本题主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力,考察导数与不等式的综合,不等式的放缩,含字母较多,不易找到突破口,有较强的技巧性。本文主要研究(II)问,这一问考生不易得分,有一定的区分度。下面结合考生答卷情况从五个角度,剖析解题过程,阐述解题的得与失。
　　(2009全国卷Ⅰ理)设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2]
　　(I)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;
　　(II)证明:-10f(x2)-12
　　原解答如下:
　　分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。
　　大部分考生有思路并能够得分。 f′(x)=3x2+6bx+3c由题意知方程f′(x)=0有两个根x1、x2
　　且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].则有f′(-1)0,f′(0)0,f′(1)0,f′(2)0故有
　　2b-c-10c02b+c+104b+c+40
　　下图中阴影部分即是满足这些条件的点(b、c)的区域。
　　(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标f(x2)=x23+3bx22+3cx2中的b,(如果消c会较繁琐)再利用x2的范围,并借助(I)中的约束条件得c∈[-2,0]进而求解,有较强的技巧性。
　　解:由题意有f′(x2)=3x22+6bx2+3c=0............①
　　又f(x2)=x23+3bx22+3cx2 ............②
　　消去b可得f(x2)=-12x23+3c2x2.
　　又∵x2∈[1,2],且c∈[-2,0]
　　∴-10f(x2)-12
　　补充解法:
　　补充解法1. 由题意有f′(x2)=3x22+6bx2+3c=0 ............①
　　又f(x2)=x23+3bx22+3cx2..................②
　　由①3bx22=-32x23-32cx2,代入②
　　消去b可得f(x2)=-12x23+3c2x2.
　　又∵x2∈[1,2],且c∈[-2,0]
　　-10-4+3cf(2)f(x2)f(1)=-12+3c2-12
　　∴-10f(x2)-12
　　评注:消去b,两次放缩,有较强的技巧性。
　　补充解法2. 由题意有f′(x2)=3x22+6bx2+3c=0 ............①
　　又 f(x2)=x23+3bx22+3cx2...................②
　　由① 3cx2=-3x23-6bx22,代入②
　　消去c,f(x2)=-2x23-3bx22,∵-1b0,
　　∴0-3bx223x22
　　-16-2x23f(x2)-2x32+3x22
　　f(x)=-2x3+3x2,f′(x)=-6x2+6x,知f(x)=-2x3+3x2在x∈[1,2]递减
　　∴-16f(x2)f(1)=1
　　评注:消去c,两次放缩,放缩过头,无法彻底完成。
　　补充解法3. 函数f(x)=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].
　　结合导函数图像知,f(x)在x∈[x1,x2]上递减,且1∈[x1,x2],-1b0,-2c0
　　∴f(x2)f(1)=1+3b+3c1
　　(如果f(x2)f(2)=8+12b+6c8就更大)。
　　如果利用线性规划继续考虑,令z=b+c,c=-b+z,结合图像知,当过-12,0时Z最大,Zmax=12,f(x2)f(1)=1+3b+3c1-32=-12
　　评注:利用单调性与线性规划解答,只能完成右端的证明,无法完成左端的证明。
　　根据评卷情况,考生用此法的较多,本题区分度较大。
　　补充解法4.由解法3得到启发,用线性规划解答
　　f(x2)=x23+3bx22+3cx2 令z=x23+3bx22+3cx2对b,c利用线性规划
　　
　　c=-bx2+z-x233x2,截距越大z越大,截距越小z越小,又斜率k=-x2,k∈[-2,-1]
　　2b+c+1=0,k=-2;4b+c+4=0,k=-4结合图像知
　　z=x23+3bx22+3cx2过-12,0时z最大,过-12,-2时z最小
　　∴x23-32x22-6x2zx23-32x22,
　　既:x23-32x22-6x2f(x2)x23-32x22
　　令:g(x)=x3-32x2-6x,φ(x)=x3-32x2
　　g′(x)=3x2-3x-6,φ′(x)=3x2-3x
　　g(x)在x∈[1,2]递减,φ(x)在x∈[1,2]递增
　　-10=23-32•22-6•2x23-32x22-6x2f(x2)x23-32x2223-32•22=2
　　评注:利用线性规划解答,只能完成左端的证明,无法完成右端的证明。
　　补充解法5.利用韦达定理与函数的单调性
　　x1、x2是f′(x)=3x2+6bx+3c=0的两根
　　x1+x2=-2b,x1x2=c
　　f(x2)=x32+3bx22+3cx2=x32-32(x1+x2)x22+3x1x22=-12x23+32x1x22
　　对x2求导,f′(x2)=-32x22+3x1x2=-32x2(x2-2x1)=0
　　x2=0,x2=2x1,而-22x10∴f(x2)在x2∈[1,2]递减
　　-10-4+6x1f(2)f(x2)f(1)=-12+32x1-12
　　评注:利用函数f(x2)的单调性时要把x2看作变量,x1看作常量,这是一种完整的解法。
　　总评:五个解法,只有解法一与解法五可完整解答。可见本题有较强的技巧性。