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【摘要】在中学数学教学工作中，许多教师将教学的主要着力点都放在了对学生的思维启发引导上面，强化新授知识的点拨，对于学生已经学习过的知识点回顾不足。温故而知新，教师在教学活动中只有注重前后知识之间的紧密联系，融会贯通，才能够在学生的学习活动中构建起全面的立体教学模式。笔者在数学教学活动中充分发挥小结的作用，在教学各个环节强化知识的前后联系，取得了显著成效。
【关键词】数学；小结；功能；探究
经常参加数学教研活动，听了许多教师的课，几乎所有课的内容都比较满，学生在一整节课中疲于应付，没有时间思考，效果难免大打折扣。经常听到数学教师埋怨学生记忆力太差,讲过的题目,过两天又不会做了;有些教师埋怨学生太笨了,讲过的题目稍微改变一下，又不会做了，只知道模仿，学习的能力实在太差;还有些教师反映自己教的学生数学成绩极不稳定，有时试卷做的很好，有时又面目全非。以上种种现象教师一般都把问题归结到学生身上，该讲的多讲了，学生考试考不好，似乎跟自己没有关系，其实从笔者多年的教学实践中体会到，这种问题的出现不仅仅在于学生，教师也要好好反思。在此笔者仅从做好“数学课中的小结”这个环节出发，谈谈自己对造成这一现象的一点看法，提供解决问题的一点做法。
一、小结旧知，导入新课
几乎每个教师都非常重视新课的讲解，但是对于一节数学课来讲，由于每节课都是整个知识体系链中的一环，学生在每次接受新知识时，都有一个与旧知识同化的过程。如果教师这时不注重新旧知识的联系，则往往会产生新旧知识不能融合，学生学到的知识支离破散，当然造成的结果是学生学得很费力，但是却没有深刻而全面的理解，当然也不会有好的理解、记忆和运用。所以笔者认为每上一节新课时必须认真对前一课或前面学过的与新课有关的旧知识进行充分的小结，不能流以形式。比如笔者在讲解勾股定理一课之前，先对以前所学过的内容进行小结:直角三角形中的角与角、边与边、角与边之间，除了具有一般三角形的边角关系之外，笔者们还知道它具有什么特殊关系呢，让同学们回忆，同时使学生迅速地熟悉直角三角形这个图形，然后问直角三角形的三边是否还有其他关系呢?由此导入新课，这样新旧知识顺理成章地连接起来，学生也容易记住。
再比如讲分式的基本性质和计算时，用一点时间先回顾分数的基本性质和计算，举例说明，还可以对以前学生的错误加以剖析，把它展示在黑板的一个角上，方便学生类比地学习新知识。
总之， 小结旧知识，导入新知识，抓住新旧知识之间的联系，构建知识网络，实现认知结构的整体优化，使知识条理化、系统化、完整化。
二、精选例子，小结每例
多数数学教师在某个概念、定理、原理等讲解之后，通过归纳小结，使学生得到一个清晰的结论，而对于为了巩固所精心选取的例子，则缺少必要的小结，有些教师把这部分时间用在讲解其它例子上，认为例子讲得越多越好，让学生机械地记住各种形式的题目，学生肯定能学好。其实不然，对于学生的发展而言，学习的价值不只是记住几个数学结论，解决几个习题而已，而是要让学生在解决问题的过程中体会到解决问题的策略，从而渗透数学的思想方法，让学生的思维得到升华。所以讲解典型的例子固然重要，但讲完之后更应重视对例子进行小结：一方面可以对解题方法和技巧进行概括，再一次突出例子所要巩固的概念、定理或原理；另一面这时的小结可以放缓节奏，让思维比较慢而跟不上的学生有机会，有时间跟上，从而避免因跟不上失去了学习兴趣而产生大量的差生。
例题的小结并不是简单地重复解题过程，而应该把握实质，将其小结成一个容易记忆的结论或上升到理论的高度，使其成为触类旁通的典型。这样既避免了学生重复的解题，又可使课堂内容丰富起来。由于这种小结可让学生来讲，教师注意引导，课堂气氛又活跃了，学生来了兴趣，学的内容自然就能记住，久而久之学生的分析问题、解决问题的能力就能大大提高。例如在讲等腰三角形判定定理运用的例子：等腰三角形两腰上的中线的交点到底边的两个端点距离相等之后，可以进行小结证两条线段相等的方法，除了用三角形全等之外，又多了一种在同一个三角形中用等角对等边来证明，另外可将命题变形，例如改成交点到两腰的距离相等，或把中线改成两腰上的高、两底角的角平分线试一试。这样既巩固了等腰三角形的判定定理，又联系了全等三角形，从而拓展了学生的思维空间，真正做到前后联系举一反三，加深理解帮助记忆。
在小结中不断让学生体会常见的数学思想方法，如分类讨论思想，化归与转化思想，函数与方程思想，数行结合思想等常用的数学思想，能让学生的思维达到一个较高的理论水平，养成用数学来思考问题、分析问题、解决问题，从而真正提高学生的数学水平。
三、反馈练习，学生小结
一堂成功的数学课必须要有一定的训练，以巩固刚学过的内容，教师布置了适量的训练题之后，决不能简单地对一下答案，或简单地讲解一下，笔者认为这样做未起到真正的反馈与巩固。这时不但要让学生复述从哪个点上开始分析的思维过程，而且还要求学生进行小结，比如这道题主要掌握的是什么知识点，并且可进一步小结其解题方法。使学生在逐步的小结中去掌握所学的知识或解题的技巧。这样做可以有效地发挥其学习的主动性和积极性，可以改变以往教师“满堂灌”的形式，可以很好地提高学生学习的效率。真正把课堂还给学生，把课堂变成学习的乐园。
例如：初二代数因式分解中有关分组分解法的学习，例子讲完后，教师可以布置一组各种类型分组分解的习题，让一位学生上黑板来练习，其他学生下面做，做完后让学生来评论。如解题正确，则要让学生小结解题方法,拓宽解题思路；如错了，则让学生剖析错误发生的原因，从而在与正确解答的对比中加深和巩固对正确解法的理解，并且思考是否还有其它的分组方法。最后综合起来小结，对于四项、五项、六项的多项式，从理论上小结可能存在的几种分组分解方法。这样能使学生感受到不同方法的得出主要来源于对问题的认识角度的不同，启迪数学思想方法，体验到数学思想方法的智慧力量。
四、课尾小结，画龙点睛
一条龙画完了，最后是“点睛之笔”，只有画了眼睛，这条龙才活灵活现。课堂教学的结尾也是整堂课的“点睛之笔”。明代文学家谢榛说的好“起句当如爆竹，骤响易彻，结句如撞钟，清音如余”。此时小结，即用准确简炼的语言提纲挈领地把整个课的主要内容加以概括、归纳，给学生以系统、完整的印象，促使学生加深对所学知识的理解和记忆，培养其综合概括能力。小结可以由教师先启发学生做，教师再加以补充修正。小结的方式可视具体情况灵活变化，可以用简明扼要的语言复述要点，强调应掌握的主要概念和原理，对学生模糊的问题再次澄清，并表扬鼓励做得好的学生，经过一番小结，使学生对本课所解决的问题的认识步步深入，螺旋上升。
对于课堂小结时，注意不能讲绝，讲绝就失去了“启发”想象的效果。这就要求教师在小结时以“不全”求全，在有限中追求无限，突破课堂教学的时空局限，运用浓郁的色彩，艺术的含蓄，使学生感到“言将尽而意无穷”,课后引起咀嚼回味，展开丰富想象，既巩固知识，又余味无穷。
五、课后追忆，小结得失
课后小结作为一节课的延伸，并非被大多数教师所重视，往往被看作多此一举，其实讲课后立即回顾本堂课的成功之处或反思是否有值得改进的地方，学生中出现的主要问题和产生这些问题的原因，及时分析应采取的矫正措施。并简明地记在本节课相应教案旁，这样既可作为下节课的矫正内容，又可作为下一次再教时的重要参考资料。若能长期坚持注意积累和整理便是切合实际的难得的教学经验。课后小结对于学生也有意义，教师可以利用课间时间与部分学生交流，了解课堂上所讲的内容是否真正掌握，是否存在模糊不清的问题，或者认识上的偏差，甚至思考教师的讲解中有无漏洞或不足，自己是否还有更好的解题方法。课后及时小结可以在印象还清晰时起到及时总结经验教训，记下课中的灵感火花。
总之，在课堂教学中小结无处不在， 教师要切记小结不能由教师包办代替，要立足于引导，让学生参与，展现出获取知识的思维过程。事实上它对帮助学生理清知识结构，总结重点，理解难点，活跃思维具有重要作用。有利于学生加深理解概念、巩固解题方法、培养思维能力、提高学习效率。但教学中要量力而行，循序渐进，逐步培养学生勤于小结、善于回顾的好习惯。
（作者单位：江苏省吴江市平望第二中学）
【关键词】数学；小结；功能；探究
经常参加数学教研活动，听了许多教师的课，几乎所有课的内容都比较满，学生在一整节课中疲于应付，没有时间思考，效果难免大打折扣。经常听到数学教师埋怨学生记忆力太差,讲过的题目,过两天又不会做了;有些教师埋怨学生太笨了,讲过的题目稍微改变一下，又不会做了，只知道模仿，学习的能力实在太差;还有些教师反映自己教的学生数学成绩极不稳定，有时试卷做的很好，有时又面目全非。以上种种现象教师一般都把问题归结到学生身上，该讲的多讲了，学生考试考不好，似乎跟自己没有关系，其实从笔者多年的教学实践中体会到，这种问题的出现不仅仅在于学生，教师也要好好反思。在此笔者仅从做好“数学课中的小结”这个环节出发，谈谈自己对造成这一现象的一点看法，提供解决问题的一点做法。
一、小结旧知，导入新课
几乎每个教师都非常重视新课的讲解，但是对于一节数学课来讲，由于每节课都是整个知识体系链中的一环，学生在每次接受新知识时，都有一个与旧知识同化的过程。如果教师这时不注重新旧知识的联系，则往往会产生新旧知识不能融合，学生学到的知识支离破散，当然造成的结果是学生学得很费力，但是却没有深刻而全面的理解，当然也不会有好的理解、记忆和运用。所以笔者认为每上一节新课时必须认真对前一课或前面学过的与新课有关的旧知识进行充分的小结，不能流以形式。比如笔者在讲解勾股定理一课之前，先对以前所学过的内容进行小结:直角三角形中的角与角、边与边、角与边之间，除了具有一般三角形的边角关系之外，笔者们还知道它具有什么特殊关系呢，让同学们回忆，同时使学生迅速地熟悉直角三角形这个图形，然后问直角三角形的三边是否还有其他关系呢?由此导入新课，这样新旧知识顺理成章地连接起来，学生也容易记住。
再比如讲分式的基本性质和计算时，用一点时间先回顾分数的基本性质和计算，举例说明，还可以对以前学生的错误加以剖析，把它展示在黑板的一个角上，方便学生类比地学习新知识。
总之， 小结旧知识，导入新知识，抓住新旧知识之间的联系，构建知识网络，实现认知结构的整体优化，使知识条理化、系统化、完整化。
二、精选例子，小结每例
多数数学教师在某个概念、定理、原理等讲解之后，通过归纳小结，使学生得到一个清晰的结论，而对于为了巩固所精心选取的例子，则缺少必要的小结，有些教师把这部分时间用在讲解其它例子上，认为例子讲得越多越好，让学生机械地记住各种形式的题目，学生肯定能学好。其实不然，对于学生的发展而言，学习的价值不只是记住几个数学结论，解决几个习题而已，而是要让学生在解决问题的过程中体会到解决问题的策略，从而渗透数学的思想方法，让学生的思维得到升华。所以讲解典型的例子固然重要，但讲完之后更应重视对例子进行小结：一方面可以对解题方法和技巧进行概括，再一次突出例子所要巩固的概念、定理或原理；另一面这时的小结可以放缓节奏，让思维比较慢而跟不上的学生有机会，有时间跟上，从而避免因跟不上失去了学习兴趣而产生大量的差生。
例题的小结并不是简单地重复解题过程，而应该把握实质，将其小结成一个容易记忆的结论或上升到理论的高度，使其成为触类旁通的典型。这样既避免了学生重复的解题，又可使课堂内容丰富起来。由于这种小结可让学生来讲，教师注意引导，课堂气氛又活跃了，学生来了兴趣，学的内容自然就能记住，久而久之学生的分析问题、解决问题的能力就能大大提高。例如在讲等腰三角形判定定理运用的例子：等腰三角形两腰上的中线的交点到底边的两个端点距离相等之后，可以进行小结证两条线段相等的方法，除了用三角形全等之外，又多了一种在同一个三角形中用等角对等边来证明，另外可将命题变形，例如改成交点到两腰的距离相等，或把中线改成两腰上的高、两底角的角平分线试一试。这样既巩固了等腰三角形的判定定理，又联系了全等三角形，从而拓展了学生的思维空间，真正做到前后联系举一反三，加深理解帮助记忆。
在小结中不断让学生体会常见的数学思想方法，如分类讨论思想，化归与转化思想，函数与方程思想，数行结合思想等常用的数学思想，能让学生的思维达到一个较高的理论水平，养成用数学来思考问题、分析问题、解决问题，从而真正提高学生的数学水平。
三、反馈练习，学生小结
一堂成功的数学课必须要有一定的训练，以巩固刚学过的内容，教师布置了适量的训练题之后，决不能简单地对一下答案，或简单地讲解一下，笔者认为这样做未起到真正的反馈与巩固。这时不但要让学生复述从哪个点上开始分析的思维过程，而且还要求学生进行小结，比如这道题主要掌握的是什么知识点，并且可进一步小结其解题方法。使学生在逐步的小结中去掌握所学的知识或解题的技巧。这样做可以有效地发挥其学习的主动性和积极性，可以改变以往教师“满堂灌”的形式，可以很好地提高学生学习的效率。真正把课堂还给学生，把课堂变成学习的乐园。
例如：初二代数因式分解中有关分组分解法的学习，例子讲完后，教师可以布置一组各种类型分组分解的习题，让一位学生上黑板来练习，其他学生下面做，做完后让学生来评论。如解题正确，则要让学生小结解题方法,拓宽解题思路；如错了，则让学生剖析错误发生的原因，从而在与正确解答的对比中加深和巩固对正确解法的理解，并且思考是否还有其它的分组方法。最后综合起来小结，对于四项、五项、六项的多项式，从理论上小结可能存在的几种分组分解方法。这样能使学生感受到不同方法的得出主要来源于对问题的认识角度的不同，启迪数学思想方法，体验到数学思想方法的智慧力量。
四、课尾小结，画龙点睛
一条龙画完了，最后是“点睛之笔”，只有画了眼睛，这条龙才活灵活现。课堂教学的结尾也是整堂课的“点睛之笔”。明代文学家谢榛说的好“起句当如爆竹，骤响易彻，结句如撞钟，清音如余”。此时小结，即用准确简炼的语言提纲挈领地把整个课的主要内容加以概括、归纳，给学生以系统、完整的印象，促使学生加深对所学知识的理解和记忆，培养其综合概括能力。小结可以由教师先启发学生做，教师再加以补充修正。小结的方式可视具体情况灵活变化，可以用简明扼要的语言复述要点，强调应掌握的主要概念和原理，对学生模糊的问题再次澄清，并表扬鼓励做得好的学生，经过一番小结，使学生对本课所解决的问题的认识步步深入，螺旋上升。
对于课堂小结时，注意不能讲绝，讲绝就失去了“启发”想象的效果。这就要求教师在小结时以“不全”求全，在有限中追求无限，突破课堂教学的时空局限，运用浓郁的色彩，艺术的含蓄，使学生感到“言将尽而意无穷”,课后引起咀嚼回味，展开丰富想象，既巩固知识，又余味无穷。
五、课后追忆，小结得失
课后小结作为一节课的延伸，并非被大多数教师所重视，往往被看作多此一举，其实讲课后立即回顾本堂课的成功之处或反思是否有值得改进的地方，学生中出现的主要问题和产生这些问题的原因，及时分析应采取的矫正措施。并简明地记在本节课相应教案旁，这样既可作为下节课的矫正内容，又可作为下一次再教时的重要参考资料。若能长期坚持注意积累和整理便是切合实际的难得的教学经验。课后小结对于学生也有意义，教师可以利用课间时间与部分学生交流，了解课堂上所讲的内容是否真正掌握，是否存在模糊不清的问题，或者认识上的偏差，甚至思考教师的讲解中有无漏洞或不足，自己是否还有更好的解题方法。课后及时小结可以在印象还清晰时起到及时总结经验教训，记下课中的灵感火花。
总之，在课堂教学中小结无处不在， 教师要切记小结不能由教师包办代替，要立足于引导，让学生参与，展现出获取知识的思维过程。事实上它对帮助学生理清知识结构，总结重点，理解难点，活跃思维具有重要作用。有利于学生加深理解概念、巩固解题方法、培养思维能力、提高学习效率。但教学中要量力而行，循序渐进，逐步培养学生勤于小结、善于回顾的好习惯。
（作者单位：江苏省吴江市平望第二中学）