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纵观近几年高考,可以发现试卷对本章节考查一般为3-4个小题和1-2个大题.试题覆盖面广,难度以中档题为主.出现概率较高的内容有集合的概念与运算,函数的图像与性质、基本初等函数、函数与方程及函数的模型及其应用.笔者认为在复习中应抓好以下两个方面:一是夯实基础.根据教学要求与考试要求,完成对所学内容的回顾与梳理,完善整个知识结构.二是提高认识.从高中数学整体的角度去理解集合基础性与函数重要性,理解用基本的集合语言描述数学对象的简洁性和准确性,理解函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,理解函数思想与方法在解决变量问题中的重要地位,逐步学会运用函数思想处理数学问题及现实生活中的简单问题,提高对数学本质的认识.下面我们从知识考点入手谈谈对集合与函数复习的思考与认识.
考点1 集合与运算
(1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,ba,b},则b-a= .
解答:由{1,a+b,a}={0,ba,b},得a≠0,a+b=0故a=-b,ba=-1,b=1,a=-1.
则b-a=2.
评析:本题立意高,思维宽泛,要求学生首先理解两个集合的相等的意义,并从中做出判断a≠0,a+b=0,其次再通过运算得出a=-b,ba=-1,b=1,a=-1.最后求出结果.本题主要考查了集合中元素的互异性、运算推理能力及分类讨论的数学方法.建议学生对此类题给予关注.解题时,要在审题上下功夫,弄清题意后再进行解题.
(2)已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},CuB∩A={9},则A= .
解答:根据题意用Venn图的方法帮助理解.
因为A∩B={3},所以3∈A,又因为CuB∩A={9},所以9∈A, A= {3,9}.
评析:本题主要考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算,考查了学生借助于Venn图解决集合问题的能力.
此题是常规题,建议学生注意借助Venn图进行解题.
(3)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1 解答:由|x-a|<1得-1 如图
由图可知a+1≥1或a-1≥5,所以a≤0或a≥6.
评析:本题主要考查绝对值不等式的基本解法,集合交集的运算与数形结合的方法.此类题是常规题,对于此类问题的解答,通常可以利用数轴进行,首先做出给定的不含参数的集合图像,再根据条件做出动集合含参数的集合图像,最后利用图像找出参数的限制条件并求出参数的范围,检验时注意验证区间端点是否符合题意.
考点2 函数的有关概念
(1)已知函数f(x)=11-x的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N= .
解答:由题意,得M={x|x<1},N={x|x>-1}.故M∩N={x|-1 评析:本题主要考查学生基本初等函数定义域的求法及求集合的交集的运算.求定义域是最常见的题,建议学生要弄清基本初等函数定义域的要求,计算时要注意所求区间的开闭情况.
(2)已知函数 分别由下表给出:
x123
f(x)131
x123
g(x)321
则f\的值 ;满足f\>g\的x的值 .
解答:由x与g(x)的对应表可得g(1)=3,再由x与f(x)的对应表可得f(3)=1,故f\=1.
由x与f(x)的对应表可得f(2)=3, 由x与g(x)的对应表可得g(2)=2,f\=3,g\=1.故f\>g\,满足f\>g\的 的值为2.
评析:本题的函数以列表的形式给出,考查学生对函数的认识和对数据的处理能力.要求学生从表格中的数据找出对应关系,再根据对应关系求出相应的值.题目不难但有新意,建议学生多加关注.
(3)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(1-x),x≤0f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(2011)的值为 .
解答:由已知得f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,
f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,
f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现,所以f(2011)= f(335×6+1)=f(1)=-1.
评析:本题函数以分段函数的形式给出,考查学生归纳推理,对数计算能力.题型新颖,对思维和计算都有较高的要求.计算f(2011)的值,显然与周期有关,选择从 x=-1出发是解题的难点,建议学生对此类需要赋值计算的问题给予关注.
考点3 函数的图像与性质
(1)已知f(x)=(3a-1)x+4a,x<1logax,x>1是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是 .
解答:由f(x)=(3a-1)x+4a,x<1logax,x>1是(-∞,+∞)上的减函数,得3a-1<00 评析:本题以分段函数形式给出,考查了一次函数与对数函数的单调性,考查了分段函数在(-∞,+∞)上为减函数的性质.容易出错的是漏掉在x=1处3a-1+4a≥loga1的条件.建议学生留意.
(2)已知函数f(x)=|lgx|.若a≠b且,f(a)=f(b),则a+b的取值范围是 .
解答:因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以b=1a或a=b(舍去),所以a+b=a+1a,
不妨设0g(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
评析:本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,学生在做本小题时极易忽视a的取值范围,而利用均值不等式求得a+b=a+1a≥2,从而出现
考点4 函数的综合应用
1.某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件40元;该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为600元,该店应交付的其它费用为每月13200元.
(1)若当销售价p为52元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数;
(2)若该店只安排40名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费品的价格定为多少元?
解答:(1)设该店的月利润为S元,有职工m名.则
S=q(p-40)×100-600m-13200.
又由图可知:q=-2p+140,(40≤p≤58)-p+82(58 所以,
S=(-2p+140)(p-40)×100-600m-13200(40≤p≤58)(-p+82)(p-40)×100-600m-13200(58 由已知,当p=52时,S=0,即(-2p+140)(p-40)×100-600m-13200解得m=50.即此时该店有50名职工.
(2)若该店只安排40名职工,则月利润
S=(-2p+140)(p-40)×100-37200(40≤p≤58)(-p+82)(p-40)×100-37200(58
当40≤p≤58时,求得p=55时,S取最大值7800元.
当58 综上,当p=55时,S有最大值7800元.
设该店最早可在n年后还清债务,依题意,有12n×7800-268000-200000≥0.
解得n≥5.
所以,该店最早可在5年后还清债务,此时消费品的单价定为55元.
评析:本题是函数应用的典型题,要求学生在阅读理解题意后,根据给出的函数图像,建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系——分段函数,然后,通过研究函数解析式,来对问题作出解答.建议学生求解数学应用题在三个方面下功夫:(1)阅读理解,一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.(2)建立模型,即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.(3)解答模型:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.
2.设函数f(x)=|x2-4x-5|.
(1)在区间\上画出函数f(x)的图像;
(2)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2)∪\∪\上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.
解答:(1)
(2)方程f(x)=5的解分别是2-14,0,4和2+14,由于f(x)在(-∞,-1\〗和\上单调递减,在\和\14\〗∪\∪\14,+∞).
由于2+14<6,2-14>-2,∴BA.
(3)\当x∈\时,f(x)=-x2+4x+5.
令g(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)=x2+(k-4)x+(3k-5)
=(x-4-k22)2-k2-20k+364,
因为k>2,所以4-k2<1. 又-1≤x≤5,
①当-1≤4-k2<1,即2 g(x)min=-k2-20k+364=-14\.
由16≤(k-10)2<64,(k-10)2-64<0,得g(x)min>0.
②当4-k2<-1,即k>6时,取x=-1,得g(x)min=2k>0.
由①、②可知,当k>2时,g(x)>0,x∈\.
因此,在区间\上,y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.
评析:本题以二次函数为背景,由研究函数图像着手结合不等式,集合,代数论证编制,重点考查二次函数的图像,闭区间上二次函数的最值及函数值的大小比较等基础知识,考查了数形结合的解题方法.此题综合性强,建议学生对二次函数问题要给予关注.
3.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间\上有零点,求a的取值范围.
解答:若a=0,f(x)=2x-3,显然在\上没有零点, 所以a≠0.
令Δ=4+8a(3+a)=8a2+24a+4=0,解得a=-3±72
①当a=-3-72时,y=f(x)恰有一个零点在\上;
②当f(-1)•f(1)=(a-1)(a-5)≤0,即1 ③当y=f(x)在\上有两个零点时, 则
a>0Δ=8a2+24a+4>0-1<-12a<1f(1)≥0f(-1)≥0或
a<0Δ=8a2+24a+4>0-1<-12a<1f(1)≤0f(-1)≤0
解得a≥5或a<-3-72.
综上所求实数a的取值范围是a>1或a≤-3-72.
评析:本题以一、二次函数为背景,从研究函数的零点个数引入问题.重点考查了学生应用分类讨论的数学方法解决问题的能力,考查了学生对一次函数,二次函数与方程的根的理解,对函数图像的认识.题目简捷但用意深刻,建议学生关注.
4.设a为实数,记函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g(a).
(1)设t=1+x+1-x,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a);
(3)试求满足g(a)=g(1a)的所有实数a.
解答:(1)因为t=1+x+1-x,所以要使t有意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1.
因为t2=2+21-x2∈\,且t≥0,……①
所以t的取值范围是\2,2\〗.
由①得:1-x2=12t2-1,∴m(t)=a(12t2-1)+t=12at2+t-a,t∈\2,2\〗.
(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=12at2+t-a,t∈\2,2\〗的最大值,
因为直线t=-1a是抛物线m(t)=12at2+t-a的对称轴,所以可分以下几种情况进行讨论:
①当a>0时,函数y=m(t),t∈\2,2\〗的图象是开口向上的抛物线的一段,由t=-1a<0知m(t)在t∈\2,2\〗上单调递增,故g(a)=m(2)=a+2;
②当a=0时,m(t)=t,t∈\2,2\〗,有g(a)=2;
③当a<0时,函数y=m(t),t∈\2,2\〗的图象是开口向下的抛物线的一段,
若t=-1a∈(0,2)即a≤-22时,g(a)=m(2)=2,
若t=-1a∈(2,2\〗即a∈(-22,-12)时,g(a)=m(-1a)=-a-12a,
若t=-1a∈(2,+∞)即a∈(-12,0)时,g(a)=m(2)=a+2.
综上所述,
有g(a)=a+2 (a>-12)-a-12a,(-22 (3)当a>-12时,g(a)=a+2>32>2;
当-22 g(a)=-a-12a>2(-a)•(-12a)=2,故当a>-22时,g(a)>2;
当a>0时,1a>0,由g(a)=g(1a)知:a+2=1a+2,故a=1;
当a<0时,a•1a=1,故a≤-1或1a≤-1,从而有g(a)=2或g(1a)=2,
要使g(a)=g(1a),必须有a≤-22,1a≤-22,即-2≤a≤-22,此时,g(a)=2=g(1a).
综上所述,满足g(a)=g(1a)的所有实数a为:-2≤a≤-22或a=1.
评析:本题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解题的关键在于发现f(x)=a1-x2+1+x+1-x中1+x+1-x与1-x2的内在联系用换元法即可,这个联系其本质就是三角中sinQ+cosQ与sin2Q的联系.数学上有很多有关联的东西,需要我们在复学习中给予关注.
(作者:张志超,江苏省中学数学特级教师现任教于南京市第五中学特级教师)
考点1 集合与运算
(1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,ba,b},则b-a= .
解答:由{1,a+b,a}={0,ba,b},得a≠0,a+b=0故a=-b,ba=-1,b=1,a=-1.
则b-a=2.
评析:本题立意高,思维宽泛,要求学生首先理解两个集合的相等的意义,并从中做出判断a≠0,a+b=0,其次再通过运算得出a=-b,ba=-1,b=1,a=-1.最后求出结果.本题主要考查了集合中元素的互异性、运算推理能力及分类讨论的数学方法.建议学生对此类题给予关注.解题时,要在审题上下功夫,弄清题意后再进行解题.
(2)已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},CuB∩A={9},则A= .
解答:根据题意用Venn图的方法帮助理解.
因为A∩B={3},所以3∈A,又因为CuB∩A={9},所以9∈A, A= {3,9}.
评析:本题主要考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算,考查了学生借助于Venn图解决集合问题的能力.
此题是常规题,建议学生注意借助Venn图进行解题.
(3)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1
由图可知a+1≥1或a-1≥5,所以a≤0或a≥6.
评析:本题主要考查绝对值不等式的基本解法,集合交集的运算与数形结合的方法.此类题是常规题,对于此类问题的解答,通常可以利用数轴进行,首先做出给定的不含参数的集合图像,再根据条件做出动集合含参数的集合图像,最后利用图像找出参数的限制条件并求出参数的范围,检验时注意验证区间端点是否符合题意.
考点2 函数的有关概念
(1)已知函数f(x)=11-x的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N= .
解答:由题意,得M={x|x<1},N={x|x>-1}.故M∩N={x|-1
(2)已知函数 分别由下表给出:
x123
f(x)131
x123
g(x)321
则f\的值 ;满足f\>g\的x的值 .
解答:由x与g(x)的对应表可得g(1)=3,再由x与f(x)的对应表可得f(3)=1,故f\=1.
由x与f(x)的对应表可得f(2)=3, 由x与g(x)的对应表可得g(2)=2,f\=3,g\=1.故f\>g\,满足f\>g\的 的值为2.
评析:本题的函数以列表的形式给出,考查学生对函数的认识和对数据的处理能力.要求学生从表格中的数据找出对应关系,再根据对应关系求出相应的值.题目不难但有新意,建议学生多加关注.
(3)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(1-x),x≤0f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(2011)的值为 .
解答:由已知得f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,
f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,
f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现,所以f(2011)= f(335×6+1)=f(1)=-1.
评析:本题函数以分段函数的形式给出,考查学生归纳推理,对数计算能力.题型新颖,对思维和计算都有较高的要求.计算f(2011)的值,显然与周期有关,选择从 x=-1出发是解题的难点,建议学生对此类需要赋值计算的问题给予关注.
考点3 函数的图像与性质
(1)已知f(x)=(3a-1)x+4a,x<1logax,x>1是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是 .
解答:由f(x)=(3a-1)x+4a,x<1logax,x>1是(-∞,+∞)上的减函数,得3a-1<00
(2)已知函数f(x)=|lgx|.若a≠b且,f(a)=f(b),则a+b的取值范围是 .
解答:因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以b=1a或a=b(舍去),所以a+b=a+1a,
不妨设0
评析:本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,学生在做本小题时极易忽视a的取值范围,而利用均值不等式求得a+b=a+1a≥2,从而出现
考点4 函数的综合应用
1.某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件40元;该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为600元,该店应交付的其它费用为每月13200元.
(1)若当销售价p为52元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数;
(2)若该店只安排40名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费品的价格定为多少元?
解答:(1)设该店的月利润为S元,有职工m名.则
S=q(p-40)×100-600m-13200.
又由图可知:q=-2p+140,(40≤p≤58)-p+82(58
S=(-2p+140)(p-40)×100-600m-13200(40≤p≤58)(-p+82)(p-40)×100-600m-13200(58
(2)若该店只安排40名职工,则月利润
S=(-2p+140)(p-40)×100-37200(40≤p≤58)(-p+82)(p-40)×100-37200(58
当40≤p≤58时,求得p=55时,S取最大值7800元.
当58
设该店最早可在n年后还清债务,依题意,有12n×7800-268000-200000≥0.
解得n≥5.
所以,该店最早可在5年后还清债务,此时消费品的单价定为55元.
评析:本题是函数应用的典型题,要求学生在阅读理解题意后,根据给出的函数图像,建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系——分段函数,然后,通过研究函数解析式,来对问题作出解答.建议学生求解数学应用题在三个方面下功夫:(1)阅读理解,一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.(2)建立模型,即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.(3)解答模型:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.
2.设函数f(x)=|x2-4x-5|.
(1)在区间\上画出函数f(x)的图像;
(2)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2)∪\∪\上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.
解答:(1)
(2)方程f(x)=5的解分别是2-14,0,4和2+14,由于f(x)在(-∞,-1\〗和\上单调递减,在\和\14\〗∪\∪\14,+∞).
由于2+14<6,2-14>-2,∴BA.
(3)\当x∈\时,f(x)=-x2+4x+5.
令g(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)=x2+(k-4)x+(3k-5)
=(x-4-k22)2-k2-20k+364,
因为k>2,所以4-k2<1. 又-1≤x≤5,
①当-1≤4-k2<1,即2
由16≤(k-10)2<64,(k-10)2-64<0,得g(x)min>0.
②当4-k2<-1,即k>6时,取x=-1,得g(x)min=2k>0.
由①、②可知,当k>2时,g(x)>0,x∈\.
因此,在区间\上,y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.
评析:本题以二次函数为背景,由研究函数图像着手结合不等式,集合,代数论证编制,重点考查二次函数的图像,闭区间上二次函数的最值及函数值的大小比较等基础知识,考查了数形结合的解题方法.此题综合性强,建议学生对二次函数问题要给予关注.
3.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间\上有零点,求a的取值范围.
解答:若a=0,f(x)=2x-3,显然在\上没有零点, 所以a≠0.
令Δ=4+8a(3+a)=8a2+24a+4=0,解得a=-3±72
①当a=-3-72时,y=f(x)恰有一个零点在\上;
②当f(-1)•f(1)=(a-1)(a-5)≤0,即1
a>0Δ=8a2+24a+4>0-1<-12a<1f(1)≥0f(-1)≥0或
a<0Δ=8a2+24a+4>0-1<-12a<1f(1)≤0f(-1)≤0
解得a≥5或a<-3-72.
综上所求实数a的取值范围是a>1或a≤-3-72.
评析:本题以一、二次函数为背景,从研究函数的零点个数引入问题.重点考查了学生应用分类讨论的数学方法解决问题的能力,考查了学生对一次函数,二次函数与方程的根的理解,对函数图像的认识.题目简捷但用意深刻,建议学生关注.
4.设a为实数,记函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g(a).
(1)设t=1+x+1-x,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a);
(3)试求满足g(a)=g(1a)的所有实数a.
解答:(1)因为t=1+x+1-x,所以要使t有意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1.
因为t2=2+21-x2∈\,且t≥0,……①
所以t的取值范围是\2,2\〗.
由①得:1-x2=12t2-1,∴m(t)=a(12t2-1)+t=12at2+t-a,t∈\2,2\〗.
(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=12at2+t-a,t∈\2,2\〗的最大值,
因为直线t=-1a是抛物线m(t)=12at2+t-a的对称轴,所以可分以下几种情况进行讨论:
①当a>0时,函数y=m(t),t∈\2,2\〗的图象是开口向上的抛物线的一段,由t=-1a<0知m(t)在t∈\2,2\〗上单调递增,故g(a)=m(2)=a+2;
②当a=0时,m(t)=t,t∈\2,2\〗,有g(a)=2;
③当a<0时,函数y=m(t),t∈\2,2\〗的图象是开口向下的抛物线的一段,
若t=-1a∈(0,2)即a≤-22时,g(a)=m(2)=2,
若t=-1a∈(2,2\〗即a∈(-22,-12)时,g(a)=m(-1a)=-a-12a,
若t=-1a∈(2,+∞)即a∈(-12,0)时,g(a)=m(2)=a+2.
综上所述,
有g(a)=a+2 (a>-12)-a-12a,(-22
当-22
当a>0时,1a>0,由g(a)=g(1a)知:a+2=1a+2,故a=1;
当a<0时,a•1a=1,故a≤-1或1a≤-1,从而有g(a)=2或g(1a)=2,
要使g(a)=g(1a),必须有a≤-22,1a≤-22,即-2≤a≤-22,此时,g(a)=2=g(1a).
综上所述,满足g(a)=g(1a)的所有实数a为:-2≤a≤-22或a=1.
评析:本题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解题的关键在于发现f(x)=a1-x2+1+x+1-x中1+x+1-x与1-x2的内在联系用换元法即可,这个联系其本质就是三角中sinQ+cosQ与sin2Q的联系.数学上有很多有关联的东西,需要我们在复学习中给予关注.
(作者:张志超,江苏省中学数学特级教师现任教于南京市第五中学特级教师)