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摘 要：传统的初中数学习题讲评模式往往十分单一、内容狭窄、就题论题，且缺乏针对学生思维缺陷和培养学生数学素养作为重点，给学生后续学习带来困难。在新课程背景下为改变这种状况，笔者结合自身教学实践，着眼于从培养学生数学素养的视角，对初中数学习题讲评改革进行了积极探索，收到了良好的成效。
关键词：初中数学；习题讲评；教学改革；思维方式
数学素养是指人们通过数学教育及自身的实践和认识活动，所获得的数学知识、技能、能力、观念和品质的素养。提高学生的数学素养，就是要提高学生学会自主学习、适应社会、参加生产实践的能力和具备进一步学习深造所必需的数学基础知识和基本技能，这是学生实现自身价值的需要。初中学生往往在刚刚步入中学短时间之内很难适应中学快速的学习节奏，因此在学习的过程中面对知识容量增大的课堂，经常出现知识点漏听、重点把握不到位、细节处理不足等问题。而在步入学习正轨后，由于知识衔接不到位，对数学知识掌握不全面，对解题必备的思维方式、分析方法不能有效展开，给学习带来很多困难，开始出现数学学习的为难情绪，不仅影响数学学习，更谈不上数学素养的形成。老师如何适时的根据学生的实际问题进行细致分析，采取不同的教学方式，对症下药，注重对于学生理解能力、分析能力、思维能力开发与培养，从根源上解决学生学习数学的困难，提高学生的学习数学能力，提高学生数学素养值得探讨。本文就如何通过初中数学习题讲评提高学生数学素养谈几点做法与体会。
一、 通过错解矫正过程，提高学生的数学素养
通常我们在一般的习题讲评过程中都会把精力集中在对错误的订正以及正确解法的探索上，而对于一些具有普遍性的错误情况还会进行一下相应的解答，但是却很少有将目光集中于学生发生错误产生的原因分析与数学素养的提高上，要改变这种陈旧的习题讲评方式，就应该根据新课程理念，在培养学生的数学思维能力以及数学素养的提高上下功夫。特别通过对学生错解矫正，提高学生的思维发散性，能够在遇到陌生题型时，通过运用自身所学技能，准确理解题目含义，寻找最佳的解决思路。
例1：若已知方程：（n-2）xn2-2 3x-5=0是一个一元二次方程，那么n的值为多少？
大多数学生会将目光聚焦于一元二次方程这个条件上，因为这个条件在题干中占比很大，且能够直接列出算式n2-2=2，通过计算获得结果n=±2，得到错误的答案。在解答这道题时老师若有意识地将问题抛给学生思考解决，并引导学生进行交流，一些知识把握全面，细节处理得当的学生会发现一元二次方程所必须具备的一个条件，式中必须存在二次项（即二次项系数不能为0），发现问题本质，得到正确答案为n=-2。教师以此为突破口，强化学生在解题过程中能认真审题，在知识理解上能全面准确，提高学生解题能力，进而培养学生数学素养。
并通过举一反三，对上述问题进行变式解决一些看似没有接触过的新问题，让学生在变式解题过程中得到巩固和提高。
变式1：若已知二次方程（m2-4）x2 mx-2=0有一个实根为x=1，求m的值。
学生容易知道把x=1代入二次方程（m2-4）x2 mx-2=0得m2 m-6=0，解得m=2或m=-3。但往往容易忽略条件是二次方程应排除m=2，正确答案为m=-3。
变式2：若已知方程：（n-3）xn2-5 2x3-3x2-4x-10=0是一个一元四次方程，那么n的值為多少？
此题对乍一看是一道超纲问题，初中生显然不曾涉及过一元四次方程的知识点，因此在题目中出现“一元四次方程”时学生会主观地认为该题目为超纲题目，但是根据上述讲解的方法，引导学生发散思维，创新运用所学知识便不难发现，这道新题型其实依旧是一道解一元二次方程的问题，令n2-5=4则可解得n=±3，而又有n-3≠0的约束，因此n≠3，所以最终结果得n=-3。
讲评过程中通过给学生创造自主探索、合作交流、共同分享的空间，引导学生经历“发现错误——寻找原因——及时完善——举一反三”的完整过程，在师生合作交流的教学模式下，达到培养学生数学问题并自觉解决、灵活运用的数学素养的效果，使得学生的学习过程从封闭型走向开放型，从被动理解接受型走向自主参与探究型，促使学生积极思考，充分进行尝试、探究、验证的目的。从本例可以看出，尽管试题是千变万化的，但其中蕴藏着一定的规律，其基石是基础知识，只要认真落实基础知识，不断提高数学素养，就能以不变应万变，使学生立于不败之地。
二、 通过改变讲评方式，提高学生的数学素养
在传统的习题讲评课程中，由于课堂时间有限，大多是以老师为中心，整堂过程都是由老师独自一人串联下来，在讲台上滔滔不绝，而同学们由于缺乏课程的互动，往往昏昏欲睡，教师独霸讲台，学生只是被动地接受，没有充分参与到评讲的过程中去。经常遇到学生问老师你怎么想到的一类问题，使学生感到老师是“神”，只有老师能想到。这种讲评方式即使老师备课再充分，能力再突出也无法赢得学生的注意力，学生只会在相同的问题上一错再错，讲课效率更是无从谈起。因此在习题讲评的改革过程中我们不仅需要注意讲评内容的选择，同时也应当注重讲评方式的改革。
例2：如下图所示，已知抛物线y=-x2-（m-4）x 3（m-1）与x轴相较于A，B两点，并且与y轴相较于C点，
（1） 求m的取值范围；
（2） 若m<0，直线y=kx-1经过点A，与y轴相交点D，且AD·BD=52，求抛物线解析式；
（3） 若点A点在B点左侧，在第一象限内（2）所示抛物线上是否存在一点P使直线PA平分△ACD的面积？并说明理由。
由于这种题型涉及知识面广、难度较高，而且解题过程比较麻烦。许多老师就自己在课堂上讲解，老师讲得津津有味、条条是道，讲得满头是汗，但其由于过程冗长，学生们听得昏昏欲睡。如果大胆放开，引导学生进行独立思考分析，获取解决问题的办法，出现问题后与学生共同发现问题症结，寻找解决问题办法，总结解题关键与思维途径，不仅容易解决本问题，还可以帮助学生获得问题解决过程需要的知识与能力，从而提高学生解决问题能力。实践证明，我们往往过于拘泥于传统，而忽略了学生所蕴藏的能力。特别是问题（3）放手让学生解决过程中，学生不仅顺利地找准了P点的两个坐标（2，0）、（54，-2116），并且在提问学生的回答过程中还发现了这两点并不处于第一象限中，随即便得出了能够平分△ACD面积的P点不存在的结论。而最令我们叹为观止的是，这种改良的教学模式提前并未透露，因此该学生并没有经过前期的准备，而是在课堂现场进行中随机选取的，该生讲解的过程虽然并不流畅，有的地方甚至还有台下学生进行提醒，但是整个讲解过程互动性极强，学生的学习热情极高，课后反馈学生知识掌握良好，因此可以看出这种新的习题讲评方式更有利于学生对于知识的吸收与掌握。 三、 通过跟踪课后反思，提高学生的数学素养
在习题讲评的过程中我们经常会发现即使学生在课堂上表现良好，课下练习时依旧不能正确地解答出问题。究其原因便是上课表现良好并不意味着学生真的把理论知识听懂吃透了，而往往是个别同学理解了课程内容后，其他学生跟风行动，或者带有死记硬背或模仿的情况，最终给予了老师一种所有学生都已经学会了的所谓的课堂表现良好的假象。退一步说，即使学生在课堂上听懂了，课后练习的过程中也未必能够用已经掌握的知识解答相应的问题，而这就不仅仅涉及学生对于知识的理解能力，同时还与学生知识掌握的熟练度、知识掌握的灵活性有关，因此老师不仅要注重改革课程中的知识讲解，更应该在新的教学模式中加强对于学生学习情况的追踪，让学生多反思、多总结，常备错题本，并且定期翻阅查漏补缺，进而强化全体学生的综合数学素养。老师在讲解改革的过程中同样也需要总结，总结学生们经常出错的知识点，以及学生们最常出错的题型，根据学生们的错误特点有的放矢地制定最有效的教学策略，同时根据学生的错误特点及时制定新的课程讲解的侧重点，提升课堂讲解效率。
例3：如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N，∠EMB=50°，MG是∠BMF的平分线，MG交CD于G，求∠CNE的角度。
这道题作为一道十分基础的求解题很多同学基本上都不会出错，但是我们在课后练习时，不妨将此题揉入较多同学比较容易出错的知识点，改成如下所示题目内容：
如圖所示，AB平行于CD，EF交AB、CD于M和N两点，∠EMB=50°，MG是∠BMF的平分线，MG交CD于G求∠1的度数。
这样的设计不仅加深了题目难度，而且让题目能够承载更多课堂学生易错的知识点，让学生们能够在题型变化中找寻出自身知识点上的不足，提高自己独立思考灵活解决问题能力。
总而言之，讲评课堂模式可以总结为两个方面：从教师角度，要了解基本情况、展示典型错误、知道剖析研究、参与总结提炼、提供补救练习。从学生角度，要了解基本情况、剖析典型错误、挖掘试题功能、反思总结提炼、补救强化练习。在进行习题讲评的过程中要以课堂为重点，以学生的实际需求为中心，帮助学生在问题分析中发现薄弱点，对症下药地解决问题。并根据实际情况对讲解内容作出相应的调整，要想学生所想，解学生所难，帮助学生树立起正确的思维方式，锤炼学生的数学解题能力，从而培养学生的数学素养与创新精神，让学生在习题讲解的过程中不仅仅能够学会做题，还能够提升能力，让学生能够在不断地习题训练中茁壮成长。
参考文献：
[1]姜玉军.浅谈初中数学试卷讲评方式的改革和创新[J].理科考试研究，2014（9）：10-10.
[2]李丽娟.浅谈如何提高初中数学教学课堂效率[J].成功教育，2010（5）：57-57.
作者简介：
郑德颖，福建省宁德市，福建省宁德市霞浦县第八中学。
关键词：初中数学；习题讲评；教学改革；思维方式
数学素养是指人们通过数学教育及自身的实践和认识活动，所获得的数学知识、技能、能力、观念和品质的素养。提高学生的数学素养，就是要提高学生学会自主学习、适应社会、参加生产实践的能力和具备进一步学习深造所必需的数学基础知识和基本技能，这是学生实现自身价值的需要。初中学生往往在刚刚步入中学短时间之内很难适应中学快速的学习节奏，因此在学习的过程中面对知识容量增大的课堂，经常出现知识点漏听、重点把握不到位、细节处理不足等问题。而在步入学习正轨后，由于知识衔接不到位，对数学知识掌握不全面，对解题必备的思维方式、分析方法不能有效展开，给学习带来很多困难，开始出现数学学习的为难情绪，不仅影响数学学习，更谈不上数学素养的形成。老师如何适时的根据学生的实际问题进行细致分析，采取不同的教学方式，对症下药，注重对于学生理解能力、分析能力、思维能力开发与培养，从根源上解决学生学习数学的困难，提高学生的学习数学能力，提高学生数学素养值得探讨。本文就如何通过初中数学习题讲评提高学生数学素养谈几点做法与体会。
一、 通过错解矫正过程，提高学生的数学素养
通常我们在一般的习题讲评过程中都会把精力集中在对错误的订正以及正确解法的探索上，而对于一些具有普遍性的错误情况还会进行一下相应的解答，但是却很少有将目光集中于学生发生错误产生的原因分析与数学素养的提高上，要改变这种陈旧的习题讲评方式，就应该根据新课程理念，在培养学生的数学思维能力以及数学素养的提高上下功夫。特别通过对学生错解矫正，提高学生的思维发散性，能够在遇到陌生题型时，通过运用自身所学技能，准确理解题目含义，寻找最佳的解决思路。
例1：若已知方程：（n-2）xn2-2 3x-5=0是一个一元二次方程，那么n的值为多少？
大多数学生会将目光聚焦于一元二次方程这个条件上，因为这个条件在题干中占比很大，且能够直接列出算式n2-2=2，通过计算获得结果n=±2，得到错误的答案。在解答这道题时老师若有意识地将问题抛给学生思考解决，并引导学生进行交流，一些知识把握全面，细节处理得当的学生会发现一元二次方程所必须具备的一个条件，式中必须存在二次项（即二次项系数不能为0），发现问题本质，得到正确答案为n=-2。教师以此为突破口，强化学生在解题过程中能认真审题，在知识理解上能全面准确，提高学生解题能力，进而培养学生数学素养。
并通过举一反三，对上述问题进行变式解决一些看似没有接触过的新问题，让学生在变式解题过程中得到巩固和提高。
变式1：若已知二次方程（m2-4）x2 mx-2=0有一个实根为x=1，求m的值。
学生容易知道把x=1代入二次方程（m2-4）x2 mx-2=0得m2 m-6=0，解得m=2或m=-3。但往往容易忽略条件是二次方程应排除m=2，正确答案为m=-3。
变式2：若已知方程：（n-3）xn2-5 2x3-3x2-4x-10=0是一个一元四次方程，那么n的值為多少？
此题对乍一看是一道超纲问题，初中生显然不曾涉及过一元四次方程的知识点，因此在题目中出现“一元四次方程”时学生会主观地认为该题目为超纲题目，但是根据上述讲解的方法，引导学生发散思维，创新运用所学知识便不难发现，这道新题型其实依旧是一道解一元二次方程的问题，令n2-5=4则可解得n=±3，而又有n-3≠0的约束，因此n≠3，所以最终结果得n=-3。
讲评过程中通过给学生创造自主探索、合作交流、共同分享的空间，引导学生经历“发现错误——寻找原因——及时完善——举一反三”的完整过程，在师生合作交流的教学模式下，达到培养学生数学问题并自觉解决、灵活运用的数学素养的效果，使得学生的学习过程从封闭型走向开放型，从被动理解接受型走向自主参与探究型，促使学生积极思考，充分进行尝试、探究、验证的目的。从本例可以看出，尽管试题是千变万化的，但其中蕴藏着一定的规律，其基石是基础知识，只要认真落实基础知识，不断提高数学素养，就能以不变应万变，使学生立于不败之地。
二、 通过改变讲评方式，提高学生的数学素养
在传统的习题讲评课程中，由于课堂时间有限，大多是以老师为中心，整堂过程都是由老师独自一人串联下来，在讲台上滔滔不绝，而同学们由于缺乏课程的互动，往往昏昏欲睡，教师独霸讲台，学生只是被动地接受，没有充分参与到评讲的过程中去。经常遇到学生问老师你怎么想到的一类问题，使学生感到老师是“神”，只有老师能想到。这种讲评方式即使老师备课再充分，能力再突出也无法赢得学生的注意力，学生只会在相同的问题上一错再错，讲课效率更是无从谈起。因此在习题讲评的改革过程中我们不仅需要注意讲评内容的选择，同时也应当注重讲评方式的改革。
例2：如下图所示，已知抛物线y=-x2-（m-4）x 3（m-1）与x轴相较于A，B两点，并且与y轴相较于C点，
（1） 求m的取值范围；
（2） 若m<0，直线y=kx-1经过点A，与y轴相交点D，且AD·BD=52，求抛物线解析式；
（3） 若点A点在B点左侧，在第一象限内（2）所示抛物线上是否存在一点P使直线PA平分△ACD的面积？并说明理由。
由于这种题型涉及知识面广、难度较高，而且解题过程比较麻烦。许多老师就自己在课堂上讲解，老师讲得津津有味、条条是道，讲得满头是汗，但其由于过程冗长，学生们听得昏昏欲睡。如果大胆放开，引导学生进行独立思考分析，获取解决问题的办法，出现问题后与学生共同发现问题症结，寻找解决问题办法，总结解题关键与思维途径，不仅容易解决本问题，还可以帮助学生获得问题解决过程需要的知识与能力，从而提高学生解决问题能力。实践证明，我们往往过于拘泥于传统，而忽略了学生所蕴藏的能力。特别是问题（3）放手让学生解决过程中，学生不仅顺利地找准了P点的两个坐标（2，0）、（54，-2116），并且在提问学生的回答过程中还发现了这两点并不处于第一象限中，随即便得出了能够平分△ACD面积的P点不存在的结论。而最令我们叹为观止的是，这种改良的教学模式提前并未透露，因此该学生并没有经过前期的准备，而是在课堂现场进行中随机选取的，该生讲解的过程虽然并不流畅，有的地方甚至还有台下学生进行提醒，但是整个讲解过程互动性极强，学生的学习热情极高，课后反馈学生知识掌握良好，因此可以看出这种新的习题讲评方式更有利于学生对于知识的吸收与掌握。 三、 通过跟踪课后反思，提高学生的数学素养
在习题讲评的过程中我们经常会发现即使学生在课堂上表现良好，课下练习时依旧不能正确地解答出问题。究其原因便是上课表现良好并不意味着学生真的把理论知识听懂吃透了，而往往是个别同学理解了课程内容后，其他学生跟风行动，或者带有死记硬背或模仿的情况，最终给予了老师一种所有学生都已经学会了的所谓的课堂表现良好的假象。退一步说，即使学生在课堂上听懂了，课后练习的过程中也未必能够用已经掌握的知识解答相应的问题，而这就不仅仅涉及学生对于知识的理解能力，同时还与学生知识掌握的熟练度、知识掌握的灵活性有关，因此老师不仅要注重改革课程中的知识讲解，更应该在新的教学模式中加强对于学生学习情况的追踪，让学生多反思、多总结，常备错题本，并且定期翻阅查漏补缺，进而强化全体学生的综合数学素养。老师在讲解改革的过程中同样也需要总结，总结学生们经常出错的知识点，以及学生们最常出错的题型，根据学生们的错误特点有的放矢地制定最有效的教学策略，同时根据学生的错误特点及时制定新的课程讲解的侧重点，提升课堂讲解效率。
例3：如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N，∠EMB=50°，MG是∠BMF的平分线，MG交CD于G，求∠CNE的角度。
这道题作为一道十分基础的求解题很多同学基本上都不会出错，但是我们在课后练习时，不妨将此题揉入较多同学比较容易出错的知识点，改成如下所示题目内容：
如圖所示，AB平行于CD，EF交AB、CD于M和N两点，∠EMB=50°，MG是∠BMF的平分线，MG交CD于G求∠1的度数。
这样的设计不仅加深了题目难度，而且让题目能够承载更多课堂学生易错的知识点，让学生们能够在题型变化中找寻出自身知识点上的不足，提高自己独立思考灵活解决问题能力。
总而言之，讲评课堂模式可以总结为两个方面：从教师角度，要了解基本情况、展示典型错误、知道剖析研究、参与总结提炼、提供补救练习。从学生角度，要了解基本情况、剖析典型错误、挖掘试题功能、反思总结提炼、补救强化练习。在进行习题讲评的过程中要以课堂为重点，以学生的实际需求为中心，帮助学生在问题分析中发现薄弱点，对症下药地解决问题。并根据实际情况对讲解内容作出相应的调整，要想学生所想，解学生所难，帮助学生树立起正确的思维方式，锤炼学生的数学解题能力，从而培养学生的数学素养与创新精神，让学生在习题讲解的过程中不仅仅能够学会做题，还能够提升能力，让学生能够在不断地习题训练中茁壮成长。
参考文献：
[1]姜玉军.浅谈初中数学试卷讲评方式的改革和创新[J].理科考试研究，2014（9）：10-10.
[2]李丽娟.浅谈如何提高初中数学教学课堂效率[J].成功教育，2010（5）：57-57.
作者简介：
郑德颖，福建省宁德市，福建省宁德市霞浦县第八中学。