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所谓数学概念的形成,是指学生依据直接经验,从大量的具体例子出发,通过观察、操作等活动形成表象,并对表象进行分析、归纳、抽象、概括,抽取出一类数量关系或空间形式的共同属性,从而获得初级概念,并把概念的本质属性推广应用到同类事物中的过程,这个过程可以概括为“事例→表象→概念→应用”。因为小学生以形象思维为主,所以学具操作在抽象数学概念的形成中起着很重要的支撑作用。根据数学概念形成的阶段性特点,数学教师要引领学生通过动手操作为概念的形成搭好以下几个“支撑点”。
一、 概念的“感知”阶段——在操作中“建立表象”
这一环节处在“事例→表象”阶段,主要是运用直观性的学习活动,让学生对数学概念有一些初步的感性认识。教师可以根据学习内容的特点,充分唤醒学生的已有经验,有目的地给学生提供适当的学具,并编拟相应的“操作提纲”,让学生围绕提纲进行有序的观察与操作,感知具体事例,获得感性认识,建立反映事物本质属性的表象,为下一步深刻理解数学概念奠定基础。具体可从以下两方面入手。
1.在观察中“丰富表象”
在学习新概念前,有目的地组织学生运用概念对应的学具进行观察,并提出思考性问题,让学生借助知觉,丰富感知性表象。例如,学习“体积”的概念时,教师给学生提供两只同样的玻璃杯(盛有一定量的水),让学生将两个大小不同的石块分别放入这两只杯中,引导学生一边操作一边观察:你发现了什么?并且思考:为什么放入的石块较大,水面就升得高?从而让学生获得石块占有空间的感性认识。
2.在动手中“形成表象”
小学生的表象形成经常是从动作开始的,通过亲自动手操作,借助动作思维可以获得鲜明的感知。因此,学生在学习数学概念时,要引导他们运用学具进行实际操作,促进概念表象的形成。例如,学习“长方形的周长”的概念时,教师给学生提供许多小棒,让他们用小棒摆出各种各样的长方形,用手摸一摸这些长方形的周长,并说说这些长方形的周长有什么共同的地方。学生在摆、摸、说的过程中逐步形成了长方形周长的表象:即长方形的周长就是围成它的4根小棒长度的和,从而为下一步探索长方形周长的计算方法奠定了良好的表象基础。
二、 概念的“理解”阶段——在操作中“感悟内涵”
这一环节处在“表象→概念”阶段,主要是在学生通过感知活动获得感性知识进而形成表象的基础上,教师不失时机地引导学生将形成的表象进行提炼、概括,通过分析比较它们的属性,抽象出共同的本质特征。该阶段的重心是理解概念的“本质内涵”,由于小学生的抽象分析能力还不强,所以他们往往需要通过学具的操作来帮助理解概念的内涵。当然,此阶段的动手操作和第一阶段有所不同,它带有更多的“理性操作”成份,主要是为学生抽象数学概念的形成提供一个“直观模型”,使他们能够更容易、更深刻地理解概念。具体做法如下。
1.在操作中“体验含义”
如学习“余数”的概念,让学生进行“把7颗豆子分到3个盘子里”的操作。通过操作,学生找到了余数的“直观模型”,明白了那个剩下来不够再分的豆子数就是“余数”,并且体验到了“余数一定要比除数小”,否则每个盘子里至少还可以再分到一颗豆子,往盘子里放豆子的过程就是“试商”。接着,在学生用实物操作的基础上,让学生脱离实物在头脑里分豆子,运用表象操作来体验“余数”的含义,最后通过符号操作得出:
7÷3=2……1。
2.在操作中“发现特征”
如学习“长方体的特征”,在学生明白了什么是“面、棱、顶点”后,给学生提供一组小棒(有接头)和长方形纸片等学具,让他们以4人小组为单位,从提供的材料中选择所需部分,通过“试验”、“筛选”等操作活动,组装成一个长方体(有多种组装法),学生在讨论、组装的过程中逐渐发现了长方体“面”的特征(面的形状、大小、数量),“棱”的特征(数量、长短)和“顶点”的特征(数量)。
3.在操作中“概括本质”
如学习“三角形的三边关系”,教师给学生提供3厘米、4厘米、2厘米、8厘米长的小棒若干根,让学生从中选择3根小棒拼成一个三角形。学生搭出了许多三角形,教师让学生比较一下这些三角形中任意两条边的和与第三条边的长短关系。然后又让学生选择含有8厘米长小棒的3根小棒来搭一搭三角形,学生通过动手操作发现,此时无论配上哪两根小棒都搭不成三角形。通过这样正反具体事例的操作后,教师引领学生及时概括出“三角形中任意两边之和大于第三边”这一本质属性。
三、 概念的“应用”阶段——在操作中“拓展升华”
这一环节属于“概念→应用”阶段,当学生理解了数学概念的本质内涵获得概念模型后,接下去又要从抽象回到具体中去,对概念进行应用拓展,在应用中一方面借助正、反事例来检验概念的外延,另一方面将概念推广到同类事物中去,进行联系沟通,形成概念系统。为了能更好地将理性概念运用到具体中去,还要充分发挥动手操作的支撑作用,具体表现在以下两方面。
1.在应用性操作中检验“概念外延”
例如,学习“平行四边形的面积”,当学生通过剪拼推导某一个三角形纸片,已经获得了“底×高=平行四边形的面积”这一认识后,教师抓住“底×高”的本质内涵,让学生在应用中去检验是不是任意平行四边形的面积都等于“底×高”。教师让学生在钉子板上进行操作,学生用橡皮筋围出了各种形状的平行四边形,然后计算出“底×高”,并在钉子板上数出平行四边形的面积,两者进行对比后发现,只要是平行四边形,不管是什么形状,都可以用“底×高”来计算它的面积。并且在操作中还发现:“等底等高”或者“底和高相乘的积相等”的平行四边形的面积肯定相等,但形状可以多种多样。通过这样的操作,学生对平行四边形面积的内涵和外延理解得更加深刻了。
2.在拓展性操作中形成“概念系统”
当学生学会了某一数学概念后,在练习或复习阶段,教师要引导学生通过贯通概念间的联系,使孤立的概念整体化、系统化。例如,学习了“梯形”的概念后,教师给学生提供一组小棒练习,让学生用这些小棒先搭出一个梯形,然后更换梯形中的某几根小棒,使上底和下底一样长,从而转化成一个平行四边形,接着调整平行四边形中小棒的角度,使它转化成一个长方形,然后调整长方形中代表长和宽的小棒的长度,使它成为一个正方形。在整个操作过程中,学生逐渐形成了“四边形”的概念系统:一个四边形,当只有一组对边平行时,它是梯形;当两组对边分别平行时,它是平行四边形;当四个角都是直角时,它是长方形;当四个角都是直角且四边条都相等时,它是正方形。而且发现了“四边形”家族成员之间既有相同点,也有不同点,它们互相联系并且在一定条件下可以相互转化。
教学实践证明:在数学概念的学习中充分发挥动手操作的支撑作用,能使小学生降低获得抽象概念的难度,对概念的发生与形成过程会有一个清晰的认识,对概念的理解更加深刻到位,并使整个学习过程显得生动活泼、新颖有趣,进而大大提高了数学概念学习的效率。
参考文献
[1] 吕志明.小学生数学策略学习研究.北京:科学出版社,2004.
[2] 徐斌.推敲新课程课堂.南宁:广西教育出版社,2006.
[3] 孔企平.小学儿童如何学数学.上海:华东师范大学出版社,2001.
[4] 郑毓信.建构主义与数学教育.上海:上海教育出版社,1998.
[5] 雷玲.听名师讲课.南宁:广西教育出版社,2004.
[6] 袁中学.最新小学数学典型教学案例.沈阳:白山出版社,2005.
一、 概念的“感知”阶段——在操作中“建立表象”
这一环节处在“事例→表象”阶段,主要是运用直观性的学习活动,让学生对数学概念有一些初步的感性认识。教师可以根据学习内容的特点,充分唤醒学生的已有经验,有目的地给学生提供适当的学具,并编拟相应的“操作提纲”,让学生围绕提纲进行有序的观察与操作,感知具体事例,获得感性认识,建立反映事物本质属性的表象,为下一步深刻理解数学概念奠定基础。具体可从以下两方面入手。
1.在观察中“丰富表象”
在学习新概念前,有目的地组织学生运用概念对应的学具进行观察,并提出思考性问题,让学生借助知觉,丰富感知性表象。例如,学习“体积”的概念时,教师给学生提供两只同样的玻璃杯(盛有一定量的水),让学生将两个大小不同的石块分别放入这两只杯中,引导学生一边操作一边观察:你发现了什么?并且思考:为什么放入的石块较大,水面就升得高?从而让学生获得石块占有空间的感性认识。
2.在动手中“形成表象”
小学生的表象形成经常是从动作开始的,通过亲自动手操作,借助动作思维可以获得鲜明的感知。因此,学生在学习数学概念时,要引导他们运用学具进行实际操作,促进概念表象的形成。例如,学习“长方形的周长”的概念时,教师给学生提供许多小棒,让他们用小棒摆出各种各样的长方形,用手摸一摸这些长方形的周长,并说说这些长方形的周长有什么共同的地方。学生在摆、摸、说的过程中逐步形成了长方形周长的表象:即长方形的周长就是围成它的4根小棒长度的和,从而为下一步探索长方形周长的计算方法奠定了良好的表象基础。
二、 概念的“理解”阶段——在操作中“感悟内涵”
这一环节处在“表象→概念”阶段,主要是在学生通过感知活动获得感性知识进而形成表象的基础上,教师不失时机地引导学生将形成的表象进行提炼、概括,通过分析比较它们的属性,抽象出共同的本质特征。该阶段的重心是理解概念的“本质内涵”,由于小学生的抽象分析能力还不强,所以他们往往需要通过学具的操作来帮助理解概念的内涵。当然,此阶段的动手操作和第一阶段有所不同,它带有更多的“理性操作”成份,主要是为学生抽象数学概念的形成提供一个“直观模型”,使他们能够更容易、更深刻地理解概念。具体做法如下。
1.在操作中“体验含义”
如学习“余数”的概念,让学生进行“把7颗豆子分到3个盘子里”的操作。通过操作,学生找到了余数的“直观模型”,明白了那个剩下来不够再分的豆子数就是“余数”,并且体验到了“余数一定要比除数小”,否则每个盘子里至少还可以再分到一颗豆子,往盘子里放豆子的过程就是“试商”。接着,在学生用实物操作的基础上,让学生脱离实物在头脑里分豆子,运用表象操作来体验“余数”的含义,最后通过符号操作得出:
7÷3=2……1。
2.在操作中“发现特征”
如学习“长方体的特征”,在学生明白了什么是“面、棱、顶点”后,给学生提供一组小棒(有接头)和长方形纸片等学具,让他们以4人小组为单位,从提供的材料中选择所需部分,通过“试验”、“筛选”等操作活动,组装成一个长方体(有多种组装法),学生在讨论、组装的过程中逐渐发现了长方体“面”的特征(面的形状、大小、数量),“棱”的特征(数量、长短)和“顶点”的特征(数量)。
3.在操作中“概括本质”
如学习“三角形的三边关系”,教师给学生提供3厘米、4厘米、2厘米、8厘米长的小棒若干根,让学生从中选择3根小棒拼成一个三角形。学生搭出了许多三角形,教师让学生比较一下这些三角形中任意两条边的和与第三条边的长短关系。然后又让学生选择含有8厘米长小棒的3根小棒来搭一搭三角形,学生通过动手操作发现,此时无论配上哪两根小棒都搭不成三角形。通过这样正反具体事例的操作后,教师引领学生及时概括出“三角形中任意两边之和大于第三边”这一本质属性。
三、 概念的“应用”阶段——在操作中“拓展升华”
这一环节属于“概念→应用”阶段,当学生理解了数学概念的本质内涵获得概念模型后,接下去又要从抽象回到具体中去,对概念进行应用拓展,在应用中一方面借助正、反事例来检验概念的外延,另一方面将概念推广到同类事物中去,进行联系沟通,形成概念系统。为了能更好地将理性概念运用到具体中去,还要充分发挥动手操作的支撑作用,具体表现在以下两方面。
1.在应用性操作中检验“概念外延”
例如,学习“平行四边形的面积”,当学生通过剪拼推导某一个三角形纸片,已经获得了“底×高=平行四边形的面积”这一认识后,教师抓住“底×高”的本质内涵,让学生在应用中去检验是不是任意平行四边形的面积都等于“底×高”。教师让学生在钉子板上进行操作,学生用橡皮筋围出了各种形状的平行四边形,然后计算出“底×高”,并在钉子板上数出平行四边形的面积,两者进行对比后发现,只要是平行四边形,不管是什么形状,都可以用“底×高”来计算它的面积。并且在操作中还发现:“等底等高”或者“底和高相乘的积相等”的平行四边形的面积肯定相等,但形状可以多种多样。通过这样的操作,学生对平行四边形面积的内涵和外延理解得更加深刻了。
2.在拓展性操作中形成“概念系统”
当学生学会了某一数学概念后,在练习或复习阶段,教师要引导学生通过贯通概念间的联系,使孤立的概念整体化、系统化。例如,学习了“梯形”的概念后,教师给学生提供一组小棒练习,让学生用这些小棒先搭出一个梯形,然后更换梯形中的某几根小棒,使上底和下底一样长,从而转化成一个平行四边形,接着调整平行四边形中小棒的角度,使它转化成一个长方形,然后调整长方形中代表长和宽的小棒的长度,使它成为一个正方形。在整个操作过程中,学生逐渐形成了“四边形”的概念系统:一个四边形,当只有一组对边平行时,它是梯形;当两组对边分别平行时,它是平行四边形;当四个角都是直角时,它是长方形;当四个角都是直角且四边条都相等时,它是正方形。而且发现了“四边形”家族成员之间既有相同点,也有不同点,它们互相联系并且在一定条件下可以相互转化。
教学实践证明:在数学概念的学习中充分发挥动手操作的支撑作用,能使小学生降低获得抽象概念的难度,对概念的发生与形成过程会有一个清晰的认识,对概念的理解更加深刻到位,并使整个学习过程显得生动活泼、新颖有趣,进而大大提高了数学概念学习的效率。
参考文献
[1] 吕志明.小学生数学策略学习研究.北京:科学出版社,2004.
[2] 徐斌.推敲新课程课堂.南宁:广西教育出版社,2006.
[3] 孔企平.小学儿童如何学数学.上海:华东师范大学出版社,2001.
[4] 郑毓信.建构主义与数学教育.上海:上海教育出版社,1998.
[5] 雷玲.听名师讲课.南宁:广西教育出版社,2004.
[6] 袁中学.最新小学数学典型教学案例.沈阳:白山出版社,2005.