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【摘要】历年中考数学科的压轴题是拉开考生分数的重分题，总分高不高，关键看考生做压轴题得失情况。因此每年的中考复习，从老师到学生都要花费大量的精力和时间去练习形形式式的压轴题，老师更是要费尽心思去研究大量的压轴题题形，从本省的到外省的、从去年的到往年的。
【关键词】中考；数学
历年中考数学科的压轴题是拉开考生分数的重分题，总分高不高，关键看考生做压轴题得失情况。因此每年的中考复习，从老师到学生都要花费大量的精力和时间去练习形形式式的压轴题，老师更是要费尽心思去研究大量的压轴题题形，从本省的到外省的、从去年的到往年的。其实，任何的数学题都是“形”变而“神”不变。下面就一道中考题进行探究一题多变。
如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OAOB=13，tan∠OAC=13。
(1)求a、b的值；
（2）试探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：（1）令x=0时，y=-3，即点C的坐标为（0，-3），OC=3，∵tan∠OAC=3=OCOA，∴OA=1,
∵OAOB=13，∴OB=3, ∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（-3，0），∵点A、B分别在抛物线上，把A（1，0）、B（-3，0）分别代入，则有方程组0=a+b-3
0=9a-3b-3 解得a=1
b=2,所以a、b的值分别为1、2。
（2）存在。
①以点A为直角顶点时，作AP1⊥AC于点A，交y轴于点P1，∵∠P1AO+∠CAO=90°, ∠OCA+∠CAO=90°,
∴∠P1AO=∠OCA, ∵tan∠OCA=OAOC=13，
tan∠P1AO=P1OOA=P1O1，∴P1O1=13，即P1O=13，∴P1(0,13)；
②以点C为直角顶点时, 作CP2⊥AC于点C，交x轴于点P2，类似①可得OCOP2=OAOC=13，∵OC=3,
∴OP2=9,即P2（-9，0）；
③以AC为直角三角形的斜边时，∵∠COA=90°，∴点OP3与原点O重合，此时P3（0，0）。
综上所述，满足条件的点有P1(0,13)、P2（-9，0）、P3（0，0）。
变式题1：在（1）的结论下，试探究抛物线上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：存在。
①以点A为直角顶点时，作AP1⊥AC ，交抛物线于点P1，作P1D⊥x轴于点D，设P1的坐标为（x,y），类似地证得DP1AD=OAOC=13，由图可知P1D=y,AD=-x+1, ∴y-x+1=13,即y=-x+13，
∵抛物线的解析式
为y= x2+2x-3，∴把y=-x+13代入，解方程-x+13= x2+2x-3得x1=-103，x2=1(不合题意，舍去)，
∴y=139，即P1（-103，139）；
②以点C为直角顶点时, 作CP2⊥AC ，交抛物线于点P2，P2E⊥y轴于点E，设P2的坐标为（x ,y ），类似地证得CEP2E=OAOC=13，由图可知P2E=-x，CE=3+y,∴3+y-x=13,即y=-x3-3，把y=-x3代入，解方程-x3=x2+2x-3得x1=-73， x2=0(不合题意，舍去)，
∴y=-209，即P2（-73，-209）；
③以AC为斜边时，则以AC为直径作圆，此圆与抛物线只有A、C两个交点，所以不存在这样的P点；
综上所述，满足条件的点有P1（-103，139）、P2（-73，-209）。
变式题2：在（1）的结论下，试探究坐标系上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：存在。
P1（0，10），P2（10+1，0），P3(1-10,0)， P4（-1，0）， P5（0，10-3）， P6（0，-10-3）， P7（0，-43），P8（-4，0）。
（本题分三种情况进行讨论：①以AC为腰，点A为顶点；②以AC为腰，点C为顶点；
③以AC为底。
变式题3：在（1）的结论下，探究在第三象限的抛物线上是否存在点P，使得S△POC∶S△POA=3∶2,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：存在。
设点P 的坐标为（x,y），
∵S△POC=OC｜x｜2，S△POA=OA｜y｜2，
且S△POC∶S△POA=3∶2，
∴OC｜x｜2∶OA｜y｜2=3∶2，即｜y｜=2｜x｜，
∵点P在第三象限，x<0,y<0,
∴-y=-2x，即 y=2x,解方程2x= x2+2x-3
得x1=-3，x2=3(不合题意，舍去)，
∴y=-23,即点P的坐标为（-3，-23）。
变式题4：在（1）的结论下，若抛物线的顶点为D，试探究在数轴上是否存在点P，使得以B、D、P三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：存在。
①以点B为直角顶点时，作BP1⊥BD,交y轴于点P1，
∵y= x2+2x-3，=（x+1）2-4, ∴点D的坐标为（-1，-4），
过点D作DE⊥x轴于点E, ∠P1BD=90°,
即∠P1BO+∠BDO=90°,
又∠BDE+∠OBD=90°, ∴∠P1BO=∠BDE,
∵tan∠P1BO=OP1OB=OP13,
tan∠BDE=BEDE=3-14=12,∴OP13=12,∴OP1=32,即点P1的坐标为（0，32）；
②以点D为直角顶点时，作DP2⊥BD,交y轴于点P2，作DF⊥y轴于点F,类似地，P2F=12,∴OP2=4-12=72,即P2的坐标为（0，-72）；
③以BD为斜边时，设直角顶点为P3,类似地，OP33=14-OP3，解得OP3=1，或OP3=3，
∴P3的坐标为（0，-1）或（0，-3）。
本题还可以把A、C改变为B、D，类似变式题1、2、3探究相应的P点的坐标，这里就不再一一的探究。
【关键词】中考；数学
历年中考数学科的压轴题是拉开考生分数的重分题，总分高不高，关键看考生做压轴题得失情况。因此每年的中考复习，从老师到学生都要花费大量的精力和时间去练习形形式式的压轴题，老师更是要费尽心思去研究大量的压轴题题形，从本省的到外省的、从去年的到往年的。其实，任何的数学题都是“形”变而“神”不变。下面就一道中考题进行探究一题多变。
如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OAOB=13，tan∠OAC=13。
(1)求a、b的值；
（2）试探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：（1）令x=0时，y=-3，即点C的坐标为（0，-3），OC=3，∵tan∠OAC=3=OCOA，∴OA=1,
∵OAOB=13，∴OB=3, ∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（-3，0），∵点A、B分别在抛物线上，把A（1，0）、B（-3，0）分别代入，则有方程组0=a+b-3
0=9a-3b-3 解得a=1
b=2,所以a、b的值分别为1、2。
（2）存在。
①以点A为直角顶点时，作AP1⊥AC于点A，交y轴于点P1，∵∠P1AO+∠CAO=90°, ∠OCA+∠CAO=90°,
∴∠P1AO=∠OCA, ∵tan∠OCA=OAOC=13，
tan∠P1AO=P1OOA=P1O1，∴P1O1=13，即P1O=13，∴P1(0,13)；
②以点C为直角顶点时, 作CP2⊥AC于点C，交x轴于点P2，类似①可得OCOP2=OAOC=13，∵OC=3,
∴OP2=9,即P2（-9，0）；
③以AC为直角三角形的斜边时，∵∠COA=90°，∴点OP3与原点O重合，此时P3（0，0）。
综上所述，满足条件的点有P1(0,13)、P2（-9，0）、P3（0，0）。
变式题1：在（1）的结论下，试探究抛物线上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：存在。
①以点A为直角顶点时，作AP1⊥AC ，交抛物线于点P1，作P1D⊥x轴于点D，设P1的坐标为（x,y），类似地证得DP1AD=OAOC=13，由图可知P1D=y,AD=-x+1, ∴y-x+1=13,即y=-x+13，
∵抛物线的解析式
为y= x2+2x-3，∴把y=-x+13代入，解方程-x+13= x2+2x-3得x1=-103，x2=1(不合题意，舍去)，
∴y=139，即P1（-103，139）；
②以点C为直角顶点时, 作CP2⊥AC ，交抛物线于点P2，P2E⊥y轴于点E，设P2的坐标为（x ,y ），类似地证得CEP2E=OAOC=13，由图可知P2E=-x，CE=3+y,∴3+y-x=13,即y=-x3-3，把y=-x3代入，解方程-x3=x2+2x-3得x1=-73， x2=0(不合题意，舍去)，
∴y=-209，即P2（-73，-209）；
③以AC为斜边时，则以AC为直径作圆，此圆与抛物线只有A、C两个交点，所以不存在这样的P点；
综上所述，满足条件的点有P1（-103，139）、P2（-73，-209）。
变式题2：在（1）的结论下，试探究坐标系上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：存在。
P1（0，10），P2（10+1，0），P3(1-10,0)， P4（-1，0）， P5（0，10-3）， P6（0，-10-3）， P7（0，-43），P8（-4，0）。
（本题分三种情况进行讨论：①以AC为腰，点A为顶点；②以AC为腰，点C为顶点；
③以AC为底。
变式题3：在（1）的结论下，探究在第三象限的抛物线上是否存在点P，使得S△POC∶S△POA=3∶2,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：存在。
设点P 的坐标为（x,y），
∵S△POC=OC｜x｜2，S△POA=OA｜y｜2，
且S△POC∶S△POA=3∶2，
∴OC｜x｜2∶OA｜y｜2=3∶2，即｜y｜=2｜x｜，
∵点P在第三象限，x<0,y<0,
∴-y=-2x，即 y=2x,解方程2x= x2+2x-3
得x1=-3，x2=3(不合题意，舍去)，
∴y=-23,即点P的坐标为（-3，-23）。
变式题4：在（1）的结论下，若抛物线的顶点为D，试探究在数轴上是否存在点P，使得以B、D、P三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：存在。
①以点B为直角顶点时，作BP1⊥BD,交y轴于点P1，
∵y= x2+2x-3，=（x+1）2-4, ∴点D的坐标为（-1，-4），
过点D作DE⊥x轴于点E, ∠P1BD=90°,
即∠P1BO+∠BDO=90°,
又∠BDE+∠OBD=90°, ∴∠P1BO=∠BDE,
∵tan∠P1BO=OP1OB=OP13,
tan∠BDE=BEDE=3-14=12,∴OP13=12,∴OP1=32,即点P1的坐标为（0，32）；
②以点D为直角顶点时，作DP2⊥BD,交y轴于点P2，作DF⊥y轴于点F,类似地，P2F=12,∴OP2=4-12=72,即P2的坐标为（0，-72）；
③以BD为斜边时，设直角顶点为P3,类似地，OP33=14-OP3，解得OP3=1，或OP3=3，
∴P3的坐标为（0，-1）或（0，-3）。
本题还可以把A、C改变为B、D，类似变式题1、2、3探究相应的P点的坐标，这里就不再一一的探究。