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[摘要]VaR模型是一种有效的风险计量和管理工具。在假设组合收益服从正态分布的条件下,分析了引入VaR约束的均值—方差模型及有效边界;考虑在一定置信水平下,结合组合收益的实际分布,给出了满足投资者VaR约束下期望收益最大化的计量模型及投资策略选择,并利用中国证券市场数据进行了实证研究。
[关键词]风险价值;均值—方差模型;资产配置
[中图分类号] F832.5 [文献标识码] A [文章编号] 1673-0461(2010)08-0092-06
[收稿日期]2010-02-03
[基金项目]上海师范大学博士人才引进基金项目( PW921)资助。
[作者简介]姚亚伟(1981-), 男,河南漯河人,金融学博士,上海师范大学金融学院讲师,主要研究方向:组合投资管理、流动性。
一、引言
Markowitz(1952)提出的均值—方差模型奠定了现代资产组合的理论基础,通过将风险定义为证券收益率的方差,Markowitz提出投资者可通过分散化组合投资,在不损失期望收益的同时降低风险。随着组合理论在实务投资领域的应用越来越广泛,模型提出的风险测度方法已不能满足金融管理机构和投资者的多样化风险管理需求,一些学者分别从不同的视角对均值-方差模型进行了修正。在已有研究文献提出的模型修正方法中,大致可归为两类:一类是对均值-方差模型中的收益或风险测度指标进行修正,如Mao(1970)认为投资者在期望收益两侧的风险感受不对称,提出了均值—下半方差模型,修正的依据主要是基于投资者对客观风险的认知;Konno和 Suzuki(1995)最早提出均值—方差—偏度模型,模型以投资组合的预期收益以及绝对方差作为限制条件,以投资组合的偏度最大值为目标,修正的依据主要是基于目前很多研究成果均表明金融资产的收益率具有明显的“尖峰、厚尾”特征,而期末收益率在期末期望收益率处泰勒展开式的二阶矩、三阶矩和四阶矩分别可表征期末收益的风险、峰度和偏度特征,高阶矩体现了投资者对收益率分布的偏好。另一类方法主要是在均值—方差模型中加入条件约束来进行组合优化求解,Roy(1952)、Arzac和Bawa(1977)提出了加入一个“在投资期末组合的价值损失比预设的损失水平低的概率小于某一值”的约束条件,Lucas 和Klaassen(1998)、Leibowitz 和Kogelman(1991)也分别提出“在一定时间区间和给定置信水平下,投资者应当获得的最低收益”的损失约束,然后在满足给定约束下最大化组合的期望收益。尽管利用损失约束的概念与投资者对风险的认知更加一致,但由于损失概率、最小收益、置信区间等都很难准确的具体量化导致其应用受到限制。
VaR(Value at Risk)方法最早是由G-30人小组1993年在《衍生产品的实践和规则》研究报告中提出的,随后被国际清算银行接受并体现在《巴塞尔协议》中,J.P.摩根集团也于1994年在 的基础上建立了信息系统Risk Metric,随后VaR模型的应用从商业银行领域转向证券市场的投资管理中。对VaR模型的理解和认识,一般认为是在一定的期间内,在一定置信水平或概率条件下,单个头寸或组合潜在的最大损失(Joroin,1997)。Mausser 和 Rosen(2001)、Joroin(1997)等分别用历史模拟法和Montel Carlo模拟法估算了满足 条件下的资产组合选择优化问题。但由于 不满足次可加性公理,意味着在某些条件下拒绝资产组合风险分散化原理,Pflug(2000)、Rockafellar和Uryasev(2000,2002)、Acerbi和Tasche(2002)先后提出条件风险价值(Conditional-VaR )作为风险的度量来对VaR进行修正,将CVaR定义为损失超过VaR部分的条件期望,只考虑下侧风险(downside risk)。在VaR和CVaR研究的基础上,Rockafellar和Uryasev(2000),Anderson et al.(2000)考虑了CVaR作为风险测度的资产组合优化问题,并证明了CVaR是一个凸函数。Alexander(2002) 等人分析了将CVaR作为风险管理目标的单期资产配置模型。姚京等(2004)建立了用VaR代替方差作为风险的测量指标的均值— 模型,同时考虑了存在无风险资产、负债和非正态分布的情形。这些国内外学者对VaR模型应用于组合优化提供了思路和方法,但一般是基于在组合收益率服从正态分布的假设下展开的应用性研究,没有系统的讨论VaR约束作用下的组合有效边界,对当实际收益率分布特征非正态时的组合优化问题还有待进一步深入研究。
本文基于VaR模型的思想,研究分为两个层次:第一个层次,在假设组合的收益率服从正态分布的前提下,将VaR引入到均值—方差模型中,并进行组合的优化求解;第二个层次,在一定置信水平下,把假设组合收益率服从正态分布时VaR值作为投资者期望的最大损失值,结合组合收益率的实际分布特征,通过求解投资者最大化期望收益来进行的资产优化配置和投资策略的选择。
二、引入VaR的均值—方差模型
组合投资的数学本质是求解在满足一定约束下的条件极值问题,若不考虑投资者的风险厌恶和效用函数,均值-方差有效边界上的任意一点都是投资者可获得收益与需要承担风险的有效均衡,组合优化就转化成为满足收益一定(风险一定)条件下组合风险最小(收益最大)问题,通过设计指标对每个均衡点的风险—收益特征进行比较,如夏普比率等,来确定组合的最优化。在均值—方差模型中引入的VaR约束,相当于综合了组合的收益和风险的一个约束条件,并在此约束条件下求解组合的最优化问题。
对VaR值的计算目前主要有三种方法:方差—协方差法、历史模拟法和Monte Carlo模拟法。方差—协方差法需要对组合收益率的分布做出假设,一般假设为正态分布;历史模拟法不需要对组合收益率的分布做出假设,而是依据给定置信水平下组合收益率频率分布的分位数值来计算,即用收益率的历史分布来代替收益率的真实分布来求解资产组合的VaR值; Monte Carlo模拟法通过对资产组合的不同分布情景进行模拟来确定一定时期内不同情形下的资产组合值,是计算 的各种方法中最有效的方法。本文对VaR引入到均值—方差模型的中计算仍主要采用前两种计算方法,而未选择Monte Carlo模拟法,原因在于:一方面,Monte Carlo模拟法应用的前提是各种情景发生的概率可以合理估计,比较适合于商业银行风险管理,而证券市场上股票价格的涨跌及影响因素难以合理估计和量化,用Monte Carlo模拟法分析的偏差可能较大;另一方面,已有的研究结果表明国内外的证券市场是弱式有效或无效的,这意味着证券市场可能“历史会重]”,过去的信息能够对未来的价格产生影响,而方差-协方差方法、历史模拟法则相对比较有效。
(一)VaR模型思想数学表达
设投资期限为T,资产组合在期间内的收益率为Rp,且Rp～N( μ,σp),c为给定的置信水平,根据VaR的定义:
举例说明,若投资期限为100日,置信区间为99%的VaR,意味着未来的100日内遭受最大损失超过VaR临界值的可能性最多只有1次。由方程(1)可知,VaR的值也即在投资区间T的最差情况下的期望损失,而由于VaR水平的设定一般与所选择的持有期和置信水平有关,VaR也反映了投资者的风险厌恶水平。
设Φ-1(1-c)为给定置信水平c下标准正态分布的左侧分位点值,由方程(1)可得:
=Φ-1(1-c)→VaR =μ+Φ-1(1-c) σp (2)
在投资期限T内,设投资者的初始财富为Wo,投资者最坏情况下的损失为:
WVaR= W0( μ+Φ-1(1-c) σp )(3)
由方程(3)可知,风险价值主要与资产组合的期望收益率、置信水平、持有期财富的波动率有关。期望收益率越高,风险价值越高;由于所选的置信区间c一般为95%、97.5%和99%,所以Φ-1(1-c) 一般为负值,且c越高,Φ-1(1-c)的值越小,风险价值就越小;波动率越大,VaR的值也越小。
(二)VaR约束下的均值—方差模型
在均值-方差模型中引入VaR约束,相当于增加了对组合收益最低值的约束条件,引入VaR的均值-方差模型可修正为:
minσ2p=X'ΣX
st.μ=XE(R)X'I=1Rp>VaR=μ+Φ-1(1-c)σp
或
maxμ=X'E(R)
st.σ2p=X'ΣXX'I=1Rp>VaR=μ+Φ-1(1-c)σp (4)
其中,R=(R1,R2,…,RN)'是组合中不同资产的收益率、X=(X1,X2,…,XN)'是组合中不同资产的权重向量;Σ=(σij)N×N是组合中N种资产间的协方差矩阵。
由于VaR是根据整个组合的风险和收益情况计算的,在考虑加入VaR约束的有效边界时,可以通过首先求解不考虑VaR的有效边界,然后通过引入Rp>VaR=μ+Φ-1(1-c)σp的约束条件使有效边界范围缩小。在这里,组合的收益和风险在有效边界上的不同点上均衡时,对应的VaR约束也不同,因此在有效边界求解中引入的VaR约束实质上是一系列斜率为-Φ-1(1-c)、截距不同的系列约束线,有效的VaR约束是经过在组合有效边界上取得最优解点的约束线。
通过拉格朗日乘法求解均值-方差模型的有效边界,以方程(4)中的第一个模型作为分析对象,构建拉格朗日乘数方程:
效在VaR约束下,模型的解集在σ-Rp空间是图1中实线部分的抛物线,即投资组合的有效前沿。而VaR约束线也即为经过有效前沿上风险收益最大化点处的直线(见图1)。
三、 VaR约束下组合资产配置的优化
投资者在VaR约束下进行投资决策时,往往需要对未来的损失进行预期估计,这个预期损失一般是采用历史模拟法在假设未来收益率服从正态分布时的分位值来进行估算的,而收益率的实际分布往往不是随机的,这需要利用经验数据的实际分位数来确定。在一定置信水平下,预期损失值与实际损失值往往不同,为达到实现投资者预期的损失约束,往往在实际投资时需要进行资金的借入或借出。通过资金的借入借出可保证当组合实际损失与预期损失之间有差异时资产配置比例保持不变,有利于投资的连续性和稳定性,对冲由于条件约束限制导致的被动操作而带来的风险。
由于VaR在一定程度上反映了投资者持有组合的风险,在考虑VaR的组合管理时,可通过最大化期望收益的最大化作为目标。
假设在T时期内,投资者可以以无风险利率
rf在市场中进行资金自由借贷,设投资者期初可自由借贷的资金为B(B>0表示资金借入),并在期初将资金全部配置于证券组合中,Xi表示投资在风险资产i上的比例,且满足X=1 ,Pi,0表示风险资产i在期初的价格,则投资者的期初组合满足:
方程(13)将投资者的组合资产配置问题转化为投资者需要借入或借出多少资金来实现最终期望财富水平最大化的问题。
用WT表示投资期间内的资产组合价值,设投资者在置信水平c下预期的最大损失为VaR*,则有:Pr{≤VaR*}≤ 1-c(14)
由投资者T时期内投资收益Rp可得出投资者期末的财富为:
WT=W0(1+Rp)+(XiPi,0-W0)(Rp-rf)(15)
将方程(15)代入方程(14),可推得:
由方程(17)可知,若组合的实际收益率服从正态分布,则有VaR*=Φ(1-c),则组合的优化问题与投资者的预期一致,即在承受最大损失为VaR*风险下,投资者可获得的期末期望回报率为μ ,同时不需要进行借贷。但大多数情况下,VaR*与Φ(1-c)是不相等的,此时投资者要考虑是否进行无风险借贷等策略以满足其对最大损失的条件约束。将方程(17)代入方程(15),则有:
由方程(19)可知,投资者期末财富收益最大化的确定与两个临界值有关:一是投资者设定的最低风险水平,即预期损失VaR ;二是组合收益率的实际分布特征,即投资者依据风险偏好选择的置信水平及不同置信水平下的分位数。由方程(19)还可知,初始财富仅是对投资决策最大化的一个尺度指标,因此进行资产配置的过程与财富大小无关。而方程(19)也可解释为投资者的收益为投资者进行组合投资获得的无风险收益与遭受风险而获得的期望风险贴水之和,这个期望风险贴水以投资者面临的期望风险水平(r-VaR)与实际风险水平(rf-Φ(1-c))之间的相对比值作为调整系数。投资者的期望收益最大化等价于:
当组合中仅包括单一资产时,在一定置信水平下,VaR*、Φ(1-c)的值都比较容易确定。但组合中包括两种以上资产时,由于涉及到组合优化时不同资产权重分配的问题,VaR*、Φ(1-c) 在一定置信水平下的分位数值变得不确定。S(p)指标将假设期望收益正态分布与实际收益非正态分布之间的差异同时表征出来。当在一定置信水平下,实际收益分布的分位数与预期假设正态分布分位数之间有差异时,投资者可以通过借入或借出资金来满足预期的损失约束来最优化其组合,将方程(19)代入方程(13),投资者需借入或借出的资金为:
四、基于经验数据的最优资产配置分析
本文构建一个由股票、债券和无风险资产所构建的组合,这基本上可以反映组合投资中资产配置类别的构成。选取上证指数代表股票类资产、企债指数代表债券类资产、国债指数代表无风险收益资产,利用上证指数和企债指数作为风险资产构建最优组合,而将国债指数的收益率作为基准无风险收益率。选取样本区间为2007年1月1日至2008年12月31日的日交易数据,每个样本均有488个收益时间序列数据。在进行实证分析时,由于样本区间内中国股票市场出现了“暴涨暴跌”的市场状况,将样本区间分解为两个子区间,即2007.1.4～2007.12.28和2008.1.2～2008.12.31,分别反映中国股票市场单边上涨和单边下跌下投资者在 约束下期望收益最大化时的资产配置策略。
由表1可知,从收益指标看,上证指数与债券指数的日平均收益在样本区间内呈现“互补”,但上证指数收益率的波动率显著高于债券指数;从峰度指标看,无论在整个样本区间,还是子样本区间,上证指数和债券指数日收益率的峰度值均大于3,存在“尖峰厚尾”的特征;而从JB(Jarque-Bera) 正态检验统计量值的结果看,三个指数的日收益率在整个或子样本区间的概率分布均拒绝正态分布的假设。
在利用VaR约束进行分析时,需要考虑资产组合的持有期和置信水平的选择。在选择持有期时,持有期太短容易导致监控成本太高;而持有期太长不利于及早发现潜在风险,一般选择为1天。置信水平主要反映投资主体对风险的厌恶程度,置信水平越高,厌恶风险的程度越大。置信水平不同计算出的 值也不同,本文选取的置信水平分别为95%,97.5%和99%。
下面利用Excel规划求解的方法对满足方程(20)求最优解,在规划求解的约束条件里,参照目前纯股票型开放式基金资产配置中对股票和债券配置的比例约束,即上证指数配置的权重[0.60,0.95],企债指数配置的权重[0,0.40],对股票和债券的配置权重约束隐含了不允许卖空条件。表2为在不同的置信水平下和不同的样本区间内,通过规划求解求得最优化解时的相关指标情况。
由表2可知,无论在整体区间或子区间,置信水平越高,VaR*、Φ(1-c)的值越小。同时,比较在不同置信水平下VaR*和Φ(1-c)之间的大小,当在一定置信水平下,组合收益实际分布的分位点值大于投资者期望假设正态分布时的分位点值时,投资者需要借入资金;反之,投资者需要借出资金,以满足投资者的期望最大损失要求。
同时,从表2中可发现,在某一区间内不同的置信水平下,方程取得最优解时资产配置的权重比例基本相等,由于通过无风险利率的借贷可使组合的收益不同,但组合的风险不变。产生这种结果的原因主要有两个:一是方程优化求解目标是期望收益的最大化,用风险价值替代了组合风险指标,组合之间的协方差效应仅对VaR*值的确定有影响,而对Φ(1-c)基本没有影响;二是由于仅选择两种投资产品,而在样本区间内这两种资产之间的收益之间差异较大,导致在追求期末财富收益最大化时,往往最高比例的配置在收益高的资产。这也是利用 模型进行组合资产配置优化分析时的不足之处。
五、结束语
一些学者提出了若要求商业银行采用统一风险控制标准可能导致风险管理的无效性的观点(Persuad,2003),即如果使用VaR模型作为止损控制风险的工具,若市场出现风险恶化,由于止损约束而进行被动操作反而会进一步加剧市场风险恶化;而若市场处于平稳交易中,则利用VaR进行风险控制就失去了意义。但在证券投资组合管理的过程中,由于投资者的异质性,不同投资者构建的组合也不相同,利用VaR模型对单个投资者的日常管理还是有积极作用的。
本文在假设组合未来收益率服从正态分布的前提下,探讨了引入VaR约束时组合有效边界的解集;以投资者期望财富收益最大化为目标,采用历史模拟法的思想,在一定的置信水平下,将未来收益分布正态假设下的分位点值作为投资者期望的最大损失,结合组合收益实际分布的分位点值,推导出满足投资者期望财富收益最大化时的目标函数,并求解出在满足投资者财富收益最大化时,因实际收益分布的分位点值与投资者期望最大损失之间的差异来对投资者在无风险利率市场进行资金借贷的操作策略提供指导,简化了组合优化的过程。通过利用中国证券市场的数据实证分析表明,上证指数和企债、国债指数的收益率分布均呈现“尖峰厚尾”的非正态分布特征,投资者不能对组合收益率的实际分布特征进行有效判断,但可通过假设未来组合收益服从正态分布下结合自身风险厌恶水平(置信水平的选择)来对未来的最大损失进行预期,并结合实际收益率分布来调整资产配置策略,这也为在我国采于基于 的资产配置方法提供了应用性的依据。
对于引入VaR的均值-方差模型及其在资产配置中的应用研究,结合目前我国资本市场的现状,未来可从以下几个方面展开:
(1)市场资金的借入利率高于借出利率情况下的推广。在本文的分析中,我们提出通过比较组合收益实际分布的分位点值与期望假设正态分布时的分位点值之间的差异,投资者可以选择以无风险利率借入或借出资金的策略。而在实际投资中,投资者借入资金的利率往往高于借出资金的利率,这就意味着投资者构建的组合有效边界会发生变化,资产配置的优化及投资策略也因而需进行相应的调整。
(2)做空机制与VaR约束在资产配置优化中的作用替代。如果没有卖空交易机制,或没有可供做空的金融产品,那么当组合实际收益与预期的VaR值不一致时,投资者为保持组合资产配置结构不发生变化,将会选择从市场上借入或借出资金。而若市场允许做空,投资者则可以通过做空机制对冲一部分组合风险。由于做空交易机制和以股指期货为代表的金融衍生产品的主要作用即为投资者持有的头寸提供套期保值的功能,因此投资者可以通过卖空金融衍生产品来对冲组合投资的风险,也即如果仅仅是为了不遭受损失,则不需要对组合的未来收益波动进行任何预测就能将其价值稳定在某一个水平。但同时,也需要认识到,做空机制虽然保证了安全性,但同时也损失了收益性,因此做空机制不能对VaR约束完全替代,如何考虑做空交易机制下VaR约束与资产配置优化之间的关系也是值得研究的问题。目前我国已推出了融资融券交易机制和沪深300股指期货合约产品,这也为考虑做空机制下VaR约束与资产配置优化提供了实证分析的数据支持。
(3)引入流动性调整VaR约束的资产配置优化问题。收益率和风险构成了现代资产组合理论量化指标的基础,而实际上流动性长期以来一直未能在组合优化模型中得到有效的应用,一方面在于不同的学者对金融资产流动性问题的认识存在差异,另一方面基于对流动性的认识不能将流动性因素合理量化并引入到组合优化模型中。近年来,一些学者提出了经流动性调整的VaR,如Bangia et.al(1999)提出著名的BDSS模型,这个模型是计算在相对价差影响下的流动性调整的风险值,这个模型主要用来衡量流动性风险问题,但其综合了流动性和风险性两个因素,能够更加有效的将金融资产的收益性、流动性和安全性三大基本属性特征在组合管理时进行有效刻画。当然,Bangia et.al(1999)的BDSS模型提出时并没有经过严格的数学推导,同时对提出的流动性风险指标与价格之间关系的认识也不是很清晰,但其将金融资产的流动性和风险性有效结合起来的思想,为后续的研究提供了研究基础。
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VaR Constraint and the Optimization of Asset
Allocation-Empirical Analysis based on China Stock Market
YaoYawei
(Finance College, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)
Abstract:VaR model is an efficient risk measurement and management tool. This paper analyzes the mean-variance model and its efficiency frontier with the introduction of VaR constraint under the assumption that the return rate is subject to normal distribution. Under certain confidence level and according to the real distribution of return, accordingly this paper presents the econometric model of maximum expected return subject to VaR
constraint and the investment strategy choice and does an empirical research on them by using the data of China stock market.
Key words:value at risk;mean-variance model; asset allocation
(责任编辑:张丹郁)
[关键词]风险价值;均值—方差模型;资产配置
[中图分类号] F832.5 [文献标识码] A [文章编号] 1673-0461(2010)08-0092-06
[收稿日期]2010-02-03
[基金项目]上海师范大学博士人才引进基金项目( PW921)资助。
[作者简介]姚亚伟(1981-), 男,河南漯河人,金融学博士,上海师范大学金融学院讲师,主要研究方向:组合投资管理、流动性。
一、引言
Markowitz(1952)提出的均值—方差模型奠定了现代资产组合的理论基础,通过将风险定义为证券收益率的方差,Markowitz提出投资者可通过分散化组合投资,在不损失期望收益的同时降低风险。随着组合理论在实务投资领域的应用越来越广泛,模型提出的风险测度方法已不能满足金融管理机构和投资者的多样化风险管理需求,一些学者分别从不同的视角对均值-方差模型进行了修正。在已有研究文献提出的模型修正方法中,大致可归为两类:一类是对均值-方差模型中的收益或风险测度指标进行修正,如Mao(1970)认为投资者在期望收益两侧的风险感受不对称,提出了均值—下半方差模型,修正的依据主要是基于投资者对客观风险的认知;Konno和 Suzuki(1995)最早提出均值—方差—偏度模型,模型以投资组合的预期收益以及绝对方差作为限制条件,以投资组合的偏度最大值为目标,修正的依据主要是基于目前很多研究成果均表明金融资产的收益率具有明显的“尖峰、厚尾”特征,而期末收益率在期末期望收益率处泰勒展开式的二阶矩、三阶矩和四阶矩分别可表征期末收益的风险、峰度和偏度特征,高阶矩体现了投资者对收益率分布的偏好。另一类方法主要是在均值—方差模型中加入条件约束来进行组合优化求解,Roy(1952)、Arzac和Bawa(1977)提出了加入一个“在投资期末组合的价值损失比预设的损失水平低的概率小于某一值”的约束条件,Lucas 和Klaassen(1998)、Leibowitz 和Kogelman(1991)也分别提出“在一定时间区间和给定置信水平下,投资者应当获得的最低收益”的损失约束,然后在满足给定约束下最大化组合的期望收益。尽管利用损失约束的概念与投资者对风险的认知更加一致,但由于损失概率、最小收益、置信区间等都很难准确的具体量化导致其应用受到限制。
VaR(Value at Risk)方法最早是由G-30人小组1993年在《衍生产品的实践和规则》研究报告中提出的,随后被国际清算银行接受并体现在《巴塞尔协议》中,J.P.摩根集团也于1994年在 的基础上建立了信息系统Risk Metric,随后VaR模型的应用从商业银行领域转向证券市场的投资管理中。对VaR模型的理解和认识,一般认为是在一定的期间内,在一定置信水平或概率条件下,单个头寸或组合潜在的最大损失(Joroin,1997)。Mausser 和 Rosen(2001)、Joroin(1997)等分别用历史模拟法和Montel Carlo模拟法估算了满足 条件下的资产组合选择优化问题。但由于 不满足次可加性公理,意味着在某些条件下拒绝资产组合风险分散化原理,Pflug(2000)、Rockafellar和Uryasev(2000,2002)、Acerbi和Tasche(2002)先后提出条件风险价值(Conditional-VaR )作为风险的度量来对VaR进行修正,将CVaR定义为损失超过VaR部分的条件期望,只考虑下侧风险(downside risk)。在VaR和CVaR研究的基础上,Rockafellar和Uryasev(2000),Anderson et al.(2000)考虑了CVaR作为风险测度的资产组合优化问题,并证明了CVaR是一个凸函数。Alexander(2002) 等人分析了将CVaR作为风险管理目标的单期资产配置模型。姚京等(2004)建立了用VaR代替方差作为风险的测量指标的均值— 模型,同时考虑了存在无风险资产、负债和非正态分布的情形。这些国内外学者对VaR模型应用于组合优化提供了思路和方法,但一般是基于在组合收益率服从正态分布的假设下展开的应用性研究,没有系统的讨论VaR约束作用下的组合有效边界,对当实际收益率分布特征非正态时的组合优化问题还有待进一步深入研究。
本文基于VaR模型的思想,研究分为两个层次:第一个层次,在假设组合的收益率服从正态分布的前提下,将VaR引入到均值—方差模型中,并进行组合的优化求解;第二个层次,在一定置信水平下,把假设组合收益率服从正态分布时VaR值作为投资者期望的最大损失值,结合组合收益率的实际分布特征,通过求解投资者最大化期望收益来进行的资产优化配置和投资策略的选择。
二、引入VaR的均值—方差模型
组合投资的数学本质是求解在满足一定约束下的条件极值问题,若不考虑投资者的风险厌恶和效用函数,均值-方差有效边界上的任意一点都是投资者可获得收益与需要承担风险的有效均衡,组合优化就转化成为满足收益一定(风险一定)条件下组合风险最小(收益最大)问题,通过设计指标对每个均衡点的风险—收益特征进行比较,如夏普比率等,来确定组合的最优化。在均值—方差模型中引入的VaR约束,相当于综合了组合的收益和风险的一个约束条件,并在此约束条件下求解组合的最优化问题。
对VaR值的计算目前主要有三种方法:方差—协方差法、历史模拟法和Monte Carlo模拟法。方差—协方差法需要对组合收益率的分布做出假设,一般假设为正态分布;历史模拟法不需要对组合收益率的分布做出假设,而是依据给定置信水平下组合收益率频率分布的分位数值来计算,即用收益率的历史分布来代替收益率的真实分布来求解资产组合的VaR值; Monte Carlo模拟法通过对资产组合的不同分布情景进行模拟来确定一定时期内不同情形下的资产组合值,是计算 的各种方法中最有效的方法。本文对VaR引入到均值—方差模型的中计算仍主要采用前两种计算方法,而未选择Monte Carlo模拟法,原因在于:一方面,Monte Carlo模拟法应用的前提是各种情景发生的概率可以合理估计,比较适合于商业银行风险管理,而证券市场上股票价格的涨跌及影响因素难以合理估计和量化,用Monte Carlo模拟法分析的偏差可能较大;另一方面,已有的研究结果表明国内外的证券市场是弱式有效或无效的,这意味着证券市场可能“历史会重]”,过去的信息能够对未来的价格产生影响,而方差-协方差方法、历史模拟法则相对比较有效。
(一)VaR模型思想数学表达
设投资期限为T,资产组合在期间内的收益率为Rp,且Rp～N( μ,σp),c为给定的置信水平,根据VaR的定义:
举例说明,若投资期限为100日,置信区间为99%的VaR,意味着未来的100日内遭受最大损失超过VaR临界值的可能性最多只有1次。由方程(1)可知,VaR的值也即在投资区间T的最差情况下的期望损失,而由于VaR水平的设定一般与所选择的持有期和置信水平有关,VaR也反映了投资者的风险厌恶水平。
设Φ-1(1-c)为给定置信水平c下标准正态分布的左侧分位点值,由方程(1)可得:
=Φ-1(1-c)→VaR =μ+Φ-1(1-c) σp (2)
在投资期限T内,设投资者的初始财富为Wo,投资者最坏情况下的损失为:
WVaR= W0( μ+Φ-1(1-c) σp )(3)
由方程(3)可知,风险价值主要与资产组合的期望收益率、置信水平、持有期财富的波动率有关。期望收益率越高,风险价值越高;由于所选的置信区间c一般为95%、97.5%和99%,所以Φ-1(1-c) 一般为负值,且c越高,Φ-1(1-c)的值越小,风险价值就越小;波动率越大,VaR的值也越小。
(二)VaR约束下的均值—方差模型
在均值-方差模型中引入VaR约束,相当于增加了对组合收益最低值的约束条件,引入VaR的均值-方差模型可修正为:
minσ2p=X'ΣX
st.μ=XE(R)X'I=1Rp>VaR=μ+Φ-1(1-c)σp
或
maxμ=X'E(R)
st.σ2p=X'ΣXX'I=1Rp>VaR=μ+Φ-1(1-c)σp (4)
其中,R=(R1,R2,…,RN)'是组合中不同资产的收益率、X=(X1,X2,…,XN)'是组合中不同资产的权重向量;Σ=(σij)N×N是组合中N种资产间的协方差矩阵。
由于VaR是根据整个组合的风险和收益情况计算的,在考虑加入VaR约束的有效边界时,可以通过首先求解不考虑VaR的有效边界,然后通过引入Rp>VaR=μ+Φ-1(1-c)σp的约束条件使有效边界范围缩小。在这里,组合的收益和风险在有效边界上的不同点上均衡时,对应的VaR约束也不同,因此在有效边界求解中引入的VaR约束实质上是一系列斜率为-Φ-1(1-c)、截距不同的系列约束线,有效的VaR约束是经过在组合有效边界上取得最优解点的约束线。
通过拉格朗日乘法求解均值-方差模型的有效边界,以方程(4)中的第一个模型作为分析对象,构建拉格朗日乘数方程:
效在VaR约束下,模型的解集在σ-Rp空间是图1中实线部分的抛物线,即投资组合的有效前沿。而VaR约束线也即为经过有效前沿上风险收益最大化点处的直线(见图1)。
三、 VaR约束下组合资产配置的优化
投资者在VaR约束下进行投资决策时,往往需要对未来的损失进行预期估计,这个预期损失一般是采用历史模拟法在假设未来收益率服从正态分布时的分位值来进行估算的,而收益率的实际分布往往不是随机的,这需要利用经验数据的实际分位数来确定。在一定置信水平下,预期损失值与实际损失值往往不同,为达到实现投资者预期的损失约束,往往在实际投资时需要进行资金的借入或借出。通过资金的借入借出可保证当组合实际损失与预期损失之间有差异时资产配置比例保持不变,有利于投资的连续性和稳定性,对冲由于条件约束限制导致的被动操作而带来的风险。
由于VaR在一定程度上反映了投资者持有组合的风险,在考虑VaR的组合管理时,可通过最大化期望收益的最大化作为目标。
假设在T时期内,投资者可以以无风险利率
rf在市场中进行资金自由借贷,设投资者期初可自由借贷的资金为B(B>0表示资金借入),并在期初将资金全部配置于证券组合中,Xi表示投资在风险资产i上的比例,且满足X=1 ,Pi,0表示风险资产i在期初的价格,则投资者的期初组合满足:
方程(13)将投资者的组合资产配置问题转化为投资者需要借入或借出多少资金来实现最终期望财富水平最大化的问题。
用WT表示投资期间内的资产组合价值,设投资者在置信水平c下预期的最大损失为VaR*,则有:Pr{≤VaR*}≤ 1-c(14)
由投资者T时期内投资收益Rp可得出投资者期末的财富为:
WT=W0(1+Rp)+(XiPi,0-W0)(Rp-rf)(15)
将方程(15)代入方程(14),可推得:
由方程(17)可知,若组合的实际收益率服从正态分布,则有VaR*=Φ(1-c),则组合的优化问题与投资者的预期一致,即在承受最大损失为VaR*风险下,投资者可获得的期末期望回报率为μ ,同时不需要进行借贷。但大多数情况下,VaR*与Φ(1-c)是不相等的,此时投资者要考虑是否进行无风险借贷等策略以满足其对最大损失的条件约束。将方程(17)代入方程(15),则有:
由方程(19)可知,投资者期末财富收益最大化的确定与两个临界值有关:一是投资者设定的最低风险水平,即预期损失VaR ;二是组合收益率的实际分布特征,即投资者依据风险偏好选择的置信水平及不同置信水平下的分位数。由方程(19)还可知,初始财富仅是对投资决策最大化的一个尺度指标,因此进行资产配置的过程与财富大小无关。而方程(19)也可解释为投资者的收益为投资者进行组合投资获得的无风险收益与遭受风险而获得的期望风险贴水之和,这个期望风险贴水以投资者面临的期望风险水平(r-VaR)与实际风险水平(rf-Φ(1-c))之间的相对比值作为调整系数。投资者的期望收益最大化等价于:
当组合中仅包括单一资产时,在一定置信水平下,VaR*、Φ(1-c)的值都比较容易确定。但组合中包括两种以上资产时,由于涉及到组合优化时不同资产权重分配的问题,VaR*、Φ(1-c) 在一定置信水平下的分位数值变得不确定。S(p)指标将假设期望收益正态分布与实际收益非正态分布之间的差异同时表征出来。当在一定置信水平下,实际收益分布的分位数与预期假设正态分布分位数之间有差异时,投资者可以通过借入或借出资金来满足预期的损失约束来最优化其组合,将方程(19)代入方程(13),投资者需借入或借出的资金为:
四、基于经验数据的最优资产配置分析
本文构建一个由股票、债券和无风险资产所构建的组合,这基本上可以反映组合投资中资产配置类别的构成。选取上证指数代表股票类资产、企债指数代表债券类资产、国债指数代表无风险收益资产,利用上证指数和企债指数作为风险资产构建最优组合,而将国债指数的收益率作为基准无风险收益率。选取样本区间为2007年1月1日至2008年12月31日的日交易数据,每个样本均有488个收益时间序列数据。在进行实证分析时,由于样本区间内中国股票市场出现了“暴涨暴跌”的市场状况,将样本区间分解为两个子区间,即2007.1.4～2007.12.28和2008.1.2～2008.12.31,分别反映中国股票市场单边上涨和单边下跌下投资者在 约束下期望收益最大化时的资产配置策略。
由表1可知,从收益指标看,上证指数与债券指数的日平均收益在样本区间内呈现“互补”,但上证指数收益率的波动率显著高于债券指数;从峰度指标看,无论在整个样本区间,还是子样本区间,上证指数和债券指数日收益率的峰度值均大于3,存在“尖峰厚尾”的特征;而从JB(Jarque-Bera) 正态检验统计量值的结果看,三个指数的日收益率在整个或子样本区间的概率分布均拒绝正态分布的假设。
在利用VaR约束进行分析时,需要考虑资产组合的持有期和置信水平的选择。在选择持有期时,持有期太短容易导致监控成本太高;而持有期太长不利于及早发现潜在风险,一般选择为1天。置信水平主要反映投资主体对风险的厌恶程度,置信水平越高,厌恶风险的程度越大。置信水平不同计算出的 值也不同,本文选取的置信水平分别为95%,97.5%和99%。
下面利用Excel规划求解的方法对满足方程(20)求最优解,在规划求解的约束条件里,参照目前纯股票型开放式基金资产配置中对股票和债券配置的比例约束,即上证指数配置的权重[0.60,0.95],企债指数配置的权重[0,0.40],对股票和债券的配置权重约束隐含了不允许卖空条件。表2为在不同的置信水平下和不同的样本区间内,通过规划求解求得最优化解时的相关指标情况。
由表2可知,无论在整体区间或子区间,置信水平越高,VaR*、Φ(1-c)的值越小。同时,比较在不同置信水平下VaR*和Φ(1-c)之间的大小,当在一定置信水平下,组合收益实际分布的分位点值大于投资者期望假设正态分布时的分位点值时,投资者需要借入资金;反之,投资者需要借出资金,以满足投资者的期望最大损失要求。
同时,从表2中可发现,在某一区间内不同的置信水平下,方程取得最优解时资产配置的权重比例基本相等,由于通过无风险利率的借贷可使组合的收益不同,但组合的风险不变。产生这种结果的原因主要有两个:一是方程优化求解目标是期望收益的最大化,用风险价值替代了组合风险指标,组合之间的协方差效应仅对VaR*值的确定有影响,而对Φ(1-c)基本没有影响;二是由于仅选择两种投资产品,而在样本区间内这两种资产之间的收益之间差异较大,导致在追求期末财富收益最大化时,往往最高比例的配置在收益高的资产。这也是利用 模型进行组合资产配置优化分析时的不足之处。
五、结束语
一些学者提出了若要求商业银行采用统一风险控制标准可能导致风险管理的无效性的观点(Persuad,2003),即如果使用VaR模型作为止损控制风险的工具,若市场出现风险恶化,由于止损约束而进行被动操作反而会进一步加剧市场风险恶化;而若市场处于平稳交易中,则利用VaR进行风险控制就失去了意义。但在证券投资组合管理的过程中,由于投资者的异质性,不同投资者构建的组合也不相同,利用VaR模型对单个投资者的日常管理还是有积极作用的。
本文在假设组合未来收益率服从正态分布的前提下,探讨了引入VaR约束时组合有效边界的解集;以投资者期望财富收益最大化为目标,采用历史模拟法的思想,在一定的置信水平下,将未来收益分布正态假设下的分位点值作为投资者期望的最大损失,结合组合收益实际分布的分位点值,推导出满足投资者期望财富收益最大化时的目标函数,并求解出在满足投资者财富收益最大化时,因实际收益分布的分位点值与投资者期望最大损失之间的差异来对投资者在无风险利率市场进行资金借贷的操作策略提供指导,简化了组合优化的过程。通过利用中国证券市场的数据实证分析表明,上证指数和企债、国债指数的收益率分布均呈现“尖峰厚尾”的非正态分布特征,投资者不能对组合收益率的实际分布特征进行有效判断,但可通过假设未来组合收益服从正态分布下结合自身风险厌恶水平(置信水平的选择)来对未来的最大损失进行预期,并结合实际收益率分布来调整资产配置策略,这也为在我国采于基于 的资产配置方法提供了应用性的依据。
对于引入VaR的均值-方差模型及其在资产配置中的应用研究,结合目前我国资本市场的现状,未来可从以下几个方面展开:
(1)市场资金的借入利率高于借出利率情况下的推广。在本文的分析中,我们提出通过比较组合收益实际分布的分位点值与期望假设正态分布时的分位点值之间的差异,投资者可以选择以无风险利率借入或借出资金的策略。而在实际投资中,投资者借入资金的利率往往高于借出资金的利率,这就意味着投资者构建的组合有效边界会发生变化,资产配置的优化及投资策略也因而需进行相应的调整。
(2)做空机制与VaR约束在资产配置优化中的作用替代。如果没有卖空交易机制,或没有可供做空的金融产品,那么当组合实际收益与预期的VaR值不一致时,投资者为保持组合资产配置结构不发生变化,将会选择从市场上借入或借出资金。而若市场允许做空,投资者则可以通过做空机制对冲一部分组合风险。由于做空交易机制和以股指期货为代表的金融衍生产品的主要作用即为投资者持有的头寸提供套期保值的功能,因此投资者可以通过卖空金融衍生产品来对冲组合投资的风险,也即如果仅仅是为了不遭受损失,则不需要对组合的未来收益波动进行任何预测就能将其价值稳定在某一个水平。但同时,也需要认识到,做空机制虽然保证了安全性,但同时也损失了收益性,因此做空机制不能对VaR约束完全替代,如何考虑做空交易机制下VaR约束与资产配置优化之间的关系也是值得研究的问题。目前我国已推出了融资融券交易机制和沪深300股指期货合约产品,这也为考虑做空机制下VaR约束与资产配置优化提供了实证分析的数据支持。
(3)引入流动性调整VaR约束的资产配置优化问题。收益率和风险构成了现代资产组合理论量化指标的基础,而实际上流动性长期以来一直未能在组合优化模型中得到有效的应用,一方面在于不同的学者对金融资产流动性问题的认识存在差异,另一方面基于对流动性的认识不能将流动性因素合理量化并引入到组合优化模型中。近年来,一些学者提出了经流动性调整的VaR,如Bangia et.al(1999)提出著名的BDSS模型,这个模型是计算在相对价差影响下的流动性调整的风险值,这个模型主要用来衡量流动性风险问题,但其综合了流动性和风险性两个因素,能够更加有效的将金融资产的收益性、流动性和安全性三大基本属性特征在组合管理时进行有效刻画。当然,Bangia et.al(1999)的BDSS模型提出时并没有经过严格的数学推导,同时对提出的流动性风险指标与价格之间关系的认识也不是很清晰,但其将金融资产的流动性和风险性有效结合起来的思想,为后续的研究提供了研究基础。
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VaR Constraint and the Optimization of Asset
Allocation-Empirical Analysis based on China Stock Market
YaoYawei
(Finance College, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)
Abstract:VaR model is an efficient risk measurement and management tool. This paper analyzes the mean-variance model and its efficiency frontier with the introduction of VaR constraint under the assumption that the return rate is subject to normal distribution. Under certain confidence level and according to the real distribution of return, accordingly this paper presents the econometric model of maximum expected return subject to VaR
constraint and the investment strategy choice and does an empirical research on them by using the data of China stock market.
Key words:value at risk;mean-variance model; asset allocation
(责任编辑:张丹郁)