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【摘 要】本文从大学生的认知特征和线性代数自身的特点出发，结合教学实践探讨了启发式教学，介绍了针对线性代数的主线式教学思路，同时论述了在线性代数教学过程中培养学生的科学计算能力和实际应用能力的重要性。
【关键词】认知特征 启发式教学 主线式教学思路
一、引言
线性代数是大学生进入大学后接触到的第一门代数课程，它为讨论矩阵计算、代数特征值等问题奠定基础，也为计算机应用、数字信号处理、网络开发等等工程领域的研发工作提供有力的工具，更是理工类学生学习专业课程如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、测量数据处理、误差理论、系统动力学、自动控制原理、机械振动、仿真等的先导课程，但是如何在有限的教学时间内（一般30-50学时），让学生理解并掌握行列式、矩阵、向量（组）及其数值计算并对线性空间有基本的认识，培养他们的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、以及数学建模能力和数值计算能力并非易事。因此，需要对学生的特点和课程本身的特殊性有足够的认识，在此基础上进行有机的整合，才能快速而高效完成教学工作。
二、大学生的认知特征
从教育心理已经得知，人的学习能力是具有年龄特征的。比如粗略地讲，人从6、7岁到14岁左右是记忆的最佳期，这时的记忆力常常表现为善于死记，过目不忘。读过的知识能记住在哪一页哪个位置，这种能力在15岁以后逐渐衰退。15岁以后的记忆越来越依赖于理解性记忆。18、19岁的大学生正处在由死记硬背的记忆向理解性记忆的过渡中，有学习热情但学过之后如不加深理解记忆则遗忘较快，如果这时不能正确处理好二者的关系，将会严重影响以后的学习，甚至会对学生造成心理伤害，进而给社会和学生的家庭带来不可弥补的损失。
线性代数课程一般在大一下学期开设，此时学生刚适应大学生活，正处在由中学生的学习习惯向大学生的学习习惯转变。在教学的过程中应重点指导学生怎样理解所学习的知识，在理解的过程中进行记忆，从而减弱时常遗忘带来的困惑。这一阶段经常有学生会问学習线性代数有什么用处?有的老师回答:“现在把基础打好，将来自然有用”或者说：“既然各个大学都在开设这门课程，说明它的用处肯定很大”。这样就错失了一次让学生理解线性代数的机会，我们完全可以利用方方面面的例子来给学生说明这个问题。比如在测量及其数据的处理中会用到矩阵方面的一些简单例子，可以介绍给测绘专业的学生；再比如微软新开发的Bing搜索引擎就用到了大量的转移矩阵，这可以介绍给计算机等相关专业的学生，……，我们要采用各种方式、方法增加学生对线性代数的了解，激发他们的求知欲望。
三、线性代数课程的特点及授课策略
纵观线性代数的各类教辅书籍以及历年考研辅导资料，无不提及：线性代数概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后联系紧密，对于抽象性与逻辑性的要求高。事实也是如此，但这能为我们学习线性代数不可逾越的障碍吗？当然不是!我们一直坚持以学生“理解”为最基本的原则，为此，在采用启发式教学方法授课的过程中密切关注学生的学习状况，不断改进教学设计，提出了“一个问题，三把工具，多种用途”的主线式课堂教学思路。
线性代数是学生进入大学后接触到的第一门代数课程。由学生自己提出问题的可能性不大，因此在开堂第一节，我们明确提出线性代数课程的主要任务是研究如何解线性方程组。对于线性方程组大家都已经很熟悉了，那么对于解线性方程组我们还有哪些问题没有解决呢？经过思考、回顾发现：第一种是当方程中未知数个数较多时，我们不易求解;第二种是当方程中未知数个数和方程个数不相等时，解不易表示。要解决这些问题显然无法直接入手，因此，从我们最熟悉的二元一次方程组开始进行讨论，从而引出二阶行列式的概念，进而介绍三阶行列式，直至n阶行列式。利用Cramer法则，可以解一部分线性方程组，但学生会感觉用行列式计算并不简单，这时，我们适时的给他们介绍相应的数学软件，如Matlab等来降低计算复杂度，消除学生对数学知识的畏惧感，提高学生的实际动手能力，激发学生的学习兴趣。通过对Cramer法则的讨论，学生会发现Cramer法则用于解线性方程组实际上是有很大的局限性，怎么办呢？这时学生可以自己提出问题了。
为了解决这个问题，给学生介绍一种新的工具：矩阵。带着些许疑惑，对矩阵的基本运算进行讨论，当清楚了矩阵乘法和线性方程组之间的关系后，学生的心中隐隐感到了一丝光亮，当学习了逆矩阵之后，学生恍然大悟，原来如此。但紧接着就会发现，这只是一个表面现象，事实上，它只能解决和用行列式时同样的问题，作了原地踏步。重新开始吧，回到消元法，我们发现线性方程组的初等变换和增广矩阵的行初等变换之间存在着对应关系，由此找到了利用增广矩阵的行初等变换解一般线性方程组的方法。在这一过程中我们注意向学生渗透：由消元法开始最后又回到消元法的整个研究过程并不是简单的回归原点，而是产生了质的飞跃，这就是辨证法中关于“事物的发展是螺旋上升，波浪式前进”的基本观点。到此，仿佛关于解线性方程组的问题都得到了完美的解决，是不是这样呢？可以提示学生，从解的角度来考虑。出于对线性方程组解的结构的研究，又引入了第三种工具：向量（组）。进而讨论向量组的线性相关性，线性空间，以及将它应用于讨论二次型。
通过解线性方程组这样一个问题，我们把行列式、矩阵、向量（组）三种工具介绍给学生，最后介绍它们在其它领域中的广泛用途，既为进一步学习矩阵理论等理论课程奠定基础，也为其它专业课程的学习铺平了道路。
四、线性代数与实践相结合增强教学效果
我们以解线性方程组为依托，将行列式、矩阵、向量（组）、特征值、特征向量、初等变换、线性空间、线性变换以及相似矩阵和二次型等概念有机地联系起来，有利于学生从理论上进行理解性记忆，有助于培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，而有意识地把数学软件引入线性代数教学，使之与线性代数的有关理论、方法相结合，可以增强线性代数的教学效果，培养学生的数学建模能力和数值计算能力。我们除了在课堂上讲授Matlab的一般知识之外，还开设了《工程数学》在计算机上的实现（Matlab版），通过切身体会，学生对线性代数中一些比较抽象的内容有了更加深入的理解；通过在不同领域的应用，学生对线性代数的重要性认识更加清楚，增强了学习动力；通过Matlab应用降低了计算的复杂度，增强了学生的信心；总之，通过实践学生对理论的理解更加深入，实际应用能力得到了显著提高。
参考文献
[1] 高隆昌.数学及其认识[M].第1版.北京：高等教育出版社；海德堡:施普林格出版社，2001.
[2] 马建荣,刘三阳,高淑萍等.用Matlab增强线性代数教学效果的实践与探索.大学数学课程报告论坛文集,2008.
[3] 李国重,顾勇为,归庆明,杜院录. Matlab《工程数学》教学腾飞的翅膀[J].教学与研究,2006,4:76-79.
基金项目：河南省基础与前沿技术研究计划项目（编号：082300410240）；
【关键词】认知特征 启发式教学 主线式教学思路
一、引言
线性代数是大学生进入大学后接触到的第一门代数课程，它为讨论矩阵计算、代数特征值等问题奠定基础，也为计算机应用、数字信号处理、网络开发等等工程领域的研发工作提供有力的工具，更是理工类学生学习专业课程如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、测量数据处理、误差理论、系统动力学、自动控制原理、机械振动、仿真等的先导课程，但是如何在有限的教学时间内（一般30-50学时），让学生理解并掌握行列式、矩阵、向量（组）及其数值计算并对线性空间有基本的认识，培养他们的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、以及数学建模能力和数值计算能力并非易事。因此，需要对学生的特点和课程本身的特殊性有足够的认识，在此基础上进行有机的整合，才能快速而高效完成教学工作。
二、大学生的认知特征
从教育心理已经得知，人的学习能力是具有年龄特征的。比如粗略地讲，人从6、7岁到14岁左右是记忆的最佳期，这时的记忆力常常表现为善于死记，过目不忘。读过的知识能记住在哪一页哪个位置，这种能力在15岁以后逐渐衰退。15岁以后的记忆越来越依赖于理解性记忆。18、19岁的大学生正处在由死记硬背的记忆向理解性记忆的过渡中，有学习热情但学过之后如不加深理解记忆则遗忘较快，如果这时不能正确处理好二者的关系，将会严重影响以后的学习，甚至会对学生造成心理伤害，进而给社会和学生的家庭带来不可弥补的损失。
线性代数课程一般在大一下学期开设，此时学生刚适应大学生活，正处在由中学生的学习习惯向大学生的学习习惯转变。在教学的过程中应重点指导学生怎样理解所学习的知识，在理解的过程中进行记忆，从而减弱时常遗忘带来的困惑。这一阶段经常有学生会问学習线性代数有什么用处?有的老师回答:“现在把基础打好，将来自然有用”或者说：“既然各个大学都在开设这门课程，说明它的用处肯定很大”。这样就错失了一次让学生理解线性代数的机会，我们完全可以利用方方面面的例子来给学生说明这个问题。比如在测量及其数据的处理中会用到矩阵方面的一些简单例子，可以介绍给测绘专业的学生；再比如微软新开发的Bing搜索引擎就用到了大量的转移矩阵，这可以介绍给计算机等相关专业的学生，……，我们要采用各种方式、方法增加学生对线性代数的了解，激发他们的求知欲望。
三、线性代数课程的特点及授课策略
纵观线性代数的各类教辅书籍以及历年考研辅导资料，无不提及：线性代数概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后联系紧密，对于抽象性与逻辑性的要求高。事实也是如此，但这能为我们学习线性代数不可逾越的障碍吗？当然不是!我们一直坚持以学生“理解”为最基本的原则，为此，在采用启发式教学方法授课的过程中密切关注学生的学习状况，不断改进教学设计，提出了“一个问题，三把工具，多种用途”的主线式课堂教学思路。
线性代数是学生进入大学后接触到的第一门代数课程。由学生自己提出问题的可能性不大，因此在开堂第一节，我们明确提出线性代数课程的主要任务是研究如何解线性方程组。对于线性方程组大家都已经很熟悉了，那么对于解线性方程组我们还有哪些问题没有解决呢？经过思考、回顾发现：第一种是当方程中未知数个数较多时，我们不易求解;第二种是当方程中未知数个数和方程个数不相等时，解不易表示。要解决这些问题显然无法直接入手，因此，从我们最熟悉的二元一次方程组开始进行讨论，从而引出二阶行列式的概念，进而介绍三阶行列式，直至n阶行列式。利用Cramer法则，可以解一部分线性方程组，但学生会感觉用行列式计算并不简单，这时，我们适时的给他们介绍相应的数学软件，如Matlab等来降低计算复杂度，消除学生对数学知识的畏惧感，提高学生的实际动手能力，激发学生的学习兴趣。通过对Cramer法则的讨论，学生会发现Cramer法则用于解线性方程组实际上是有很大的局限性，怎么办呢？这时学生可以自己提出问题了。
为了解决这个问题，给学生介绍一种新的工具：矩阵。带着些许疑惑，对矩阵的基本运算进行讨论，当清楚了矩阵乘法和线性方程组之间的关系后，学生的心中隐隐感到了一丝光亮，当学习了逆矩阵之后，学生恍然大悟，原来如此。但紧接着就会发现，这只是一个表面现象，事实上，它只能解决和用行列式时同样的问题，作了原地踏步。重新开始吧，回到消元法，我们发现线性方程组的初等变换和增广矩阵的行初等变换之间存在着对应关系，由此找到了利用增广矩阵的行初等变换解一般线性方程组的方法。在这一过程中我们注意向学生渗透：由消元法开始最后又回到消元法的整个研究过程并不是简单的回归原点，而是产生了质的飞跃，这就是辨证法中关于“事物的发展是螺旋上升，波浪式前进”的基本观点。到此，仿佛关于解线性方程组的问题都得到了完美的解决，是不是这样呢？可以提示学生，从解的角度来考虑。出于对线性方程组解的结构的研究，又引入了第三种工具：向量（组）。进而讨论向量组的线性相关性，线性空间，以及将它应用于讨论二次型。
通过解线性方程组这样一个问题，我们把行列式、矩阵、向量（组）三种工具介绍给学生，最后介绍它们在其它领域中的广泛用途，既为进一步学习矩阵理论等理论课程奠定基础，也为其它专业课程的学习铺平了道路。
四、线性代数与实践相结合增强教学效果
我们以解线性方程组为依托，将行列式、矩阵、向量（组）、特征值、特征向量、初等变换、线性空间、线性变换以及相似矩阵和二次型等概念有机地联系起来，有利于学生从理论上进行理解性记忆，有助于培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，而有意识地把数学软件引入线性代数教学，使之与线性代数的有关理论、方法相结合，可以增强线性代数的教学效果，培养学生的数学建模能力和数值计算能力。我们除了在课堂上讲授Matlab的一般知识之外，还开设了《工程数学》在计算机上的实现（Matlab版），通过切身体会，学生对线性代数中一些比较抽象的内容有了更加深入的理解；通过在不同领域的应用，学生对线性代数的重要性认识更加清楚，增强了学习动力；通过Matlab应用降低了计算的复杂度，增强了学生的信心；总之，通过实践学生对理论的理解更加深入，实际应用能力得到了显著提高。
参考文献
[1] 高隆昌.数学及其认识[M].第1版.北京：高等教育出版社；海德堡:施普林格出版社，2001.
[2] 马建荣,刘三阳,高淑萍等.用Matlab增强线性代数教学效果的实践与探索.大学数学课程报告论坛文集,2008.
[3] 李国重,顾勇为,归庆明,杜院录. Matlab《工程数学》教学腾飞的翅膀[J].教学与研究,2006,4:76-79.
基金项目：河南省基础与前沿技术研究计划项目（编号：082300410240）；