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[摘要]介绍了病态矩阵产生的原因，正则化原理及确定正则化参数的L曲线法，用一组数据分别采用直接二次拟合内插与正则化处理的二次拟合生成DEM，结果表明经过正则化处理生成的内插DEM更能准确反映地面起伏形态。
[关键词]病态矩阵 正则化 DEM
[中图分类号] P2 [文献码] B [文章编号] 1000-405X（2014）-11-239-2
1引言
在测量数据的处理中，由于观测量比较多，观测值所组成的矩阵常为病态，对病态方程组进行解算时，其解算的值与真实值相差很大，会导致最终的成果质量降低且极不可靠[4]。对病态矩阵的解算有许多学者进行了研究并提出了很多方法，如岭估计法、TIKHONOV正则化法[1]、截断奇异值法[2]、最小二乘平方根法等，虽然这些方法都存在不同程度的缺点，但能够减少病态矩阵的影响，提高了解算的准确性。由于正则化方法相对其他方法优点更明显，本文用TIKHONOV正则化法对在生成DEM中的病态矩阵进行解算。
2病态矩阵的本质
2.1最小二乘原理[3]
对于线性化参数模型为：L=AX+△ （1）
式中A为系数矩阵；X为待估参数向量；L为观测向量；△为误差向量；△～N（0，σ■P-1）。用误差方程表示为V=A■-L。依据最小二乘原理 ，求解得法方程为ATPV=min，其中 ， ，最小二乘解为■=（ATPV）-1ATPL。
2.2病态产生的原因
当A和L同时有误差时，即δA、δL，相应的解的误差为δ■，式（1）可变为L+δL=（A+δL）（■+δ■） （2）
根据矩阵和向量范数的定义并用向量范数的三角不等式及相容条件得■≤■（■+■） （3）
其中condA=AA-1，“ ”为向量或矩阵的2范数， cond（）为矩阵的条件数。
2.3病态程度的判别条件
condN=NN-1，（其中N=ATPA，P可取单位向量I）这种方法能够有效地判断出方程是否病态，较为常用[3]。可以定量表示出来，当条件数小于100时为良态；当介于100至1000之间为病态；当大于1000时为严重病态。
3正则化方法
3.1正则化原理
对于线性化模型式（1），根据Tikhonov正则化方法[1]，其估计准则为：A■-L+λΩ（■） （4）
式中■为X估计值；λ为正则化参数；Ω（■） 为稳定泛函[4]。
一般Ω（■） 选取等价于■ TH■），对式（5）有
A■-L2 +λ2H■2 =min （6）
式中 为正则化矩阵，结合式（1）并对（6）式求导得
■=（ATA+λ2LTL）-1ATL（7）
3.2正则化参数的确定
正则化参数的可以用L曲线法进行确定，L曲线法的原理为以残余范数A■-L为横坐标，以正则化解范数■为纵坐标，画一条二维曲线图，该曲线图常形如L，因此称为L曲线图，L曲线上曲率最大的那个点就是所要求的正则化参数。常通过求（lgA■-L，lg■）绘制成的曲线的最大曲率来进行确定的[5]。令■=lgη=2lg■， ■=lgρ=2lgA■-L，用■、■、■″、■″ 分别表示■， ■的一阶与二阶导数，则L曲线的曲率k的计算公式为：
求得式（8）的最大值k，进而求得正则化参数[4-5]。
4在实例中应用
在内插生成DEM时，选取的二次曲面模型为：
Z=AX2+BXY+CY2+DX+EY+F （9）
式中，A、B、C、D、E、F为待定参数，X、Y、Z为已知点的坐标[6]。
由n个地面观测点列出的误差方程为V=MX-Z其中V=[V1 V2 K Vn]′，X=[A B C D E F]′， Z=[Z1 Z2 ∧ Zn]′
根据最小二乘理论，二次曲面系数解为，X=[MTPM]-1MTPZ。实验数据见表1。
经计算得内插中一个Mi的条件数为2.8519×1017，可知道方程病态达到非常严重的程度。
用两种方法进行病态方程的解算，用解算的■与真值X之差的范数X进行比较，可知经过正则化处理的X要小于未经处理的X。
5结语
（1）在用移动二次曲面拟合内插生成DEM中，内插生成高程点是直接用最小二乘方法解算的，当矩阵为病态时，造成解算的高程点不准确。（2）用正则化方法可以有效减弱病态矩阵的影响，使解的估计值接近真实值[4]。用正则化方法处理后内插生成的DEM比直接生成DEM更平滑，能够很好地表现出地表地形起伏。
Ill-conditioned Matrix Regularization Method Used in Generating the DEM
LI junbao ，DAN li，LIU botao
参考文献
[1]Tikhonov A N，Arenin V Y.Solutions of ill-posed problems[M].New York ：Wiley，1977.
[2]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2001.
[3]吴杰，李明峰，余腾.测量数据中病态矩阵和正则化方法[J].大地测量与地球动力学，2010，30（4）：104-105.
[4]范千，方绪华，范娟.病态问题解算的直接正则化方法比较[J].贵州大学学报（自然科学版），2011，28（4）：29-32.
[5]王振杰，欧吉坤.用L曲线法确定岭估计中的岭参数[J].武汉大学学报（信息科学版），2004，29（3）：235-238.
[6]李胤，杨武年，杨容浩等.基于移动曲面拟合算法和加权平均算法的DEM内插算法改进[J].测绘，33（4）：168-171.
[关键词]病态矩阵 正则化 DEM
[中图分类号] P2 [文献码] B [文章编号] 1000-405X（2014）-11-239-2
1引言
在测量数据的处理中，由于观测量比较多，观测值所组成的矩阵常为病态，对病态方程组进行解算时，其解算的值与真实值相差很大，会导致最终的成果质量降低且极不可靠[4]。对病态矩阵的解算有许多学者进行了研究并提出了很多方法，如岭估计法、TIKHONOV正则化法[1]、截断奇异值法[2]、最小二乘平方根法等，虽然这些方法都存在不同程度的缺点，但能够减少病态矩阵的影响，提高了解算的准确性。由于正则化方法相对其他方法优点更明显，本文用TIKHONOV正则化法对在生成DEM中的病态矩阵进行解算。
2病态矩阵的本质
2.1最小二乘原理[3]
对于线性化参数模型为：L=AX+△ （1）
式中A为系数矩阵；X为待估参数向量；L为观测向量；△为误差向量；△～N（0，σ■P-1）。用误差方程表示为V=A■-L。依据最小二乘原理 ，求解得法方程为ATPV=min，其中 ， ，最小二乘解为■=（ATPV）-1ATPL。
2.2病态产生的原因
当A和L同时有误差时，即δA、δL，相应的解的误差为δ■，式（1）可变为L+δL=（A+δL）（■+δ■） （2）
根据矩阵和向量范数的定义并用向量范数的三角不等式及相容条件得■≤■（■+■） （3）
其中condA=AA-1，“ ”为向量或矩阵的2范数， cond（）为矩阵的条件数。
2.3病态程度的判别条件
condN=NN-1，（其中N=ATPA，P可取单位向量I）这种方法能够有效地判断出方程是否病态，较为常用[3]。可以定量表示出来，当条件数小于100时为良态；当介于100至1000之间为病态；当大于1000时为严重病态。
3正则化方法
3.1正则化原理
对于线性化模型式（1），根据Tikhonov正则化方法[1]，其估计准则为：A■-L+λΩ（■） （4）
式中■为X估计值；λ为正则化参数；Ω（■） 为稳定泛函[4]。
一般Ω（■） 选取等价于■ TH■），对式（5）有
A■-L2 +λ2H■2 =min （6）
式中 为正则化矩阵，结合式（1）并对（6）式求导得
■=（ATA+λ2LTL）-1ATL（7）
3.2正则化参数的确定
正则化参数的可以用L曲线法进行确定，L曲线法的原理为以残余范数A■-L为横坐标，以正则化解范数■为纵坐标，画一条二维曲线图，该曲线图常形如L，因此称为L曲线图，L曲线上曲率最大的那个点就是所要求的正则化参数。常通过求（lgA■-L，lg■）绘制成的曲线的最大曲率来进行确定的[5]。令■=lgη=2lg■， ■=lgρ=2lgA■-L，用■、■、■″、■″ 分别表示■， ■的一阶与二阶导数，则L曲线的曲率k的计算公式为：
求得式（8）的最大值k，进而求得正则化参数[4-5]。
4在实例中应用
在内插生成DEM时，选取的二次曲面模型为：
Z=AX2+BXY+CY2+DX+EY+F （9）
式中，A、B、C、D、E、F为待定参数，X、Y、Z为已知点的坐标[6]。
由n个地面观测点列出的误差方程为V=MX-Z其中V=[V1 V2 K Vn]′，X=[A B C D E F]′， Z=[Z1 Z2 ∧ Zn]′
根据最小二乘理论，二次曲面系数解为，X=[MTPM]-1MTPZ。实验数据见表1。
经计算得内插中一个Mi的条件数为2.8519×1017，可知道方程病态达到非常严重的程度。
用两种方法进行病态方程的解算，用解算的■与真值X之差的范数X进行比较，可知经过正则化处理的X要小于未经处理的X。
5结语
（1）在用移动二次曲面拟合内插生成DEM中，内插生成高程点是直接用最小二乘方法解算的，当矩阵为病态时，造成解算的高程点不准确。（2）用正则化方法可以有效减弱病态矩阵的影响，使解的估计值接近真实值[4]。用正则化方法处理后内插生成的DEM比直接生成DEM更平滑，能够很好地表现出地表地形起伏。
Ill-conditioned Matrix Regularization Method Used in Generating the DEM
LI junbao ，DAN li，LIU botao
参考文献
[1]Tikhonov A N，Arenin V Y.Solutions of ill-posed problems[M].New York ：Wiley，1977.
[2]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2001.
[3]吴杰，李明峰，余腾.测量数据中病态矩阵和正则化方法[J].大地测量与地球动力学，2010，30（4）：104-105.
[4]范千，方绪华，范娟.病态问题解算的直接正则化方法比较[J].贵州大学学报（自然科学版），2011，28（4）：29-32.
[5]王振杰，欧吉坤.用L曲线法确定岭估计中的岭参数[J].武汉大学学报（信息科学版），2004，29（3）：235-238.
[6]李胤，杨武年，杨容浩等.基于移动曲面拟合算法和加权平均算法的DEM内插算法改进[J].测绘，33（4）：168-171.