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摘 要：对于股票价格在布朗运动作用下的欧式看涨期权定价，针对其微分方程解和数值解的复杂性，研究了期权价格解析解和蒙特卡罗法解的关系，对它们之间的关系做了进一步合理的改进，最后通过实例研究给出证明，从而为各类新型的期权定价问题提供一定的理论支持。
关键词：布朗运动 期权定价 蒙特卡罗法
一、引言
期权定价是人们为了规避市场风险而创造出来一种金融衍生工具。理论跟实践均表明，只要投资者合理地的选择其手中的证券和相应衍生物的比例，就可以获得無风险收益。这种组合的确有赖于对衍生证券的定价。20世纪70年代初期，Black和Scholes通过研究股票价格的变化规律。运用套期保值的思想，成功推出了在无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程（Black-Scholes期权定价公式）。从而为期权精确合理的定价提供了有利的保障，但是该定价模型中的一些不确定因素是很难事先确定的，为了解决期权定价中不确定因素产生的影响，有学者把蒙特卡罗模拟方法应用到期权定价中，该方法可以有效地通过统计方法消除不确定性对价值计算的影响。
二、蒙特卡罗法在期权定价中的应用
1.模拟的基本思路。蒙特卡罗模拟要用到风险中性定价原理，其基本思路是：尽可能的模拟风险中性事件中标的资产价格的多种运动途径，计算每种路径下的期权回报均值，再贴现就可得到期权价值。
以欧式期权（即期权价值只与两个状态变量：资产价格S和时间t有关，且利率为常数）为例，以说明蒙特卡罗模拟的基本方法：1、从初始时刻的标的资产的价格开始，直到到期T，为S取在风险中性事件跨越整个有效期的一条随机路径，这就给出了标的资产价格路径的一个实现；2、计算出这条路径下期权的回报；3、重复（1），（2），得到许多样本结果，即风险中性事件中的期权回报值；4、计算这些样本回报的均值，得到风险中性事件中预期的回报值；用无风险利率贴现，得到这个期权的估计价值。
2.模型简述。根据Black-Scholes模型，在风险中性事件中，标的资产价格变量遵循几何布朗运动，我们用模拟的方法得到下列方程的解：
式中：u为股票价格的预期收益率，为股票价格的波动率，为标准布朗运动，方程的解析解为：
3.欧式期权的蒙特卡罗模拟。用蒙特卡罗方法模拟欧式期权的价格，在风险中性定价原理下，假设股票服从布朗运动：
到期日。欧式期权定价的现金流为
假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格S（0）=50元，执行价格为E=52元，无风险利率r=0.1，股票波动的标准差，期权的到期时间T=5/12。
（1）用蒙特卡罗法确定欧式期权的价格，计算模型的解析解，研究两者之间的关系。
由图1可知随着蒙特卡罗法模拟次数的增加蒙特卡罗法确定的期权价格会逐渐的趋向模型的解析解，这也说明蒙特卡罗法确定欧式期权价格的有效性。
4.蒙特卡罗法的改进——对偶变量技术。对偶变量技术在金融衍生品定价分析中应用最广泛。它是指在一次模拟运算中，计算两个期权价值：用通常的方法计算得到，通过改变计算中所有的抽样样本的符号重新得到，这条模拟路径得到的期权价值是和的平均值（+）/2，期权的最终估计价值则是有限个的均值。通过这种方法，当一次模拟中的一个值高于真实值时，那么另一个值必然偏低，反之亦然。如果是的标准差，M是模拟的运算次数，那么估计值的标准差就是/。其值通常远远小于运算2M次得到的标准差。从估计效率来分析，Boyle等根据方差运算性质并考虑到模拟速度得出，只要 cov（，）<0。即和之间有负相关关系，就能保证对偶变量技术的有效性。进而得出对偶变量技术对许多衍生证券的价格模拟有明显的改进效果，效果如下图所示。
由图2 可知改进后的期权价格发生了显著的变化，改进之后的期权价格与解析解更加的接近，价格更加的接近实际的价格，由此可知用对偶变量法对蒙特卡罗法的改进是有效的且合理的。
三、结语
本文针对蒙特卡罗法对欧式期权的定价问题，结合简单易学且操作方便的matlab语言，形象的给出了蒙特卡罗法确定的股票价格与解析解给出的股票价格之间的关系，并就他们之间的关系做了改进，改进之后发现对偶法在确定期权价格方面更加的准确有效，这为以后解决多种新型期权的定价问题提供了良好的解决思路，对金融市场中的衍生品定价问题具有一定的实际意义和参考价值。
参考文献：
[1]张应应，代春兰.Monte Carl方法的精度分析及其在算数平均亚洲期权定价中的应用[J].工程数学学报，2015，32（2）：185-196.
[2]陈万义.幂型支付的欧式期权定价公式[J].数学的实践与认识，2015，3（6）：52-56.
[3]袁国军，肖庆宪.基于近似对冲跳跃风险的美式看跌期权定价及数值解法研究[J].运筹与管理，2014，23（3）：226-233.
[4]梁义娟，徐承龙.两因子期权定价模型的条件蒙特卡罗加速方法[J].同济大学学报：自然科学版，2014，42（4）：645-650.
[5]段新生.基于MATLAB的股票股价模型设计[J]，中国管理信息化，2008，（11）4：39-41.
关键词：布朗运动 期权定价 蒙特卡罗法
一、引言
期权定价是人们为了规避市场风险而创造出来一种金融衍生工具。理论跟实践均表明，只要投资者合理地的选择其手中的证券和相应衍生物的比例，就可以获得無风险收益。这种组合的确有赖于对衍生证券的定价。20世纪70年代初期，Black和Scholes通过研究股票价格的变化规律。运用套期保值的思想，成功推出了在无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程（Black-Scholes期权定价公式）。从而为期权精确合理的定价提供了有利的保障，但是该定价模型中的一些不确定因素是很难事先确定的，为了解决期权定价中不确定因素产生的影响，有学者把蒙特卡罗模拟方法应用到期权定价中，该方法可以有效地通过统计方法消除不确定性对价值计算的影响。
二、蒙特卡罗法在期权定价中的应用
1.模拟的基本思路。蒙特卡罗模拟要用到风险中性定价原理，其基本思路是：尽可能的模拟风险中性事件中标的资产价格的多种运动途径，计算每种路径下的期权回报均值，再贴现就可得到期权价值。
以欧式期权（即期权价值只与两个状态变量：资产价格S和时间t有关，且利率为常数）为例，以说明蒙特卡罗模拟的基本方法：1、从初始时刻的标的资产的价格开始，直到到期T，为S取在风险中性事件跨越整个有效期的一条随机路径，这就给出了标的资产价格路径的一个实现；2、计算出这条路径下期权的回报；3、重复（1），（2），得到许多样本结果，即风险中性事件中的期权回报值；4、计算这些样本回报的均值，得到风险中性事件中预期的回报值；用无风险利率贴现，得到这个期权的估计价值。
2.模型简述。根据Black-Scholes模型，在风险中性事件中，标的资产价格变量遵循几何布朗运动，我们用模拟的方法得到下列方程的解：
式中：u为股票价格的预期收益率，为股票价格的波动率，为标准布朗运动，方程的解析解为：
3.欧式期权的蒙特卡罗模拟。用蒙特卡罗方法模拟欧式期权的价格，在风险中性定价原理下，假设股票服从布朗运动：
到期日。欧式期权定价的现金流为
假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格S（0）=50元，执行价格为E=52元，无风险利率r=0.1，股票波动的标准差，期权的到期时间T=5/12。
（1）用蒙特卡罗法确定欧式期权的价格，计算模型的解析解，研究两者之间的关系。
由图1可知随着蒙特卡罗法模拟次数的增加蒙特卡罗法确定的期权价格会逐渐的趋向模型的解析解，这也说明蒙特卡罗法确定欧式期权价格的有效性。
4.蒙特卡罗法的改进——对偶变量技术。对偶变量技术在金融衍生品定价分析中应用最广泛。它是指在一次模拟运算中，计算两个期权价值：用通常的方法计算得到，通过改变计算中所有的抽样样本的符号重新得到，这条模拟路径得到的期权价值是和的平均值（+）/2，期权的最终估计价值则是有限个的均值。通过这种方法，当一次模拟中的一个值高于真实值时，那么另一个值必然偏低，反之亦然。如果是的标准差，M是模拟的运算次数，那么估计值的标准差就是/。其值通常远远小于运算2M次得到的标准差。从估计效率来分析，Boyle等根据方差运算性质并考虑到模拟速度得出，只要 cov（，）<0。即和之间有负相关关系，就能保证对偶变量技术的有效性。进而得出对偶变量技术对许多衍生证券的价格模拟有明显的改进效果，效果如下图所示。
由图2 可知改进后的期权价格发生了显著的变化，改进之后的期权价格与解析解更加的接近，价格更加的接近实际的价格，由此可知用对偶变量法对蒙特卡罗法的改进是有效的且合理的。
三、结语
本文针对蒙特卡罗法对欧式期权的定价问题，结合简单易学且操作方便的matlab语言，形象的给出了蒙特卡罗法确定的股票价格与解析解给出的股票价格之间的关系，并就他们之间的关系做了改进，改进之后发现对偶法在确定期权价格方面更加的准确有效，这为以后解决多种新型期权的定价问题提供了良好的解决思路，对金融市场中的衍生品定价问题具有一定的实际意义和参考价值。
参考文献：
[1]张应应，代春兰.Monte Carl方法的精度分析及其在算数平均亚洲期权定价中的应用[J].工程数学学报，2015，32（2）：185-196.
[2]陈万义.幂型支付的欧式期权定价公式[J].数学的实践与认识，2015，3（6）：52-56.
[3]袁国军，肖庆宪.基于近似对冲跳跃风险的美式看跌期权定价及数值解法研究[J].运筹与管理，2014，23（3）：226-233.
[4]梁义娟，徐承龙.两因子期权定价模型的条件蒙特卡罗加速方法[J].同济大学学报：自然科学版，2014，42（4）：645-650.
[5]段新生.基于MATLAB的股票股价模型设计[J]，中国管理信息化，2008，（11）4：39-41.