论文部分内容阅读
【摘 要】研究目的：以钢筋混凝土单筋矩形截面梁的造价为目标函数，截面高度和配筋率作为自变量，以挠度作为控制条件，建立约束条件，可得非线性优化数学模型，并利用MATLAB优化工具箱通过编程进行求解。在考虑钢筋代换相关规定的基础上，给出矩形截面梁等强度代换、等挠度代换及等裂缝宽度代换的实用计算方法，并分析不同情况下起控制作用的因素，从而使钢筋代换计算过程简捷且结果可靠。
【关键词】MATLAB；钢筋混凝土；矩形截面梁；优化设计；代换计算
Reinforced concrete rectangle cuts surface beam of Optimize design and reinforcing bar change calculation
Ai Bo
(Xinyu Steel incorporated company Transportation Department Xinyu Jiangxi 338001)
【Abstract】Research purpose:With reinforced concrete single Jin rectangle cut the price of the building of surface beam for target function, cut surface highly and go together with Jin rate as from change to measure, use Nao degree as to control a condition, build up a stipulation condition, can get the line don'tbe excellent to turn mathematics model, and make use of MATLAB Optimize tool box to pass plait distance to carry on solving. In considering reinforcing bar generation the foundation that changes related provision, give the rectangle to cut surface beam etc. strength generation change, etc. Nao degree the generation change and etc. the generation of the crack width change of practical calculation method, and analyze there is the factor of control function under the different circumstance and make the reinforcing bar generation changed calculation process and result dependable thus.
【Key words】MATLAB; Reinforced concrete; Rectangle cuts surface beam; Optimize design; Change calculation
在进行单筋矩形截面梁更大截面设计过程中，对于截面尺寸及配筋均未知的情况下，工程设计人员一般先根据满足变形要求的高跨比限值凭经验假定截面高度，再按照，《混凝土结构设计规范》（简称《规范》）提供的受弯构件正截面承载力计算公式进行配筋设计。由于按经验得到的梁高取值没有考虑外荷载的影响，则在满足变形及抗弯承载力的情况下，可能出现当梁的跨度很大而荷载很小时，估算的梁截面成为少筋梁，而当梁的跨度很小而荷载很大时，估算的梁截面成为超筋梁，这样可能需反复调整截面尺寸和计算配筋量，其过程繁琐且不直观。考虑到梁高取值对挠度控制的影响显著，本文结合正截面抗弯承载力及挠度难处的计算公式，通过利用功能强大的MATLAB优化工具箱对单筋矩形截面梁进行优化设计。
在结构施工过程中，当供应的钢筋品种和规格与设计图纸要求不符时，则需进行钢筋代换。相关文献定性地分析了在钢筋代换计算时应考虑截面承载力、挠度及裂缝控制等方面的影响，但没给出具体的计算方法。工程人员通常以强度替代原则进行钢筋代换法，而实际上构件尚应满足挠度控制及裂缝宽度验算要求。由于影响因素较多，若按传统方法进行计算，显然过于繁琐。本文以矩形截面梁为例，给出了简便实用的计算方法，避免了代换过程中的盲目性，便于工程人员在处理该类问题时参考使用。
1.基于公式及分析
《规范》给出了承载能力极限状态计算时，单筋矩形截面正截面承载力计算公式为：
α1fcbx=fyAs (1)
M≤Mu=fyAs(h0-x2)(2)
式中各符号含义同《规范》。
1.1 梁截面尺寸已知的情况，联立式（1）和（2）得：
f2yα1bfcA2s-fyh0As+M≤0(3)
1.2 梁截面尺寸未知的情况。将ρ=As/bh0代入式(3),取h0/h=0.93,得:
f2y2α1fcρ2-fyρ+1.16Mbh2 (4)
2.优化数学模型的建立及求解
钢筋混凝土受弯构件的优化设计是多变量、多约束的非线性优化问题，本文从工程实用角度出发，考虑挠度验算要求的单筋矩形截面梁优化设计作如下简化：
（1）梁的截面宽度在实际工程中常按构造要求确定，不作为设计变量。
（2）不考虑受压区钢筋及斜截面承载力的影响，仅考虑按造设置架立筋及箍筋。
（3）裂缝宽度在此不作为约束条件考虑。
以单筋矩形截面梁的截面高度h和配筋率作为变量，以单位长度单筋矩形截面梁的造价为目标函数，根据正截面抗弯承载力、挠度验算及《规范》其它相关规定建立约束条件，并将相关参数用变量 表示，可得出单筋矩形截面梁的非线性优化设计的数学模型。
2.1 目标函数
minCz=bhCc+0.93ρbhCB (5)
式中：Cz——每延米梁的总造价；
Cc，CB——分别为混凝土、纵向受拉钢筋的单位造价。
2.2 约束条件
（1）正截面抗弯承载力计算
f2y2α1fcρ2-fyρ+1.16Mbh2 ≤0（6）
（2）挠度验算
f=KMkl20B≤flim（7）
（3）经济配筋率
0.6%≤ρ≤1.5%（8）
式中：Mk——按荷载将就的标准组合计算的弯矩；
flim——构件挠度限值；
l0——构件的计算跨度；
K——系数，对于承受均布荷载的简支梁和两端固支梁分别取5/48和1/16；其它符号规定见《规范》。
在以上各表达式中除自变量 h 和 以外。其它各符号均根据已知条件代入具体数值。
2.3 MATLAB函数及方法。
MATLAB6.1优化设计工具提供了fmincon 函数,利用MATLAB优化工具箱的fmincon函数编写程序的主要工作包括：
（1）创建一个非函数文件，如Data．M,用来输入已知参数；
（2）根据式（5）编写一个函数文件，如Object．M,表示目标函数；
（3）根据式（6）~（8），编写表示各种约束条件的函数文件Confun．M;
（4）编写主文件 Main．M,利用MATLAB优化工具箱的fmincon 函数，并调用上述的Data．M、Object．m、confun．m,从而得出优化结果。
3. 算例
某钢筋混凝土梁，两端搁置于砖墙上，计算长度l0=6m，采用C20混凝土，HRB335级纵向受力钢筋。经计算后的跨中弯矩设计值为M=126KN•m，试确定梁的截面尺寸及纵向配筋量。
解：假定M=1.25 Mk，Mk/(Mq+Mk)=0.8，取截面宽度 b=250mm。运用MATLAB进行优化设计后得：截面高度h=439mm，ρ=1.26%。其中，取混凝土单价Cc=600元/m3；钢筋材料单价CB=4000×7.8元/m3。常规设计及MATLAB优化设计的结果比较如表1所示。
表1 常规设计及MATLAB优化设计的结果比较
宽度b(mm) 高度h(mm) 配筋量(mm2)配筋率ρ造价C2(元)
常规设计 250 500 1052 0.9% 646
MATLAB优化设计 250 450 1230 1.26% 635
4.钢筋代换计算
4.1 钢筋代换计算原则
4.1.1 等强度代换。
所谓等强度代换，即代换后受力钢筋的承载力不低于原设计钢筋的相应值，应满足：
n2d22fy2≥n1d21fy1 (9)
式中：d1——原设计钢筋的直径；
n1——原设计钢筋的根数；
fy1——原设计钢筋折设计强度；
d2——代换后钢筋的直径；
n2——代换后钢筋的根数；
fy2——代换后钢筋的设计强度。
下标所含1、2分别代表原设计及代换后的相应指标值（下同）。在代换过程中，若钢筋面积增大，因钢筋排列行数增加而导致截面有效高度减小时，需验算抗弯承载力，根据Mu=fyAs(h0-fyAs/2fcb)得钢筋代换后应满足：
fy2As2(h02-fy2As22fcb)≥fy1As1(h01-fy1As12fcb)(10)
4.1.2 等挠度代换。
所谓等挠度代换，即代换后的短期刚度不小于原设计的相应值。按照《规范》 ，在荷载效应标准组合下，矫形截面梁的短期刚度由下式计算：
Bs=EsAsh201.15ψ+0.2+6αEρ(11)
式中各符号含义见《规范》。
由于《规范》提倡梁中纵向钢筋采用HRB400和HRB335，在梁的常用配筋率ρ∈［0.6%，1.6%］范围内，对于采用这2种纵筋，混凝土强度等级C20，C25，C30时，令Bs=βsEεI，经简化处理后的短期刚度系数βs为：
βΠs=25.40ηρ+0.198 (12)
βⅢ s=26.40ηρ+0.176 (13)
式中：βΠs——纵向受拉钢筋为HRB335级时梁的短期刚度系数；
βⅢ s——纵向受拉钢筋为HRB400级时梁的短期刚度系数；
η——混凝土强度等级系数。
C20时，η=1.00；C25时，η=0.93；C30时，η=0.87。
（1）用HRB335级HRB400级钢筋时，应满足βΠs≥βⅢ s，整理后得：
ρ2≥1.04ρ1-11.155η (14)
（2）用HRB400级HRB335级钢筋时，应满足βΠs≥βⅢ s，整理后得：
ρ2≥0.96ρ1+11.200η (15)
4.1.3 等裂缝宽度代换。
等裂缝宽度代换，指代换后的最大裂缝宽度能满足裂缝宽度验算要求。《规范》给出了矩形截面梁按荷载效应标准组合并考虑长期作用影响的最大裂缝宽度验算公式：
ωmax=2.1ψσskEs(1.9c+0.08deqρte)≤ωlim(16)
ψ=1.1-0.65ftkρteσsk(17)
式中各符号含义见《规范》。
4.2 应用分析
4.2.1 不同强度等级的钢筋代换
4.2.1.1 用HRB335级代换HRB400级钢筋时，根据等强度代换得As2大于As1，而按等挠度代换式（14）计算得到的ρ2略小于ρ1时也能满足挠度控制要求。同时由式（16)可以看出，在其它参数基本保持不变的情况下，ωmax主要受σsk及deq/ρte值的影响，当As增大时，σsk=Mk(0.87As/h0)/减小，deq/ρte=2bh/(nπdep)也减小，因此ωmax减小。出现以上现象的原因是低强度钢筋工作时的应力应变较高强度钢筋均减小，从而相应的变形及裂缝宽度减小。故该情况下只需按等强度代换计算即能满足要求。
4.2.1.2 用HRB400级HRB335级钢筋时，根据等强度代换得As2小于As1，而此时按等挠度代换式（15）计算得到的ρ2需要大于ρ1时才能满足挠度控制要求。故该情况下应按等挠度代换计算。
4.2.2 相同强度等级的钢筋代换
4.2.2.1 在钢筋强度等级相同的情况下，根据等强度及等挠度代换计算得到的钢筋面积都不变，若以小直径代换大直径钢筋，显然能满足裂缝宽度验算要求。故此时可按等强度代换计算。
4.2.2.2 经分析，若以大直径代换小直径钢筋，则需增加配筋面积才能满足裂缝宽度验算要求，此时可按公式直接计算出所需的钢筋数目，从而确定代换后的配筋量。
5.结论
（1）对于某些大截面尺寸受弯构件采用考虑正截面承载力及挠度控制的方法进行优化设计，可避免因盲目加大截面尺寸和配筋量而造成浪费，从而减少工程造价。
（2）运用功能强大的MATLAB软件能简便、快捷地实现单筋矩形截面梁正截面优化设计，从而得到截面高度及配筋率的初始值，再考虑梁的自重及尺寸模数要求稍作调整即可确定最终设计结果。
（3）根据本文方法，经过修改可进行其它形式结构的优化设计。
（4）当施工过程中需进行钢筋代换时，工程设计人员应慎重对待，以保证满足相关规定要求。对于矩形截面梁，在其常用配筋率范围内，根据本文给出的钢筋代换原则及具体计算方法，能简便地得到满足截面承载力、挠度控制及裂缝宽度难处要求的代换结果。
［文章编号］1006-7619（2008）11-26-672
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
【关键词】MATLAB；钢筋混凝土；矩形截面梁；优化设计；代换计算
Reinforced concrete rectangle cuts surface beam of Optimize design and reinforcing bar change calculation
Ai Bo
(Xinyu Steel incorporated company Transportation Department Xinyu Jiangxi 338001)
【Abstract】Research purpose:With reinforced concrete single Jin rectangle cut the price of the building of surface beam for target function, cut surface highly and go together with Jin rate as from change to measure, use Nao degree as to control a condition, build up a stipulation condition, can get the line don'tbe excellent to turn mathematics model, and make use of MATLAB Optimize tool box to pass plait distance to carry on solving. In considering reinforcing bar generation the foundation that changes related provision, give the rectangle to cut surface beam etc. strength generation change, etc. Nao degree the generation change and etc. the generation of the crack width change of practical calculation method, and analyze there is the factor of control function under the different circumstance and make the reinforcing bar generation changed calculation process and result dependable thus.
【Key words】MATLAB; Reinforced concrete; Rectangle cuts surface beam; Optimize design; Change calculation
在进行单筋矩形截面梁更大截面设计过程中，对于截面尺寸及配筋均未知的情况下，工程设计人员一般先根据满足变形要求的高跨比限值凭经验假定截面高度，再按照，《混凝土结构设计规范》（简称《规范》）提供的受弯构件正截面承载力计算公式进行配筋设计。由于按经验得到的梁高取值没有考虑外荷载的影响，则在满足变形及抗弯承载力的情况下，可能出现当梁的跨度很大而荷载很小时，估算的梁截面成为少筋梁，而当梁的跨度很小而荷载很大时，估算的梁截面成为超筋梁，这样可能需反复调整截面尺寸和计算配筋量，其过程繁琐且不直观。考虑到梁高取值对挠度控制的影响显著，本文结合正截面抗弯承载力及挠度难处的计算公式，通过利用功能强大的MATLAB优化工具箱对单筋矩形截面梁进行优化设计。
在结构施工过程中，当供应的钢筋品种和规格与设计图纸要求不符时，则需进行钢筋代换。相关文献定性地分析了在钢筋代换计算时应考虑截面承载力、挠度及裂缝控制等方面的影响，但没给出具体的计算方法。工程人员通常以强度替代原则进行钢筋代换法，而实际上构件尚应满足挠度控制及裂缝宽度验算要求。由于影响因素较多，若按传统方法进行计算，显然过于繁琐。本文以矩形截面梁为例，给出了简便实用的计算方法，避免了代换过程中的盲目性，便于工程人员在处理该类问题时参考使用。
1.基于公式及分析
《规范》给出了承载能力极限状态计算时，单筋矩形截面正截面承载力计算公式为：
α1fcbx=fyAs (1)
M≤Mu=fyAs(h0-x2)(2)
式中各符号含义同《规范》。
1.1 梁截面尺寸已知的情况，联立式（1）和（2）得：
f2yα1bfcA2s-fyh0As+M≤0(3)
1.2 梁截面尺寸未知的情况。将ρ=As/bh0代入式(3),取h0/h=0.93,得:
f2y2α1fcρ2-fyρ+1.16Mbh2 (4)
2.优化数学模型的建立及求解
钢筋混凝土受弯构件的优化设计是多变量、多约束的非线性优化问题，本文从工程实用角度出发，考虑挠度验算要求的单筋矩形截面梁优化设计作如下简化：
（1）梁的截面宽度在实际工程中常按构造要求确定，不作为设计变量。
（2）不考虑受压区钢筋及斜截面承载力的影响，仅考虑按造设置架立筋及箍筋。
（3）裂缝宽度在此不作为约束条件考虑。
以单筋矩形截面梁的截面高度h和配筋率作为变量，以单位长度单筋矩形截面梁的造价为目标函数，根据正截面抗弯承载力、挠度验算及《规范》其它相关规定建立约束条件，并将相关参数用变量 表示，可得出单筋矩形截面梁的非线性优化设计的数学模型。
2.1 目标函数
minCz=bhCc+0.93ρbhCB (5)
式中：Cz——每延米梁的总造价；
Cc，CB——分别为混凝土、纵向受拉钢筋的单位造价。
2.2 约束条件
（1）正截面抗弯承载力计算
f2y2α1fcρ2-fyρ+1.16Mbh2 ≤0（6）
（2）挠度验算
f=KMkl20B≤flim（7）
（3）经济配筋率
0.6%≤ρ≤1.5%（8）
式中：Mk——按荷载将就的标准组合计算的弯矩；
flim——构件挠度限值；
l0——构件的计算跨度；
K——系数，对于承受均布荷载的简支梁和两端固支梁分别取5/48和1/16；其它符号规定见《规范》。
在以上各表达式中除自变量 h 和 以外。其它各符号均根据已知条件代入具体数值。
2.3 MATLAB函数及方法。
MATLAB6.1优化设计工具提供了fmincon 函数,利用MATLAB优化工具箱的fmincon函数编写程序的主要工作包括：
（1）创建一个非函数文件，如Data．M,用来输入已知参数；
（2）根据式（5）编写一个函数文件，如Object．M,表示目标函数；
（3）根据式（6）~（8），编写表示各种约束条件的函数文件Confun．M;
（4）编写主文件 Main．M,利用MATLAB优化工具箱的fmincon 函数，并调用上述的Data．M、Object．m、confun．m,从而得出优化结果。
3. 算例
某钢筋混凝土梁，两端搁置于砖墙上，计算长度l0=6m，采用C20混凝土，HRB335级纵向受力钢筋。经计算后的跨中弯矩设计值为M=126KN•m，试确定梁的截面尺寸及纵向配筋量。
解：假定M=1.25 Mk，Mk/(Mq+Mk)=0.8，取截面宽度 b=250mm。运用MATLAB进行优化设计后得：截面高度h=439mm，ρ=1.26%。其中，取混凝土单价Cc=600元/m3；钢筋材料单价CB=4000×7.8元/m3。常规设计及MATLAB优化设计的结果比较如表1所示。
表1 常规设计及MATLAB优化设计的结果比较
宽度b(mm) 高度h(mm) 配筋量(mm2)配筋率ρ造价C2(元)
常规设计 250 500 1052 0.9% 646
MATLAB优化设计 250 450 1230 1.26% 635
4.钢筋代换计算
4.1 钢筋代换计算原则
4.1.1 等强度代换。
所谓等强度代换，即代换后受力钢筋的承载力不低于原设计钢筋的相应值，应满足：
n2d22fy2≥n1d21fy1 (9)
式中：d1——原设计钢筋的直径；
n1——原设计钢筋的根数；
fy1——原设计钢筋折设计强度；
d2——代换后钢筋的直径；
n2——代换后钢筋的根数；
fy2——代换后钢筋的设计强度。
下标所含1、2分别代表原设计及代换后的相应指标值（下同）。在代换过程中，若钢筋面积增大，因钢筋排列行数增加而导致截面有效高度减小时，需验算抗弯承载力，根据Mu=fyAs(h0-fyAs/2fcb)得钢筋代换后应满足：
fy2As2(h02-fy2As22fcb)≥fy1As1(h01-fy1As12fcb)(10)
4.1.2 等挠度代换。
所谓等挠度代换，即代换后的短期刚度不小于原设计的相应值。按照《规范》 ，在荷载效应标准组合下，矫形截面梁的短期刚度由下式计算：
Bs=EsAsh201.15ψ+0.2+6αEρ(11)
式中各符号含义见《规范》。
由于《规范》提倡梁中纵向钢筋采用HRB400和HRB335，在梁的常用配筋率ρ∈［0.6%，1.6%］范围内，对于采用这2种纵筋，混凝土强度等级C20，C25，C30时，令Bs=βsEεI，经简化处理后的短期刚度系数βs为：
βΠs=25.40ηρ+0.198 (12)
βⅢ s=26.40ηρ+0.176 (13)
式中：βΠs——纵向受拉钢筋为HRB335级时梁的短期刚度系数；
βⅢ s——纵向受拉钢筋为HRB400级时梁的短期刚度系数；
η——混凝土强度等级系数。
C20时，η=1.00；C25时，η=0.93；C30时，η=0.87。
（1）用HRB335级HRB400级钢筋时，应满足βΠs≥βⅢ s，整理后得：
ρ2≥1.04ρ1-11.155η (14)
（2）用HRB400级HRB335级钢筋时，应满足βΠs≥βⅢ s，整理后得：
ρ2≥0.96ρ1+11.200η (15)
4.1.3 等裂缝宽度代换。
等裂缝宽度代换，指代换后的最大裂缝宽度能满足裂缝宽度验算要求。《规范》给出了矩形截面梁按荷载效应标准组合并考虑长期作用影响的最大裂缝宽度验算公式：
ωmax=2.1ψσskEs(1.9c+0.08deqρte)≤ωlim(16)
ψ=1.1-0.65ftkρteσsk(17)
式中各符号含义见《规范》。
4.2 应用分析
4.2.1 不同强度等级的钢筋代换
4.2.1.1 用HRB335级代换HRB400级钢筋时，根据等强度代换得As2大于As1，而按等挠度代换式（14）计算得到的ρ2略小于ρ1时也能满足挠度控制要求。同时由式（16)可以看出，在其它参数基本保持不变的情况下，ωmax主要受σsk及deq/ρte值的影响，当As增大时，σsk=Mk(0.87As/h0)/减小，deq/ρte=2bh/(nπdep)也减小，因此ωmax减小。出现以上现象的原因是低强度钢筋工作时的应力应变较高强度钢筋均减小，从而相应的变形及裂缝宽度减小。故该情况下只需按等强度代换计算即能满足要求。
4.2.1.2 用HRB400级HRB335级钢筋时，根据等强度代换得As2小于As1，而此时按等挠度代换式（15）计算得到的ρ2需要大于ρ1时才能满足挠度控制要求。故该情况下应按等挠度代换计算。
4.2.2 相同强度等级的钢筋代换
4.2.2.1 在钢筋强度等级相同的情况下，根据等强度及等挠度代换计算得到的钢筋面积都不变，若以小直径代换大直径钢筋，显然能满足裂缝宽度验算要求。故此时可按等强度代换计算。
4.2.2.2 经分析，若以大直径代换小直径钢筋，则需增加配筋面积才能满足裂缝宽度验算要求，此时可按公式直接计算出所需的钢筋数目，从而确定代换后的配筋量。
5.结论
（1）对于某些大截面尺寸受弯构件采用考虑正截面承载力及挠度控制的方法进行优化设计，可避免因盲目加大截面尺寸和配筋量而造成浪费，从而减少工程造价。
（2）运用功能强大的MATLAB软件能简便、快捷地实现单筋矩形截面梁正截面优化设计，从而得到截面高度及配筋率的初始值，再考虑梁的自重及尺寸模数要求稍作调整即可确定最终设计结果。
（3）根据本文方法，经过修改可进行其它形式结构的优化设计。
（4）当施工过程中需进行钢筋代换时，工程设计人员应慎重对待，以保证满足相关规定要求。对于矩形截面梁，在其常用配筋率范围内，根据本文给出的钢筋代换原则及具体计算方法，能简便地得到满足截面承载力、挠度控制及裂缝宽度难处要求的代换结果。
［文章编号］1006-7619（2008）11-26-672
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。