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摘要：“一题多解”是克服学生思维定式的一种有效途径，也是培养学生发散思维和思维灵活性的有效方法.通过长期“一题多解”的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路，并从多种解法的对比中选择最佳解法，总结解题规律，提高分析问题、解决问题的能力，使思维的发散性和创造性增强.本文以一道高考试题为载体浅谈“一题多解”的必要性和重要性.
关键词：高考试题；一题多解；必要性；重要性
2018年全国Ⅱ卷理科数学第12题，题目虽不新颖，但是内涵丰富，解法丰富多彩，这类题型的练习对学生的发散性思维有一定的启发性，引起了笔者的深入探索和思考.
一、题目呈现
已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）.
A.23B.12
C.13D.14
二、试题分析
本题属于传统题，以椭圆的离心率为载体考查数形结合思想和等价转化思想，也考查学生的逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养.
三、解法探究
本题的多种解法主要是以圆锥曲线的代数与几何双重特征为切入点，寻求已知与未知之间的内在联系，探究解题的思路和方法.不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，学生较容易入手，同时也要求学生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.
根据题意画出图形如下：
解法1：直接法
由A是C的左顶点知A（-a，0）.
因为△PF1F2为等腰三角形，所以PF2=F1F2=2c.
由∠F1F2P=120°知P（2c，3c）.
又因为点P在过A且斜率为36的直线上，所以kAP=3c-02c+a=36，
即a=4c，所以e=14，选D.
解法2：联立方程组
由条件可知直线PA的方程为y=36（x+a），直线PF2的方程为y=3（x-c），
联立两条直线方程y=36（x+a），y=3（x-c），解得xP=a+6c5，yP=35（a+c）.
由条件知F1（-c，0），kPF1=33，即35（a+c）a+6c5+c=33，
解得a=4c，所以e=14，选D.
解法3：利用余弦定理
在△AF2P中，PF2=F1F2=2c.
由余弦定理可知：
PA=（a+c）2+（2c）2+2c（a+c）=7c2+a2+4ac.
因为tan∠PAF2=36，所以sin∠PAF2=113.
在△APF2，△PF1F2中利用高相等有7c2+a2+4ac×113=2c×32=3c，
即32c2-4ac-a2=0，
解得e=14（负值舍去），选D.
解法4：利用正弦定理
因为△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=F1F2=2c，PF1=23c.
因为sin∠APF1=sin（∠PAF1+∠AF1P），tan∠PAF1=36，
sin∠PAF1=113，cos∠PAF1=2313，∠AF1P=150°，
所以sin∠APF1=3926.
在△APF1中，由正弦定理有AF1sin∠APF1=PF1sin∠PAF1，即a-c3926=23c1313，
所以a=4c，即e=14，選D.
事实上，也可以由正弦定理得PF2AF2=sin∠PAF2sin∠APF2，
即
2ca+c=113sinπ3-∠PAF2=11332×1213-12×113
=25，
所以a=4c，即e=14，选D.
【点评】我们教师在试题讲解过程中要向学生渗透从多角度深刻剖析问题的思想。只有让学生的思维在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，学生的思维在不断的展开中得到充分的训练和培养。培养学生用规律解题，思维线路短，过程简洁，大大提高解题的速度，“触类旁通”的“巧思”也就一定会顺其自然产生。
下面给出两道不错的一题多解练习题供读者参考：
2013年全国新课标Ⅰ文科第15题：
当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=.
2015年重庆高考文科14题：
若正数a，b满足a+b=5，则a+1+b+3的最大值是.
四、解题反思
教学时我们应抓住有效时机让学生试着灵活地应用所学知识、思想和方法创造性地解决问题。在培养学生思维能力的过程中，我们既要提供让学生展开思维的空间，激发其思维的活跃性，使他们勇于思维；还要巧于点拨，使他们学会思维，科学地思维，提高其思维的质量。这样，才能在数学教学中激发学生的思维，点燃学生创新的火苗。对解法的探索是在践行我们所学的知识技能和思想方法，同时也使我们的思维更广阔、思想更深刻。对试题本质的探源，使我们更深刻地认识问题，将新旧解题经历跨时空贯通起来，这又是一个新的开始.
五、结束语
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着学会解题，而想要学会解题，好的数学题目是关键.一道好的试题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含着的数学思想和方法.正如波利亚说：“一个专心的认真备课教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生发展问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”
关键词：高考试题；一题多解；必要性；重要性
2018年全国Ⅱ卷理科数学第12题，题目虽不新颖，但是内涵丰富，解法丰富多彩，这类题型的练习对学生的发散性思维有一定的启发性，引起了笔者的深入探索和思考.
一、题目呈现
已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）.
A.23B.12
C.13D.14
二、试题分析
本题属于传统题，以椭圆的离心率为载体考查数形结合思想和等价转化思想，也考查学生的逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养.
三、解法探究
本题的多种解法主要是以圆锥曲线的代数与几何双重特征为切入点，寻求已知与未知之间的内在联系，探究解题的思路和方法.不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，学生较容易入手，同时也要求学生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.
根据题意画出图形如下：
解法1：直接法
由A是C的左顶点知A（-a，0）.
因为△PF1F2为等腰三角形，所以PF2=F1F2=2c.
由∠F1F2P=120°知P（2c，3c）.
又因为点P在过A且斜率为36的直线上，所以kAP=3c-02c+a=36，
即a=4c，所以e=14，选D.
解法2：联立方程组
由条件可知直线PA的方程为y=36（x+a），直线PF2的方程为y=3（x-c），
联立两条直线方程y=36（x+a），y=3（x-c），解得xP=a+6c5，yP=35（a+c）.
由条件知F1（-c，0），kPF1=33，即35（a+c）a+6c5+c=33，
解得a=4c，所以e=14，选D.
解法3：利用余弦定理
在△AF2P中，PF2=F1F2=2c.
由余弦定理可知：
PA=（a+c）2+（2c）2+2c（a+c）=7c2+a2+4ac.
因为tan∠PAF2=36，所以sin∠PAF2=113.
在△APF2，△PF1F2中利用高相等有7c2+a2+4ac×113=2c×32=3c，
即32c2-4ac-a2=0，
解得e=14（负值舍去），选D.
解法4：利用正弦定理
因为△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=F1F2=2c，PF1=23c.
因为sin∠APF1=sin（∠PAF1+∠AF1P），tan∠PAF1=36，
sin∠PAF1=113，cos∠PAF1=2313，∠AF1P=150°，
所以sin∠APF1=3926.
在△APF1中，由正弦定理有AF1sin∠APF1=PF1sin∠PAF1，即a-c3926=23c1313，
所以a=4c，即e=14，選D.
事实上，也可以由正弦定理得PF2AF2=sin∠PAF2sin∠APF2，
即
2ca+c=113sinπ3-∠PAF2=11332×1213-12×113
=25，
所以a=4c，即e=14，选D.
【点评】我们教师在试题讲解过程中要向学生渗透从多角度深刻剖析问题的思想。只有让学生的思维在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，学生的思维在不断的展开中得到充分的训练和培养。培养学生用规律解题，思维线路短，过程简洁，大大提高解题的速度，“触类旁通”的“巧思”也就一定会顺其自然产生。
下面给出两道不错的一题多解练习题供读者参考：
2013年全国新课标Ⅰ文科第15题：
当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=.
2015年重庆高考文科14题：
若正数a，b满足a+b=5，则a+1+b+3的最大值是.
四、解题反思
教学时我们应抓住有效时机让学生试着灵活地应用所学知识、思想和方法创造性地解决问题。在培养学生思维能力的过程中，我们既要提供让学生展开思维的空间，激发其思维的活跃性，使他们勇于思维；还要巧于点拨，使他们学会思维，科学地思维，提高其思维的质量。这样，才能在数学教学中激发学生的思维，点燃学生创新的火苗。对解法的探索是在践行我们所学的知识技能和思想方法，同时也使我们的思维更广阔、思想更深刻。对试题本质的探源，使我们更深刻地认识问题，将新旧解题经历跨时空贯通起来，这又是一个新的开始.
五、结束语
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着学会解题，而想要学会解题，好的数学题目是关键.一道好的试题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含着的数学思想和方法.正如波利亚说：“一个专心的认真备课教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生发展问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”