险溢价是随着时间变化的。应该如何用模型来描述期限风险溢价的变化呢？国外的研究者发现可以用超额收益率的条件异方差模型来达到这个目的。在近几年的利率动态研究当中，条件异方差的GARCH-M模型得到了广泛的应用，而且，估计的参数相对较少，且更为有效。所以本文也尝试使用GARCH-M模型来研究期限风险溢价的变动行为，并且分析其估计结果。
但是，在采用GARCH-M模型之前，我们要对所研究的时间序列进行LM检验（拉格朗日乘数检验），看这个序列是否存在条件异方差现象。如果存在条件异方差现象的，就可以用GARCH模型进行分析。
表2 对超额收益率自回归
用LM统计量检验自回归条件异方差存在。
F=13.799>F0.05(3,55)=2.78
LM=N*R2=17.13>χ20.05(3)=7.81
检验结果认为模型存在自回归条件异方差，应该在AR（3）的基础上建立GARCH（1，1）模型。
这里要分析的是期限风险溢价的变动形式。根据前文的分析，期限风险溢价在实际中是不可直接观察的，但我们知道超额收益率可以分解成期限风险溢价与预测误差两部分。即
■ （7）
这里，ε■■表示预测误差。假设期限风险溢价θ■■服从一个GARCH-M过程，那么公式（7）可以表示为：
■ （8）
公式（8）是期限风险溢价的均值公式。公式中，π■■为常数项，表示一个固定的溢价水平。λ■■是风险价格，f(σ■■)表示超额收益率条件标准差的函数。注意，这里f(σ■■)可以等于σ■■，也可以等于(σ■■)2，取决于在参数估计的过程中方程的拟合程度谁更高。进一步假设条件异方差ε■■服从GARCH(1,1)过程，如下面公式所示
■ （9）
这是条件异方差公式。之所以采用GARCH(1,1)模型，是因为这个模型的应用相当广泛，拟合效果也不错。公式（8）和公式（9）组成了一个GARCH-M模型。
下面采用前文的超额收益率数据对整個模型进行估计。估计方法采用极大似然估计法。估计结果如下表所示。
表3 GARCH-M模型参数估计表
由上可知，
k=2时，期限风险溢价均值方程是：
■
GARCH(1,1)方程是：
■
同理，k=3时，期限风险溢价均值方程是：
■
GARCH(1,1)方程是：
■
从参数的P值来看，检验结果是很显著的，当时，模型的拟合程度更高些，估计的参数更为显著。这也印证了期限风险溢价序列可以通过GARCH-M模型来描述。λ(k)为正数，说明当超额收益率波动变大时，投资者对风险更为厌恶，从而需要更高的期限风险溢价。从前面的图1和图2中也可以观察到这一点，超额收益率的波动更大，均值也更高，说明市场确实对风险做出了反应，也说明期限风险溢价是随时间变化的。
从以上两个模型的参数估计来看，由于均值方程中的常数项很小，说明期限风险溢价几乎可以用市场对收益率波动的风险的回报来描述。但是在前面的回归分析中，收益率差对超额收益率的回归十分显著，收益率差可以有效的预测期限风险溢价，那么我们可以将收益率差引入GARCH-M模型中看是否能够提高模型的拟合程度呢？能否更加有效的解释期限风险溢价的变化？下面将收益率差引入GARCH-M模型的均值方程中，再进行参数估计。其均值方程如下：
■ （10）
条件异方差方程保持不变，表4列出了改进的参数估计的结果。
表4 改进的GARCH-M模型估计表
从估计的参数来看，k=2时，α还是显著的（P=0.0023），从R2=0.2405来看，比没加入收益率差时的拟合优度R2（0.2117）要大些，说明在模型中引入收益率差可以提高模型的拟合程度，不过提高不明显。从上表看出，参数μ(k)的估计不显著。但是。而k=3时，我们看到，收益率差的引入确实能更好的解释模型，α相当显著，并且拟合优度R2有了很大程度的提高。说明收益率差确实能够有效预测期限风险溢价随时间的变化。
综合以上的分析，在预测期限风险溢价的时候，k=2时可以不把收益率差引入模型，因为拟合优度提高不明显，还有的参数值不显著，可以采用如下 ARCH-M模型进行预测：
■（均值方程）
■（条件异方差GARCH(1,1)方程）
k=3时，把收益率差引入均值方程，条件异方差方程保持不变，采用以下预测模型:
■（均值方程）
■（条件异方差GARCH（1，1）方程）
从本文研究结果来看，尽管期限风险溢价受到很多因素的影响，并随着时间而发生变化，但是我们可以用超额收益率的波动性以及该期限的收益率差替代期限风险溢价进行预测。投资者在进行债券投资的时候，可以应用该预测，根据期限风险溢价的高低对投资的期限长短进行风险收益权衡，从而做出投资决策。因此，有效的预测期限风险溢价对投资者来说有着重要的意义。
四、结论
本文利用银行间债券回购市场的交易价格，对银行间债券市场的利率期限结构，利率期限结构合理预期理论进行了实证检验，并用GARCH模型对期限风险溢价进行了研究，得到了以下结论：
一是从2005年1月到2010年12月，银行间债券回购市场隐含的利率期限结构大体上呈现出上升趋势。但是整条收益率曲线很平缓。利率方差是随着到期期限缓慢下降的。从利率期限结构图以及统计特征看出利率曲线有着显著的偏度和峰度，它们都不服从正态分布。
二是我国银行间回购债券市场上，利率期限结构对债券的超额收益率具有显著的预测作用。使用Fama的经典回归方法，发现收益率差能够有效预测超额收益。当收益率差增大，持有长期债券的投资者将相应获得更高的超额收益。同时，实证检验表明合理预期理论不成立。期限风险溢价是随时间变化的。
三是从模型中可以看出，超额收益率的波动性以及收益率差能够有效预测期限风险溢价。根据对期限风险溢价的预测，投资者能够合理的选择所投资的期限。
参考文献
[1]Ball, C.A., and W.N. Torous,2009, “The Stochastic Volatility of Short Term Interest Rates: Some International Evidence”, Journal of Finance, 54, 2339-2359.
[2]Ball, C.A., and W.N. Torous, 2007, “Unit Roots and the Estimation of Interest Rates Dynamics”, Journal of Empirical Finance, 3, 215-238.
[3]我国国债利率期限结构的动态实证研究技术经济与管理研究, 2009年06期.
[4]庄晓玖，杜海涛.《利率期限结构理论在我国证券市场的实证分析》 《金融论坛》 2003年第11期
[5]利率期限结构模型估计结果影响因素经验研究中国管理科学. 2010年01期.
[6]谢赤，吴雄伟.《基于Vasicek模型和CIR模型中的中国货币市场利率行为实证分析》[J]，《中国管理科学》，2002年第3期.
[7]朱峰.《零息国债收益率曲线变化特征的因素分析》[C]，第二届中国青年经济学者论坛，武汉，2002年.
[8]唐齐鸣，高翔.《我国同业拆借市场利率期限结构的实证研究》[J].《统计研究》，2002年第5期.
作者简介：孙素侠（1974-），女，数量经济学专业，讲师，研究方向：宏观经济学、计量经济学。
【关键词】商业银行 利率期限结构 GARCH模型 实证研究
一、引言
利率是经济和金融领域的一个核心变量,它实质上是资金的价格,反映了资金的供求关系。利率期限结构是指在相同违约风险水平下的各期零息债券(zero-coupon bond)的平均年收益率曲线。它是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等的基准。
由于利率期限结构的基准作用,因此对利率期限结构的研究一直是金融学领域一个十分基础性的研究课题。在我国，随着证券市场的发展，利率市场化进程的不断推进，对利率期限结构的研究无疑具有更多的理论和现实意义。
二、文献回顾
在国外，经济学家和金融学家对利率期限结构提出了各种各样的利率期限结构的假说。影响较大的有三种理论假设：纯预期理论、流动性偏好理论及市场分割理论。纯预期理论认为利率期限结构的形状及变动都是由投资者对未来短期利率（远期利率）的预期引起的，当预期未来短期利率上升时，由于长期利率实际上是一系列短期利率的组合，因此长期利率比短期利率更高，根据这种理论，当前的远期利率就是未来的即期利率。而流动性偏好理论认为不同期限的利率水平之所以不一样，是由于不同期限的债券的风险水平不一样造成的。特别是期限较短的债券流动性相对较好，有一定的流动性溢价，从而短期债券的收益率相对于长期债券来说较低。流动性偏好理论能够解释为什么利率曲线在大部分时候是向上倾斜的。
但在实际中，这些因素往往同时存在。因此，研究者糅合了上述两种因素，提出了更为一般的合理预期理论（Rational Expectation Hypothesis）。合理预期理论实际上是一种联合假设，既假设投资者对未来的利率有合理的预期，又假设长期利率在短期利率基础上有一个不随时间变化的期限风险溢价。这个理论可以用下式表示：
■ （1）
其中，R■■代表到期期限为k的零息票债券的到期收益率（即期利率）。R■■代表不同时刻的剩余到期期限为1的零息票债券的到期收益率（即期利率）。θ■■表示持有长期债券相对于滚动的持有短期债券的预期超额收益。而Et表示在t时刻的市场信息基础上的条件期望。根据合理预期理论，风险溢价θ■■只跟到期期限k有关，而不随时间改变，因此，θ■■=θ■。
在这个合理预期理论提出以后，许多学者对这个理论进行了实证检验，而大部分实证检验都拒绝了这个理论。否定原因是学者们发现存在随着时间变化的期限风险溢价。这些否定的研究大部分都是采用美国的利率数据，利用其他国家的数据进行研究的比较有限。中国债券市场的发展相对滞后，但是研究的条件已初步具备。国内已有一些研究者开始利用债券利率数据对期限结构理论进行检验。本文在之前的研究基础上，用中国的利率期限结构数据对合理预期理论进行实证检验，以便分析中国债券市场利率期限结构的形成机制。
三、实证分析
对合理预期理论的检验方法有很多，例如参数比较法、回归方法、VAR等。比较常见的检验是用回归方法。所以本文也采用回归方法。投资者投资于债券（不管长期还是短期债券）目的是获得投资收益，因此收益率是他们最为关心的变量。但是这里的收益率并不是指到期收益率，而是持有期的收益率。因为投资于长期债券的投资者大多不会将债券持有到期，而是在持有一段时间后出售以获取一定的收益。本文将观察投资者在一段时间内投资于长期债券相对于投资于短期债券是否获得了超额收益，这种超额收益是检验利率期限结构理论的关键因素。超额收益定义如下：
■ （2）
这里，H■■表示在t+1时刻到期限期限为k的零息票债券，持有1个时期的超额收益。R代表即期利率，上标表示到期期限，下标表示时刻（即期利率以连续复利年利率表示）。这个线形表达式是利用即期利率进行推导的。这个公式可以这样理解，对于t时刻到期期限为k的零息票债券来说，1个时期以后（即t+1时刻）当期限为k-1的即期利率（R■■）确定时，这个零息票债券的价格也就确定了，因此这个零息票债券在这个持有期内的收益也就确定了。因此，KR■■-(k-1)EtR■■表示期限为k的零息票债券1个时期的持有期收益率。减去1个时期的短期收益率R■■，也就得到了超额收益率。
下面定义随时间变化的预期超额收益率θ■■如下：
■ （3）
这个预期超额收益可以看作期限风险溢价。通过期限风险溢价可以对超额收益H■■进行预测，但是会出现预测误差（forecast error）。因为超额收益率可以分解成期限风险溢价以及一个时期的预测误差：
■ （4）
假设这个预测误差跟当时的信息集是正交的，那么就可以为超额收益H■■的可预测性提供一定的证据。但是，因为期限风险溢价的表达式中存在條件期望，使得这个溢价是不能直接观测的。根据预期理论，k期收益率与1期收益率之间的差额（收益率差）包含了市场对长期利率变化的最好预测。并且有以下公式：
■ （5）
根据合理预期理论α0=-θ■■,α1=1。整理后，得到超额收益对收益率差的回归表达式：
■ （6）
这里，■。根据预期理论，■，由于H■■可以分解成期限风险溢价以及预测误差之和，并假设预测误差与信息集是正交的，那么，α1的估计值显著不等于0就可以断定存在随时间变化的期限风险溢价，即合理预期理论不成立。
根据中国货币网的统计数据，在银行间市场国债回购的交易比现券的交易还要活跃，债券回购交易的的活跃性保证了其形成的短期利率有足够的市场代表性。本文的样本时间选择从2005年1月到2010年12月，采用每个月月底的月度数据，对于个别月份的缺失数据采用插值法来填补。采用月度数据主要基于以下考虑，一是考虑投资者在实际投资中的业绩评价的时间间隔；另外就是使得有足够的数据用于检验。数据的可获得性和准确性对实证检验是非常重要的。
从公式（2）以及银行间国债回购利率月度数据，可以计算出k为2，3的超额收益时序数据。见图1和图2。
图1 2个月即期利率的超额收益 图2 3个月即期利率的超额收益
从图1和图2可以看出，2个月即期利率和3个月即期利率的超额收益的变动有很大的相似之处。在某些时间里，超额收益的波动较大，而在某些时间里，超额收益的波动较小。总体上看，3个月即期利率的超额收益的波动性比2个月即期利率的超额收益的波动大，这一点可以从表2的统计数据中看出。
表1 超额收益统计数据（样本：2005.1－2010.12）
从以上可以看出，3个月即期利率的超额收益的标准差比2个月的要大，但同时，3个月即期利率的超额收益的均值更大。说明期限越长，波动越大，但收益也相对较高。从金融的角度看，超额收益的波动越大，其风险越大，因此，其需要的补偿也越高。
以下，通过公式（6）对合理预期理论进行回归检验。即对
■
验证：H0:α1=0 H1:α1≠0
当k=2时，回归方程如下：
■
其中，括号内是T统计量。由回归结果可知，α1显著不等于0。
k=3时，回归方程如下：
■
其中，括号内是T统计量。由回归结果可知，α1显著不等于0。
检验结果表明，原假设是不成立的，即α1显著不等于0。因此，与合理预期理论推导出来的结果相矛盾，说明合理预期理论不成立。结合之前的假设，预测误差与信息集是正交的，说明存在随着时间变化的期限风险溢价。
从上面的实证结果可以看出合理预期理论并不成立，期限风险溢价是随着时间变化的。应该如何用模型来描述期限风险溢价的变化呢？国外的研究者发现可以用超额收益率的条件异方差模型来达到这个目的。在近几年的利率动态研究当中，条件异方差的GARCH-M模型得到了广泛的应用，而且，估计的参数相对较少，且更为有效。所以本文也尝试使用GARCH-M模型来研究期限风险溢价的变动行为，并且分析其估计结果。
但是，在采用GARCH-M模型之前，我们要对所研究的时间序列进行LM检验（拉格朗日乘数检验），看这个序列是否存在条件异方差现象。如果存在条件异方差现象的，就可以用GARCH模型进行分析。
表2 对超额收益率自回归
用LM统计量检验自回归条件异方差存在。
F=13.799>F0.05(3,55)=2.78
LM=N*R2=17.13>χ20.05(3)=7.81
检验结果认为模型存在自回归条件异方差，应该在AR（3）的基础上建立GARCH（1，1）模型。
这里要分析的是期限风险溢价的变动形式。根据前文的分析，期限风险溢价在实际中是不可直接观察的，但我们知道超额收益率可以分解成期限风险溢价与预测误差两部分。即
■ （7）
这里，ε■■表示预测误差。假设期限风险溢价θ■■服从一个GARCH-M过程，那么公式（7）可以表示为：
■ （8）
公式（8）是期限风险溢价的均值公式。公式中，π■■为常数项，表示一个固定的溢价水平。λ■■是风险价格，f(σ■■)表示超额收益率条件标准差的函数。注意，这里f(σ■■)可以等于σ■■，也可以等于(σ■■)2，取决于在参数估计的过程中方程的拟合程度谁更高。进一步假设条件异方差ε■■服从GARCH(1,1)过程，如下面公式所示
■ （9）
这是条件异方差公式。之所以采用GARCH(1,1)模型，是因为这个模型的应用相当广泛，拟合效果也不错。公式（8）和公式（9）组成了一个GARCH-M模型。
下面采用前文的超额收益率数据对整個模型进行估计。估计方法采用极大似然估计法。估计结果如下表所示。
表3 GARCH-M模型参数估计表
由上可知，
k=2时，期限风险溢价均值方程是：
■
GARCH(1,1)方程是：
■
同理，k=3时，期限风险溢价均值方程是：
■
GARCH(1,1)方程是：
■
从参数的P值来看，检验结果是很显著的，当时，模型的拟合程度更高些，估计的参数更为显著。这也印证了期限风险溢价序列可以通过GARCH-M模型来描述。λ(k)为正数，说明当超额收益率波动变大时，投资者对风险更为厌恶，从而需要更高的期限风险溢价。从前面的图1和图2中也可以观察到这一点，超额收益率的波动更大，均值也更高，说明市场确实对风险做出了反应，也说明期限风险溢价是随时间变化的。
从以上两个模型的参数估计来看，由于均值方程中的常数项很小，说明期限风险溢价几乎可以用市场对收益率波动的风险的回报来描述。但是在前面的回归分析中，收益率差对超额收益率的回归十分显著，收益率差可以有效的预测期限风险溢价，那么我们可以将收益率差引入GARCH-M模型中看是否能够提高模型的拟合程度呢？能否更加有效的解释期限风险溢价的变化？下面将收益率差引入GARCH-M模型的均值方程中，再进行参数估计。其均值方程如下：
■ （10）
条件异方差方程保持不变，表4列出了改进的参数估计的结果。
表4 改进的GARCH-M模型估计表
从估计的参数来看，k=2时，α还是显著的（P=0.0023），从R2=0.2405来看，比没加入收益率差时的拟合优度R2（0.2117）要大些，说明在模型中引入收益率差可以提高模型的拟合程度，不过提高不明显。从上表看出，参数μ(k)的估计不显著。但是。而k=3时，我们看到，收益率差的引入确实能更好的解释模型，α相当显著，并且拟合优度R2有了很大程度的提高。说明收益率差确实能够有效预测期限风险溢价随时间的变化。
综合以上的分析，在预测期限风险溢价的时候，k=2时可以不把收益率差引入模型，因为拟合优度提高不明显，还有的参数值不显著，可以采用如下 ARCH-M模型进行预测：
■（均值方程）
■（条件异方差GARCH(1,1)方程）
k=3时，把收益率差引入均值方程，条件异方差方程保持不变，采用以下预测模型:
■（均值方程）
■（条件异方差GARCH（1，1）方程）
从本文研究结果来看，尽管期限风险溢价受到很多因素的影响，并随着时间而发生变化，但是我们可以用超额收益率的波动性以及该期限的收益率差替代期限风险溢价进行预测。投资者在进行债券投资的时候，可以应用该预测，根据期限风险溢价的高低对投资的期限长短进行风险收益权衡，从而做出投资决策。因此，有效的预测期限风险溢价对投资者来说有着重要的意义。
四、结论
本文利用银行间债券回购市场的交易价格，对银行间债券市场的利率期限结构，利率期限结构合理预期理论进行了实证检验，并用GARCH模型对期限风险溢价进行了研究，得到了以下结论：
一是从2005年1月到2010年12月，银行间债券回购市场隐含的利率期限结构大体上呈现出上升趋势。但是整条收益率曲线很平缓。利率方差是随着到期期限缓慢下降的。从利率期限结构图以及统计特征看出利率曲线有着显著的偏度和峰度，它们都不服从正态分布。
二是我国银行间回购债券市场上，利率期限结构对债券的超额收益率具有显著的预测作用。使用Fama的经典回归方法，发现收益率差能够有效预测超额收益。当收益率差增大，持有长期债券的投资者将相应获得更高的超额收益。同时，实证检验表明合理预期理论不成立。期限风险溢价是随时间变化的。
三是从模型中可以看出，超额收益率的波动性以及收益率差能够有效预测期限风险溢价。根据对期限风险溢价的预测，投资者能够合理的选择所投资的期限。
参考文献
[1]Ball, C.A., and W.N. Torous,2009, “The Stochastic Volatility of Short Term Interest Rates: Some International Evidence”, Journal of Finance, 54, 2339-2359.
[2]Ball, C.A., and W.N. Torous, 2007, “Unit Roots and the Estimation of Interest Rates Dynamics”, Journal of Empirical Finance, 3, 215-238.
[3]我国国债利率期限结构的动态实证研究技术经济与管理研究, 2009年06期.
[4]庄晓玖，杜海涛.《利率期限结构理论在我国证券市场的实证分析》 《金融论坛》 2003年第11期
[5]利率期限结构模型估计结果影响因素经验研究中国管理科学. 2010年01期.
[6]谢赤，吴雄伟.《基于Vasicek模型和CIR模型中的中国货币市场利率行为实证分析》[J]，《中国管理科学》，2002年第3期.
[7]朱峰.《零息国债收益率曲线变化特征的因素分析》[C]，第二届中国青年经济学者论坛，武汉，2002年.
[8]唐齐鸣，高翔.《我国同业拆借市场利率期限结构的实证研究》[J].《统计研究》，2002年第5期.
作者简介：孙素侠（1974-），女，数量经济学专业，讲师，研究方向：宏观经济学、计量经济学。