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[摘 要] 随着现代信息技术在数学教学中的不断深入，借助相关的数学软件让学生更加直观、生动地进行数学探索活动，积累更多的数学活动经验已经成为新一轮数学课程改革的趋势。本文设计了两则在“几何画板”中学习的小学第二学段“图形与变换”的活动课案例，并结合数学课程标准理念分析了在计算机环境中让学生探索美妙变换的意义和注意点，期望能对计算机学习环境中的数学教学改革具有一定的借鉴作用。
[关键词] 计算机；变换；几何；小学生
[中图分类号] G623.58 [文献标识码] A [文章编号] 1005-4634（2013）01-0110-02
目前，计算机正在对几何课程产生越来越多的影响，它不仅可以有效提高几何教学的效率，深化对几何的猜想、讨论、证明，而且可以为学生学习几何概念和结构创造环境、提供工具。让学生在计算机环境中探索生活中美妙的变换，更有利于学生形成自己的猜想、验证猜想，并在验证时“看到”自己的猜想，建立起“所想的”与“所见的”之间的联系，这对大部分学生来说，他们的头脑中都会发出“咔嗒”一声，使他们知道“哦，我得到了”。
本文以计算机中的“几何画板”软件为探索工具，以生活中美妙的变换为背景，尝试让学生在计算机环境中探索和创作自己喜欢的变换，使学生更好地理解什么是平移、什么是对称、什么是旋转，以及这些变换对生活的意义。
1 小学第二学段“图形与变换”的活动课 设计
案例1：《雪花人》——雪花片
设计意图：把文学作品当作日常生活中美妙变换的一个例子，让学生利用计算机程序制作出自己创作的雪花片，其中要求体现和应用提到过的相关数学术语，如平移、旋转、对称。
教学目标：学生能应用他们学到的数学术语，如平移、旋转和对称，利用几何画板创作出美妙的雪花片。
教具、学具：计算机（给每位学生配备一台装有几何画板软件的计算机）；空白纸（每位学生一张）；马丁的《雪花人》。
教学过程：（1）请学生快速回顾已经知道的和前面学过的相关知识。通过回答问题，激发学生想象出日常生活中用到变换概念的事物。（2）向全班同学讲《雪花人》的故事，并呈现故事中的雪花照片和故事情节所需的辅助信息。（3）让学生讨论故事中的雪花片，使学生积极地投入到变换的探索中，并激发学生自己创作雪花片的欲望。（4）让学生在纸上构思自己的雪花片。（5）让学生解释他们将在几何画板上探索、创作的雪花片，并简单说明使用的程序，同时提醒学生运用平移、旋转和对称这些工具。（6）学生在几何画板上创作自己的雪花片并写下雪花片建构的过程，使学生更加熟悉与变换有关的数学语言。（7）全班交流。
学习评价：要求每个学生至少创作出5种不同的雪花片，并且用文档描述每一种雪花片，包括用数学术语描述是怎样得到最后结果的。然后每个学生跟全班同学分享自己的作品，使大家看到很多自己没有想到的创意。
案例2：国旗——旗帜
这节课适合在“图形与变换”部分的最后进行，要求学生运用变换的性质等知识进行创作。
设计意图：将“图形与变换”和日常生活中的事物联系起来，让学生积极应用“图形与变换”中学到的知识创作能反映变换概念和思想的作品。
教学目标：（1）学生能应用所学知识创作出独一无二的旗帜，旗帜中要求包含已经学习过的各种变换。（2）学生能将创作的旗帜直观化（直接在纸上制作出来或通过计算机实验后再在纸上制作）。
教具、学具：世界各国国旗的照片；空白纸（每位学生一张，让学生设计旗帜的草图）；单元教学过程中讨论过的图案；装有几何画板软件的计算机（每位学生一台）；彩色美术纸；蜡笔；胶水等（学生在制作旗帜时需要用什么就可以用什么）。
教学过程：（1）让学生看3～4组国旗，并要求他们写下每面国旗中用到的几何形状、颜色以及各国国旗的共同点和不同点。学生应该能识别出国旗中的各种图案。（2）列出清单之后，把全班同学聚在一起，相互交流各自的发现和想法。把学生讨论出来的想法写在黑板上，让学生在创作自己的旗帜时可以参考。（3）学生各自创作自己的旗帜。有些学生在纸上绘制旗帜之前需要在几何画板上做实验，以彻底检验他们头脑中的图片。学生应该关注他们用什么形状，制作成什么图案，并用数学术语描述他们是怎样创作他们选择的图案的。这些旗帜应该是独一无二的，都是学生的代表作。（4）全班交流。
学习评价：每面旗帜都必须包括至少2种变换。在每面旗帜的背后写上运用的变换类型、图形的形状和颜色。学生也应该写上他们从设计和编排过程中学到的知识或积累的经验，以及这些变换在日常生活中的应用途径。
2 案例反思
《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程；现代信息技术应作为学生小学数学和解决问题的有力工具，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去；同时要求学生在“图形与几何”的学习中能“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”；“描述图形的运动和变化”；“依据语言的描述画出图形”，积累丰富的几何活动经验。基于此，可以从以下三个方面对上述两则案例进行反思。
2.1 选取“儿童文学、雪花片、旗帜”为探索变 换的主要素材
教学“图形与变换”时，通常会选用蜻蜓的翅膀、窗花、脸谱等作为探索变换的素材，很少将文学作品、国旗等融入变换的教学中。事实上，把文学作品当作教学工具不仅可以抓住学生的注意力，使他们自觉地参与到各种探究活动中，而且有助于拓展学生的数学概念[1]。
案例1 以马丁的《雪花人》为背景，在故事中向学生介绍一朵朵独一无二的雪花片。从威尔逊班提拍摄的雪花照片中学生会发现，每一片雪花几乎都是六角形的，是由六个尖角构成的一个对称的完美造型，这使学生为这种精致的晶体深深着迷，自己动手创作的欲望油然而生。 案例2以世界各国的国旗为背景，引导学生讨论各国国旗中不同颜色排列所成的图案、识别出各种几何形状、比较出这些几何形状的大小、探究其中的各种变换，激发学生自己创作旗帜的兴趣以及在计算机里验证自己创意的欲望。同时，通过讨论各国国旗的共同点和不同点、本国元素的表达方式，可以使学生建立起数学与社会学科之间的联系。
2.2 创设计算机环境，让学生“看见”自己的创意
计算机环境可以通过让学生操作几何对象创作出美妙的图案，“看见”自己的创意，积累操作计算机的经验。这对于喜欢直观学习的学生而言，他们可以“看着”图案变换，发出“原来如此”的感叹；对于喜欢通过听觉来学习的学生而言，计算机可以为他们提供一个讨论的基础，一起反思看到的东西。
案例1里，学生可以通过几何画板中画图、变换等功能轻松愉快地创作自己喜欢的雪花片，把心中的构思、纸上的草图变成计算机处理下的作品，让计算机屏幕上布满美妙的雪花片，看到自己的创意。同时，学生可以通过改变操作步骤，感受雪花片动态演变带来的乐趣。
案例2的计算机环境是学生动手制作旗帜的实验场地，他们可以通过在几何画板中选择需要的基本图形，进行颜色、大小、位置的调试，不断检验计算机形成的图案是否符合自己最初的想法。同时，学生在看着计算机“成像”的过程中可能会不断产生新的想法，使创作出来的旗帜更加别致、更富意味。
2.3 让学生在动手操作中积累丰富的几何活动经验
平移、对称、旋转不仅是制作雪花片和旗帜的最基本知识与经验，而且是学生今后用图形进行艺术创作，特别是进行镶嵌设计的必要基础。镶嵌就是在平面上平移、对称、旋转几何对象，使之没有空隙和重叠，它是“装饰艺术中常见的图案，我们的生活世界中普遍存在”[2]。
案例1主要让学生熟悉计算机操作，熟悉几何画板软件中需要应用的各种功能，特别是基本图形的构建，平移、对称、旋转这三种几何变换的操作；同时，学生在计算机的操作过程中会不断地产生猜想，通过操作步骤的设计与调整验证自己的猜想，使看到的图案越来越美妙。另外，让学生先说说制作雪花片的步骤，再在计算机环境中边创作边记录，最后全班交流创作过程，这样不仅可以使学生在反复地说、听、看中进一步理解对称与旋转的概念，而且可以让学生积累计算机语言与数学语言之间转换的经验，发展算法思维。
案例2的动手操作不仅可以使学生进一步熟悉计算机的操作，而且可以把计算机中模拟的操作应用到实际的制作过程中，更好地感受美妙图案是怎样形成的，各种变换是如何实现在不变化几何对象本身的情况下使其在空间里运动的。在旗帜的制作过程中，学生除了将图形进行翻转、滑行和转动，还要进行图形的镶嵌与覆盖，这些都有助于学生更好地认识图形的性质和图形之间的关系，从而更好地探索不规则图形的面积。
参考文献
[1]Moore S D.Bintz W P.Teaching geometry and measurement through literature[J].Mathematics Teaching in the Middle School，2002，8（2）：78-84.
[2]Pumfrey E，Beardon T.Art and mathematics-mutual enrichment[J].Micromath，2002，18（2）：21-26.
[关键词] 计算机；变换；几何；小学生
[中图分类号] G623.58 [文献标识码] A [文章编号] 1005-4634（2013）01-0110-02
目前，计算机正在对几何课程产生越来越多的影响，它不仅可以有效提高几何教学的效率，深化对几何的猜想、讨论、证明，而且可以为学生学习几何概念和结构创造环境、提供工具。让学生在计算机环境中探索生活中美妙的变换，更有利于学生形成自己的猜想、验证猜想，并在验证时“看到”自己的猜想，建立起“所想的”与“所见的”之间的联系，这对大部分学生来说，他们的头脑中都会发出“咔嗒”一声，使他们知道“哦，我得到了”。
本文以计算机中的“几何画板”软件为探索工具，以生活中美妙的变换为背景，尝试让学生在计算机环境中探索和创作自己喜欢的变换，使学生更好地理解什么是平移、什么是对称、什么是旋转，以及这些变换对生活的意义。
1 小学第二学段“图形与变换”的活动课 设计
案例1：《雪花人》——雪花片
设计意图：把文学作品当作日常生活中美妙变换的一个例子，让学生利用计算机程序制作出自己创作的雪花片，其中要求体现和应用提到过的相关数学术语，如平移、旋转、对称。
教学目标：学生能应用他们学到的数学术语，如平移、旋转和对称，利用几何画板创作出美妙的雪花片。
教具、学具：计算机（给每位学生配备一台装有几何画板软件的计算机）；空白纸（每位学生一张）；马丁的《雪花人》。
教学过程：（1）请学生快速回顾已经知道的和前面学过的相关知识。通过回答问题，激发学生想象出日常生活中用到变换概念的事物。（2）向全班同学讲《雪花人》的故事，并呈现故事中的雪花照片和故事情节所需的辅助信息。（3）让学生讨论故事中的雪花片，使学生积极地投入到变换的探索中，并激发学生自己创作雪花片的欲望。（4）让学生在纸上构思自己的雪花片。（5）让学生解释他们将在几何画板上探索、创作的雪花片，并简单说明使用的程序，同时提醒学生运用平移、旋转和对称这些工具。（6）学生在几何画板上创作自己的雪花片并写下雪花片建构的过程，使学生更加熟悉与变换有关的数学语言。（7）全班交流。
学习评价：要求每个学生至少创作出5种不同的雪花片，并且用文档描述每一种雪花片，包括用数学术语描述是怎样得到最后结果的。然后每个学生跟全班同学分享自己的作品，使大家看到很多自己没有想到的创意。
案例2：国旗——旗帜
这节课适合在“图形与变换”部分的最后进行，要求学生运用变换的性质等知识进行创作。
设计意图：将“图形与变换”和日常生活中的事物联系起来，让学生积极应用“图形与变换”中学到的知识创作能反映变换概念和思想的作品。
教学目标：（1）学生能应用所学知识创作出独一无二的旗帜，旗帜中要求包含已经学习过的各种变换。（2）学生能将创作的旗帜直观化（直接在纸上制作出来或通过计算机实验后再在纸上制作）。
教具、学具：世界各国国旗的照片；空白纸（每位学生一张，让学生设计旗帜的草图）；单元教学过程中讨论过的图案；装有几何画板软件的计算机（每位学生一台）；彩色美术纸；蜡笔；胶水等（学生在制作旗帜时需要用什么就可以用什么）。
教学过程：（1）让学生看3～4组国旗，并要求他们写下每面国旗中用到的几何形状、颜色以及各国国旗的共同点和不同点。学生应该能识别出国旗中的各种图案。（2）列出清单之后，把全班同学聚在一起，相互交流各自的发现和想法。把学生讨论出来的想法写在黑板上，让学生在创作自己的旗帜时可以参考。（3）学生各自创作自己的旗帜。有些学生在纸上绘制旗帜之前需要在几何画板上做实验，以彻底检验他们头脑中的图片。学生应该关注他们用什么形状，制作成什么图案，并用数学术语描述他们是怎样创作他们选择的图案的。这些旗帜应该是独一无二的，都是学生的代表作。（4）全班交流。
学习评价：每面旗帜都必须包括至少2种变换。在每面旗帜的背后写上运用的变换类型、图形的形状和颜色。学生也应该写上他们从设计和编排过程中学到的知识或积累的经验，以及这些变换在日常生活中的应用途径。
2 案例反思
《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程；现代信息技术应作为学生小学数学和解决问题的有力工具，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去；同时要求学生在“图形与几何”的学习中能“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”；“描述图形的运动和变化”；“依据语言的描述画出图形”，积累丰富的几何活动经验。基于此，可以从以下三个方面对上述两则案例进行反思。
2.1 选取“儿童文学、雪花片、旗帜”为探索变 换的主要素材
教学“图形与变换”时，通常会选用蜻蜓的翅膀、窗花、脸谱等作为探索变换的素材，很少将文学作品、国旗等融入变换的教学中。事实上，把文学作品当作教学工具不仅可以抓住学生的注意力，使他们自觉地参与到各种探究活动中，而且有助于拓展学生的数学概念[1]。
案例1 以马丁的《雪花人》为背景，在故事中向学生介绍一朵朵独一无二的雪花片。从威尔逊班提拍摄的雪花照片中学生会发现，每一片雪花几乎都是六角形的，是由六个尖角构成的一个对称的完美造型，这使学生为这种精致的晶体深深着迷，自己动手创作的欲望油然而生。 案例2以世界各国的国旗为背景，引导学生讨论各国国旗中不同颜色排列所成的图案、识别出各种几何形状、比较出这些几何形状的大小、探究其中的各种变换，激发学生自己创作旗帜的兴趣以及在计算机里验证自己创意的欲望。同时，通过讨论各国国旗的共同点和不同点、本国元素的表达方式，可以使学生建立起数学与社会学科之间的联系。
2.2 创设计算机环境，让学生“看见”自己的创意
计算机环境可以通过让学生操作几何对象创作出美妙的图案，“看见”自己的创意，积累操作计算机的经验。这对于喜欢直观学习的学生而言，他们可以“看着”图案变换，发出“原来如此”的感叹；对于喜欢通过听觉来学习的学生而言，计算机可以为他们提供一个讨论的基础，一起反思看到的东西。
案例1里，学生可以通过几何画板中画图、变换等功能轻松愉快地创作自己喜欢的雪花片，把心中的构思、纸上的草图变成计算机处理下的作品，让计算机屏幕上布满美妙的雪花片，看到自己的创意。同时，学生可以通过改变操作步骤，感受雪花片动态演变带来的乐趣。
案例2的计算机环境是学生动手制作旗帜的实验场地，他们可以通过在几何画板中选择需要的基本图形，进行颜色、大小、位置的调试，不断检验计算机形成的图案是否符合自己最初的想法。同时，学生在看着计算机“成像”的过程中可能会不断产生新的想法，使创作出来的旗帜更加别致、更富意味。
2.3 让学生在动手操作中积累丰富的几何活动经验
平移、对称、旋转不仅是制作雪花片和旗帜的最基本知识与经验，而且是学生今后用图形进行艺术创作，特别是进行镶嵌设计的必要基础。镶嵌就是在平面上平移、对称、旋转几何对象，使之没有空隙和重叠，它是“装饰艺术中常见的图案，我们的生活世界中普遍存在”[2]。
案例1主要让学生熟悉计算机操作，熟悉几何画板软件中需要应用的各种功能，特别是基本图形的构建，平移、对称、旋转这三种几何变换的操作；同时，学生在计算机的操作过程中会不断地产生猜想，通过操作步骤的设计与调整验证自己的猜想，使看到的图案越来越美妙。另外，让学生先说说制作雪花片的步骤，再在计算机环境中边创作边记录，最后全班交流创作过程，这样不仅可以使学生在反复地说、听、看中进一步理解对称与旋转的概念，而且可以让学生积累计算机语言与数学语言之间转换的经验，发展算法思维。
案例2的动手操作不仅可以使学生进一步熟悉计算机的操作，而且可以把计算机中模拟的操作应用到实际的制作过程中，更好地感受美妙图案是怎样形成的，各种变换是如何实现在不变化几何对象本身的情况下使其在空间里运动的。在旗帜的制作过程中，学生除了将图形进行翻转、滑行和转动，还要进行图形的镶嵌与覆盖，这些都有助于学生更好地认识图形的性质和图形之间的关系，从而更好地探索不规则图形的面积。
参考文献
[1]Moore S D.Bintz W P.Teaching geometry and measurement through literature[J].Mathematics Teaching in the Middle School，2002，8（2）：78-84.
[2]Pumfrey E，Beardon T.Art and mathematics-mutual enrichment[J].Micromath，2002，18（2）：21-26.