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圆作为初中数学内容的重要组成部分，加上自身具有的特殊性质，可帮助学生解决初中数学问题.
圆是特殊的平面曲线图形，其特殊性质是初中数学的重要内容.在初中数学解题中，常常遇到一些用常规方法无法解决的问题，看似与圆无关.但是若能构造适当的圆形加以辅助，能够使复杂问题简单化，抽象问题形象化，进而快速解决问题.简而言之，辅助圆在初中数学解题中起着“搭桥铺路”的作用.
一、构辅助圆求直线方程
直线方程是初中数学内容的重要组成部分，由平面直角坐标系中的二元一次方程所表示的图形.相对而言，初中的直线方程求解较简单，没有高中那么复杂.但学生采用常规的解题方法往往较困难，且浪费时间，挫伤学生解题积极性.因此，通过构造辅助圆，能够将复杂问题简单化.
例1已知过圆外一点P（2，4）作一圆C：（x-1）2+（y-1）2=1的两条切线为PA、PB，其中A、B为切点，求AB的直线方程.
图1
解析：本题若从切点坐标着手，然后求直线方程，其计算量相对较大，学生也难以解答.因此，通过构辅助圆利用切线，使两相交的圆方程相减，进而得到直线AB的方程式.如图1所示.以P点为圆心，以PA长为半径做圆P与圆C相交于A、B点.由于切线PA垂直于CA，且PC=10，可得：
PA=PC2-AC2，圆P：（x-2）2+（y-4）2=9 （1）
又因为：A、B两点均在圆C：（x-1）2+（y-1）2=1上 （2）
所以：（1）-（2）可得到AB的直线方程为x+3y-5=0.
二、构辅助圆求线段长度
线段长度在初中数学解题中也较为常见，主要利用共同端点的几条线段相等，以该端点为圆心，并以等线段的长作为半径，进而构造出辅助圆，最后利用圆形的性质求解.
图2
例2如图2所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=AC=AD=5，BC=19，求取BD的长度.
解析：以A为圆心做圆A，A到B、C、D三点的距离相等，即圆A的半径，且B、C、D三点均在圆A上.延长BA到E点，连接ED.因为：AB∥CD，圆周角所对应的弧相等，所以：ED与BC的弧长相等，可得到ED=BC=
19.由下图可得：EB为圆A的直径，因此：∠EDB=90°，BE=2AB=10，可得：BD=
BE2-DE2.=102-（19）2=9.
三、构辅助圆求三角形度数
求取三角形度数也是初中生在解决数学问题时遇到的问题，常以公共定点作为一个顶点，进而做三角形的外接圆，并且使等角与辅助圆中有关角之间建立起联系，进而有效解决问题.
图3
例3图3所示，已知△ABC，AB=AC，且∠ABC的平分线交于AC于D点，且BD+AD=BC，求取∠A的度数.
解析：因为BD是∠ABC的平分线，∠ABD=∠DBC.以BD为直径做辅助圆，并交于BC于E点，连接DE.根据圆周角所对应的弧相等，可得：AD与DE的弧长相等.由于四边形ABED是一个内接圆四边形，因此，∠ABC、∠EDC、∠C三个角度都相等，即：2∠C=∠DEB.因为BC=BD+AD= BE+EC，且AD=DE=EC，最终：BE=BD.因为∠DEB=∠BDE=2∠C.在△BDE中，∠DEB+∠BDE+∠DBE=180°，即：4∠C+12∠C=180°，所以：∠C=40°，即∠ABC=∠C=40°.在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=180°，所以：∠A=100°
四、构辅助圆证三角形相似性
三角形内容在初中数学内容中占有较大比重，是学习其他平面图形的基础.证明两个三角形相似性是常见的问题，一些简单的三角形证明学生较容易证出，但对于复杂的三角形相似性，学生若采用常规方法较难证明.因此，可通过构造辅助圆，利用圆周角与圆心角之间的关系，进而为三角形相似性证明提供条件，利于学生快速解答.
例4图4所示，已知在△ABC中，AB=AC=BC，且AD=AB=AC=BC，AH⊥CD，PC⊥BC.证明△ABC的面积为
34
AP·BD.
解析：以△ABC中一点A为圆心，以AB为半径做圆A，则
图4
B、C、D三点均在圆A上.且∠BDC=
12∠BAC=30°.又因为：∠ACP=∠BCP-∠ACB=30°，所以：∠PCA=∠CDB.
因为：∠CBD=12∠CAD=∠PAC.所以：△BDC∽△PCA，可得：BC∶AP=BD∶AC.
因为：BC= AC，所以：BC2=AP·BD，△ABC的面积为：
34BC2=34AP·BD.
五、构辅助圆确定点个数
求取点的个数对于初中生而言并不陌生，但也是难点.大多数学生碰到求点个数问题时，往往不知道如何下手，失去学习数学信心.尤其初中生由小学阶段刚过渡，思维能力还不够成熟，需要教师在日常教学中加以引导，授予解题方法.
图5
例5图5所示，已知线段AC上有一点B，且AB=BC.过点C的直线L与AC成60°角，在直线L上取一点P，使∠APB为30°，那满足条件P的点有多少个？
解析：以AB为边作△ABO，使AB=AO=BO.以O点为圆心、AB为半径作圆O，并且交于直线L为P1、P2.因为：∠AOB=∠ACP1=∠AP1C=60°，所以：∠AP1B=∠AP2B =30° 因此：满足P的点有2个.
圆作为基本的平面图形，在初中数学解题中有重要意义.通过构造辅助圆，可将复杂问题简单化，提高做题效率，同时可调动学生学习热情，增强解题信心，进而提高学习效率.
圆是特殊的平面曲线图形，其特殊性质是初中数学的重要内容.在初中数学解题中，常常遇到一些用常规方法无法解决的问题，看似与圆无关.但是若能构造适当的圆形加以辅助，能够使复杂问题简单化，抽象问题形象化，进而快速解决问题.简而言之，辅助圆在初中数学解题中起着“搭桥铺路”的作用.
一、构辅助圆求直线方程
直线方程是初中数学内容的重要组成部分，由平面直角坐标系中的二元一次方程所表示的图形.相对而言，初中的直线方程求解较简单，没有高中那么复杂.但学生采用常规的解题方法往往较困难，且浪费时间，挫伤学生解题积极性.因此，通过构造辅助圆，能够将复杂问题简单化.
例1已知过圆外一点P（2，4）作一圆C：（x-1）2+（y-1）2=1的两条切线为PA、PB，其中A、B为切点，求AB的直线方程.
图1
解析：本题若从切点坐标着手，然后求直线方程，其计算量相对较大，学生也难以解答.因此，通过构辅助圆利用切线，使两相交的圆方程相减，进而得到直线AB的方程式.如图1所示.以P点为圆心，以PA长为半径做圆P与圆C相交于A、B点.由于切线PA垂直于CA，且PC=10，可得：
PA=PC2-AC2，圆P：（x-2）2+（y-4）2=9 （1）
又因为：A、B两点均在圆C：（x-1）2+（y-1）2=1上 （2）
所以：（1）-（2）可得到AB的直线方程为x+3y-5=0.
二、构辅助圆求线段长度
线段长度在初中数学解题中也较为常见，主要利用共同端点的几条线段相等，以该端点为圆心，并以等线段的长作为半径，进而构造出辅助圆，最后利用圆形的性质求解.
图2
例2如图2所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=AC=AD=5，BC=19，求取BD的长度.
解析：以A为圆心做圆A，A到B、C、D三点的距离相等，即圆A的半径，且B、C、D三点均在圆A上.延长BA到E点，连接ED.因为：AB∥CD，圆周角所对应的弧相等，所以：ED与BC的弧长相等，可得到ED=BC=
19.由下图可得：EB为圆A的直径，因此：∠EDB=90°，BE=2AB=10，可得：BD=
BE2-DE2.=102-（19）2=9.
三、构辅助圆求三角形度数
求取三角形度数也是初中生在解决数学问题时遇到的问题，常以公共定点作为一个顶点，进而做三角形的外接圆，并且使等角与辅助圆中有关角之间建立起联系，进而有效解决问题.
图3
例3图3所示，已知△ABC，AB=AC，且∠ABC的平分线交于AC于D点，且BD+AD=BC，求取∠A的度数.
解析：因为BD是∠ABC的平分线，∠ABD=∠DBC.以BD为直径做辅助圆，并交于BC于E点，连接DE.根据圆周角所对应的弧相等，可得：AD与DE的弧长相等.由于四边形ABED是一个内接圆四边形，因此，∠ABC、∠EDC、∠C三个角度都相等，即：2∠C=∠DEB.因为BC=BD+AD= BE+EC，且AD=DE=EC，最终：BE=BD.因为∠DEB=∠BDE=2∠C.在△BDE中，∠DEB+∠BDE+∠DBE=180°，即：4∠C+12∠C=180°，所以：∠C=40°，即∠ABC=∠C=40°.在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=180°，所以：∠A=100°
四、构辅助圆证三角形相似性
三角形内容在初中数学内容中占有较大比重，是学习其他平面图形的基础.证明两个三角形相似性是常见的问题，一些简单的三角形证明学生较容易证出，但对于复杂的三角形相似性，学生若采用常规方法较难证明.因此，可通过构造辅助圆，利用圆周角与圆心角之间的关系，进而为三角形相似性证明提供条件，利于学生快速解答.
例4图4所示，已知在△ABC中，AB=AC=BC，且AD=AB=AC=BC，AH⊥CD，PC⊥BC.证明△ABC的面积为
34
AP·BD.
解析：以△ABC中一点A为圆心，以AB为半径做圆A，则
图4
B、C、D三点均在圆A上.且∠BDC=
12∠BAC=30°.又因为：∠ACP=∠BCP-∠ACB=30°，所以：∠PCA=∠CDB.
因为：∠CBD=12∠CAD=∠PAC.所以：△BDC∽△PCA，可得：BC∶AP=BD∶AC.
因为：BC= AC，所以：BC2=AP·BD，△ABC的面积为：
34BC2=34AP·BD.
五、构辅助圆确定点个数
求取点的个数对于初中生而言并不陌生，但也是难点.大多数学生碰到求点个数问题时，往往不知道如何下手，失去学习数学信心.尤其初中生由小学阶段刚过渡，思维能力还不够成熟，需要教师在日常教学中加以引导，授予解题方法.
图5
例5图5所示，已知线段AC上有一点B，且AB=BC.过点C的直线L与AC成60°角，在直线L上取一点P，使∠APB为30°，那满足条件P的点有多少个？
解析：以AB为边作△ABO，使AB=AO=BO.以O点为圆心、AB为半径作圆O，并且交于直线L为P1、P2.因为：∠AOB=∠ACP1=∠AP1C=60°，所以：∠AP1B=∠AP2B =30° 因此：满足P的点有2个.
圆作为基本的平面图形，在初中数学解题中有重要意义.通过构造辅助圆，可将复杂问题简单化，提高做题效率，同时可调动学生学习热情，增强解题信心，进而提高学习效率.