摘要：幂级数是一类非常重要的无穷项级数，而幂级数求和函数是无穷级数问题中的重点和难点， 也是教师教学的重点和难点，本文针对求和函数常见的类型和解法进行归纳总结。
　　关键词：幂级数；和函数；求导；求导
　　幂级数和函数的求法是高等数学教学中的难点和重点，也是学员很难把握的要点，虽然它的解题依据是逐项求导和逐项积分，但是在教师教学实践的过程中发现：有部分学员对幂级数求和存在一定的困难。现在我们对这部分内容进行一定的总结和归纳。
　　一、求幂级数和函数的一般步骤
　　（1）求幂级数的收敛域，设其和函数为 ；
　　（2）对等式 进行逐项求积（求导）运算；
　　二、相关定理
　　如果 ，其中 是幂级数 的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径
　　例1 求幂级数 的和函数
　　（1）先求收敛域
　　有 ，得到收敛半径
　　在端点 处，幂级数成为 ，此级数是发散的；
　　在端点 处，幂级数成为 ，此级数是发散的；
　　因此收敛域是
　　（2）设所求幂级数 的和函数是 ，即
　　则
　　故
　　例2 求幂级数 的和函数
　　解 （1）先求收敛域
　　有 ，得到收敛半径
　　在端点 处，幂级数成为 ，有莱布尼兹定理知：此级数是收敛的；
　　在端点 处，幂级数成为 ，为调和级数，所以发散；
　　因此收敛域是 .
　　（2）设所求幂级数 的和函数是 ，即
　　则
　　逐项求导，
　　对上式进行积分
　　当 时，有
　　当 时，
　　故
　　例3 求幂级数 的和函数
　　解 （1）先求收敛域
　　有 ，得到收敛半径 ，所以此幂级数在整个实数域上都收敛。
　　（2）设所求幂级数 的和函数是 ，即
　　而
　　总结：以上例题可归结为以下几种类型：
　　1.形如 的冪级数，其中 为 的多项式，想办法简化，从而利用公式 ，然后逐项积分再逐项求导，从而得到原级数的和函数，此公式可以推广
　　2. 形如 幂级数，其中 为 的多项式，此列题目的关键是用求导的方法去掉分母中的多项式，然后利用1中的公式，然后再逐项求积分
　　3. 形如 幂级数，其中 为 的多项式，此题关键利用
　　若形如 ，则利用 的变形，即
　　参考文献：
　　[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2012.
　　[2]彭辉.高等数学辅导[M].山东科学技术出版社，2012.