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【摘 要】“轨迹”是沪教版初中数学八年级上册的内容，对于该课的教学设计，已有的研究不多且存在些许问题。文章采用HPM课例评析框架，对两位教师执教的“轨迹”概念课例进行比较分析，呈现数学史在能力之助、探究之乐、文化之魅和德育之效等方面的教育价值。
【关键词】HPM;轨迹;同课异构
【作者简介】张佳淳，华东师范大学教师教育学院在读硕士研究生，主要从事数学史与数学教育研究;汪晓勤（本文通讯作者），华东师范大学教师教育学院教授，博士生导师，主要从事数学史与数学教育研究。
【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地项目“数学课程与教学中如何落实立德树人研究”（A8）
“轨迹”是沪教版初中数学八年级上册的内容，现有的教学设计大多先利用实例形成表象認识，再结合字面剖析轨迹概念，接着辨析三个基本轨迹，最后探求轨迹图形[1-3]。虽然有研究者对此内容做过研究，但还是存在些许问题，如教师不明确教学目的，对为什么要教授“轨迹”心中无数[1]39-43;学生也不明白轨迹学习的必要性等。另外，很多教师对于轨迹概念的历史知之甚少，HPM视角下的“轨迹”概念教学设计更是付之阙如。
鉴于此，HPM工作室开展了“轨迹”概念的课例研究。本课例的执教者分别是教师A和教师B，他们都从HPM的视角经历了选题与聚焦、研讨与设计、实施与评价的课例研究过程，但由于学校文化、教师旨趣、学生基础、史料选择、教学目标、教学设计等方面的差异，最终形成了效果不同、各具特色的两个课例。笔者采用HPM课例评析框架[4]，对两位教师如何选择和应用数学史，数学史在两节课中各体现的教育价值，以及两节课各自的特色等进行比较分析，以期为“轨迹”概念教学以及HPM课例研究提供借鉴。
一、历史素材
唐代诗人王维有诗云：“大漠孤烟直，长河落日圆。”实际上，直线和圆是人们在现实生活中所见的形象经过抽象而成的几何概念，欧几里得在《几何原本》中给出两者的静态定义。古希腊人使用尺规来作图，在尺规作图的动态过程中，古希腊人感悟到静态的直线和圆，其实是通过点的运动而形成的两种轨迹，从而产生轨迹的概念。另外，现实世界物体的运动、天体的运动、流星等现象也会促进他们对轨迹的认识。公元前4世纪，古希腊数学家阿契塔明确提出了“曲线是点的轨迹”的观点[5]。
在利用尺规解决三大几何难题（化圆为方问题、三等分角问题、倍立方问题）遭遇失败后，古希腊数学家开始用新的轨迹来解决问题。公元前5世纪，希皮亚斯利用正方形相邻两边的运动构造了新的轨迹——割圆曲线[6];公元前3世纪，阿基米德则构造了沿射线运动的一点，当射线本身绕端点沿逆时针方向旋转时的轨迹——阿基米德螺线[7]。割圆曲线和阿基米德螺线都可以用来解决三等分角问题。
《几何原本》中的一些命题与轨迹也有密切的联系。如第一卷命题37：“同底且同位于两条平行线之间的三角形彼此相等。”第一卷命题39：“同底同侧且相等的三角形同位于两条平行线之间。”[8]这两个命题分别体现了直线轨迹的纯粹性和完备性。
给定底边，则以底边的一条平行线上任一点为顶点的三角形面积彼此相等。
给定底边，则面积彼此相等的所有同侧三角形的顶点都位于底边的一条平行线上。
《几何原本》第三卷命题21：“在一个圆中，同一弓形中的（圆周）角彼此相等。”第三卷命题31的一部分：“半圆上的（圆周）角为直角。”对应的是圆弧轨迹的纯粹性。
以圆的弓形底边为底边，圆弧（不含底边的端点）上的点为顶点的所有三角形的顶角都彼此相等。
以圆的直径为底边，半圆（不含直径的端点）上的点为顶点的所有三角形的顶角都是直角。
如果我们相应地补充完备，可分别得到以下命题。
给定底边，顶角相等的所有三角形的顶点都位于同一圆弧（不含底边的端点）上。
给定底边，顶角为直角的所有三角形的顶点都位于同一半圆（不含直径的端点）上。
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼奥斯在《平面轨迹》中证明了一系列平面轨迹命题[9]，其中与本节课联系密切的有以下命题。
到两条已知直线（平行或相交）的距离之比等于已知数的动点轨迹为直线。
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆。
到n个定点的距离的平方和等于已知数的动点轨迹为圆。
17世纪，法国数学家费马用运动来刻画轨迹：取一条固定直线及其上一固定点，当一条变线段的一个端点沿直线移动时，另一端点的运动即形成了轨迹[10]。类似地，法国数学家笛卡儿通过建立坐标系（单轴、斜坐标）来研究轨迹问题。费马和笛卡儿成了解析几何的创始人。有了解析几何这一新工具，人们得以用代数方法来研究动点的轨迹。法国数学家拉希尔将椭圆定义为平面上到两定点距离之和等于常数的动点轨迹[11]，这个定义也可以改编为与三角形相关的命题：“给定底边，周长相等的所有三角形的顶点都位于一个椭圆上（不含椭圆长轴的端点）。”荷兰数学家舒腾还设计了椭圆的多种机械作图工具。
在开展“轨迹”概念课例研究之初，教师A和教师B都研读了上述史料，并将部分史料用于教学设计。
二、宏观比较
（一）教学重难点及教学目标
教师A和教师B所拟订的教学重难点基本一致。
教学重点：（1）点的轨迹的意义;（2）轨迹的完备性和纯粹性。
教学难点：运用基本轨迹和描点法画出符合条件的轨迹，并能用数学语言或文字语言准确描述轨迹。
为突出重点，突破难点，两位教师对教学目标的定位如下。
教学目标：
（1）依据生活中的轨迹形象，理解轨迹的概念与现实意义; （2）经历轨迹的探究活动，会用运动的观点看待图形，会从完备性与纯粹性（以下简称“二性”）的角度分析轨迹，能够运用基本轨迹和描点法画出轨迹，提高学生的逻辑推理素养、直观想象素养以及数学表达能力;
（3）通过数学史，了解古代数学家的思想，提高学生学习数学的兴趣，树立研究数学的信心。
教师B还在教学目标（3）中增加“借助数学史，感受古人的智慧，体会数学的理性精神”。
（二） 教学流程
由表1可知，两位教师的教学过程都包含六个环节，但进度和安排不同。教师A的设计与已有的教学设计类似，前两个环节通过创设情境引入概念，第三个环节直接给出三个基本轨迹并进行二性辨析，第四个环节重在习题训练，第五个环节从数学的轨迹上升到人生的轨迹。
教师B采用翻转课堂的形式。学生在课前已利用HPM微视频自学，但他们的理解不一定正确，于是在第一个环节教师B针对学生回答的情况，强调运动与集合的观点，纠正部分学生对轨迹概念存在的错误认识;第二个环节进入基本轨迹和二性辨析的学习，不同于教师A的直接讲授，教师B在此使用几何画板，辅助学生直观理解二性的辨析过程;第三个环节运用基本轨迹解决问题;第四个环节以小组为单位进行习题探究;第五个环节进行小结。另外，在布置作业环节，教师B布置了基于数学史提出的难度较大的轨迹问题。
两位教师都使用了HPM微视频。教师A在第二个环节中利用微视频介绍轨迹的部分历史，主要包括阿契塔、阿波罗尼奥斯、阿基米德的研究成果，并展示生活中的轨迹实例;教师B让学生利用微视频课前自学，主要呈现生活中的轨迹形象，介绍三大基本轨迹以及费马的轨迹思想，归纳探求轨迹方程的常见方法。
三、微观比较
（一）史料的适切性
数学史料的选取需要遵循趣味性、科学性、有效性、可学性、人文性五项原则[12]，两位执教者在各教学环节所用历史素材对比见表2。
教师A和教师B所选用的史料源于原始文献或专业数学史研究文献，符合科学性。但教师A在介绍阿波罗尼奥斯的《平面轨迹》一书时，使用了圆锥曲线的配图。在古希腊数学中，平面轨迹只涉及直线和圆，圆锥曲线属于立体轨迹，因此，教师A配图不恰当。
本节课的落脚点是探求轨迹问题，两位教师都根据阿波罗尼奥斯关于平面轨迹的命题和拉希尔的椭圆定义，提出有别于教科书和传统教辅书中的轨迹问题，促进学生掌握运用基本轨迹和描点法，同时认识轨迹表达的精准性要求，从而实现本节课教学目标，符合有效性。另外，教师B还选择了《几何原本》中的有关命题。
阿波罗尼奥斯关于平面轨迹的命题是三个基本轨迹的来源，对应学生在上节课所学的三个几何定理及其逆定理;《几何原本》中的有关命题则对应学生此前学过的平行线的性质（两平行线间的距离处处相等）、圆周角的性质（直径所对的圆周角等于90°）。两则史料均符合学生认知基础，有助于加深学生对轨迹的理解，符合可学性。但前者基本局限于三个基本轨迹，后者不仅引出其他轨迹，而且以三角形为背景，在问题解决过程中，学生需要注意排除三角形底边端点，做到“不重不漏”。因此，教师B的问题更有助于引发学生的认知冲突，加强学生对二性辨析的意识。
教科书和已有教学设计一般仅从生活实例出发，让学生感受几何中的运动与变化，而教师A在“概念探究”环节采用阿契塔关于轨迹的观点、阿基米德螺线，以及在“变式拓展”环节舒腾的椭圆作图工具的动画演示，教师B在“检查自学”环节介绍费马的轨迹思想，都使学生感受到运动对轨迹生成的重要性，领悟轨迹形成过程中存在的不变的关系，这是生活实例无法呈现的效果，既生动有趣，又非老生常谈，符合趣味性。
两位教师都展示了相关数学家的画像与数学贡献，教师B还介绍了费马对数学研究的热衷与勤勉、阿波罗尼奥斯在轨迹研究上的执着与创新，激励学生努力上进，符合人文性。
（二） 方式的多样性
两位教师都展示了相关数学家的画像，讲述他们的数学成就，属于附加式。
教师B通过几何画板动态呈现费马的轨迹思想，先展示变线段长度固定且垂直于定直线时表示匀速运动的直线轨迹，即费马轨迹思想中的一类情况，接着调节变线段的变化规律，得到两种不同的曲线轨迹（如图1），再使变线段与定直线成固定角度，同样可以得到直线或曲线轨迹（如图2）。教师B在上述教学过程中借鉴史料并适当对其加以改编，在重现费马的轨迹思想的同时，融入了自己的理解，属于顺应式。
两位教师都根据史料编制了轨迹问题，也属于顺应式。教师A的例1、习题1、习题2、习题3和教师B的问题均源自数学史料，具体改编方式见表3。由表3可知，教師B更灵活创新地编制了新问题，一方面基于一则史料能形成难度差异较大的不同问题，另一方面问题基本都以△ABC为背景，部分问题之间具备关联性和递进性。另外，教师A和教师B都没有采用复制式和重构式。
（三） 融入的自然性
在HPM视角下的数学教学中，数学史主要充当改善教学的工具，教师需要分析数学知识点的逻辑序、历史序以及学生的心理序，只有将三者统一起来，才能达到自然无痕的教学效果。
根据前面的历史分析，平面轨迹概念的历史大致分成以下几个阶段。
萌芽阶段：数学外部因素（物体的运动轨迹）和内部因素（尺规作图、问题解决）促进了轨迹概念的产生。
形成阶段：静态曲线和动态轨迹有机统一，个别平面轨迹的纯粹性和完备性研究。
发展阶段：平面轨迹的系统研究和应用。
关于萌芽阶段的历史融入，两位教师的教学都从数学外部因素引入抽象的纯数学概念，既遵循上述历史序，也符合教科书所呈现的逻辑序（从生活实例到三种基本轨迹），但都未涉及数学内部因素，无法解释轨迹概念诞生的历史动因，更无法指出概念学习的必要性，因而不能激发学生强烈的学习动机。 关于形成阶段的历史融入，虽然两位教师都采用了根据数学史料改编而成的轨迹问题，但他们未能进行古今联系，影响了数学史融入的自然性。实际上，虽然在轨迹概念的形成阶段，古希腊数学家在个别轨迹上呈现了纯粹性和完备性，但在多数情况下，他们往往只关注纯粹性而忽略了完备性，甚至将两者等价起来。在两位教师的课堂上也有学生出现类似的错误，这种错误具有明显的历史相似性。如果教师在学生出现错误时，提及古希腊数学家类似的疏忽，数学史的应用就水到渠成了。
弗赖登塔尔认为，教学不必原原本本地按照历史发展的历程在学生身上重现[13]。从整体上看，两位教师选用的数学史基本集中于前两个阶段，教师A将主要的史料按时间顺序排列，“打包”式地浓缩在一个微视频中，但只是 “流水账”式的叙述，学生在看完视频后不了了之。教师B没有完全将历史的发展顺序作为课堂教学的逻辑顺序，而是视教学需要融入历史，在第一个环节剖析轨迹的概念后，链接费马的轨迹思想，在第二个环节讲解三个基本轨迹后向学生提问“那么大家知道这三个基本轨迹是哪个数学家研究出的吗？”，适时地引入相关史料，构建起史料与知识之间的联系。但教师B只选用了一个关于轨迹概念本身的史料，且各史料间彼此独立，无法让学生认识到概念的发展过程和数学家在其中起到的突破性作用。如果教师能使用发生教学法重构轨迹的演变进程，并注重史料与所学内容之间的对应，更符合学生的心理序，使学生更自然地接受数学史。
（四）价值的深刻性
在教学中，两位教师都根据史料改编了难度不同的轨迹问题，既为学生提供探究之乐，又有助于培养学生的逻辑推理素养和直观想象素养，帮助教师实现能力之助;还展示了轨迹的历史片段，体现文化之魅。
课堂中融入数学文化的根本目的在于育人，本节课的价值还在于德育之效。一是培养学生数学学习的信念。数学史的融入使学生穿越时空与数学家对话，想数学家所想，给学生以自信，让他们觉得自己也能解答古希腊数学家费尽心思研究的问题，阿波罗尼奥斯可以视为课堂中一名额外的“学生”[14]。而从事律师工作的费马喜欢数学，他利用业余时间始终坚持自己的兴趣，在数学研究上做出了杰出的贡献，教师以此激发学生对兴趣的坚持和对学术研究的向往之心。二是培养学生良好的道德品质，例如教师B指出费马为人谦逊敦厚、公正廉明，培养学生谦虚、正直的良好品质。
四、结论与教学启示
从以上比较分析可见，两节课各有特色。共性在于，在史料的选取上都符合科学性、有效性、可学性、趣味性和人文性;运用数学史的方式都是附加式和顺应式;都体现了数学史在探究之乐、能力之助、文化之魅和德育之效上的教育价值。但两位教师都未采用重构式重现知识的发生历史，没能揭示“轨迹”在历史长河中的嬗变过程，缺乏数学史在构建知识之谐方面的价值，在融入的自然性上也有待改进。差异在于，教师A所选的历史素材多而广，多元化地呈现了不同数学家对轨迹概念的认识与解释;教师B借鉴历史素材少而精，将数学史与信息技术巧妙整合，使数学史直观化、可视化，多次借助数学家的生平趣事调动学生的学习积极性，同时充分利用数学史提出诸多创新的轨迹问题。通过HPM视角下“轨迹”概念同课异构的比较与分析，得到以下启示。
（1）重视史料的剖析消化，激发学生的学习动机。很多教师往往只看到史料的表面内容，而缺乏深度剖析的意识。深究轨迹概念的历史素材可知，轨迹概念产生的历史动因是为了解决几何难题和研究生活实例。
（2）关注史料的多元价值，提供学习的多种渠道。教科书作为知识讲述型材料，呈现的是静态的事实概要，掩盖了科学的试探性、数学概念历史发展的曲折性，以及不同数学家对其解释的多样性。而数学史能克服以上缺陷并且具有多元教育价值。但有的教师会认为史料繁多，而且有的数学史料对于初中学生理解起来有一定难度，直接扼杀了学生了解史料的机会。实际上，教师可以通过其他方式，例如印发阅读材料，提供给学生自主学习的机会，相信学生有能力、有兴趣了解知识之源。
（3）营造课堂的探究氛围，致力系统的问题设计。两位教师所选用的题目缺乏系统性，没有完整的逻辑线。基于数学史编制问题串，教师可以重构知识的发生过程，让学生有更清晰的探究思路，并在探究后进行系统总结，而不是就题解题。
参考文献：
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[2]蔡兆生.增设认知情节 化解思维障碍：《点的轨迹》探究性教学设计[J].数学教学研究， 2003 （5）：21-23.
[3]杨冰.初中“轨迹”概念教学的难点剖析与突破策略[J].中国数学教育， 2018 （12）：38-41.
[4]沈中宇， 李霞， 汪晓勤.HPM课例评价框架的建构：以“三角形中位线定理”为例[J].教育研究与评论（中学教育教学）， 2017 （1）：35-41.
[5]何思谦.数学辞海：第一卷[M].太原：山西教育出版社， 2002.
[6]MERZBACH U C， BOYER C B.A history of mathematics[M].New Jersey：Wiley， 2011.
[7]HEATH T L.The works of Archimedes[M].New York：Dover Publications， 1959.
[8]EUCLID.The thirteen books of Euclid’s elements[M].New York：Dover Publications， 1959.
[9]HEATH T L.A history of Greek mathematics[M].Oxford：Clarendon Press， 1921.
[10]汪曉勤， 柳笛.平面解析几何的产生（二）：费马与解析几何[J].中学数学教学参考， 2008（1/2）：122-123.
[11]王鑫，汪晓勤，岳增成.基于数学史的数学探究活动设计课例分析[J].中学数学月刊， 2018 （10）：54-58.
[12]陈晏蓉，汪晓勤.数学史料的选取原则与案例分析[J].教育研究与评论（中学教育教学）， 2017（12）： 37-43.
[13]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社， 1995.
[14]岳增成， 刘轩如.课堂中一名额外的学生：数学史融入“两位数被一位数除”的教学[J].小学数学教师， 2017 （7/8）：89-93.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】HPM;轨迹;同课异构
【作者简介】张佳淳，华东师范大学教师教育学院在读硕士研究生，主要从事数学史与数学教育研究;汪晓勤（本文通讯作者），华东师范大学教师教育学院教授，博士生导师，主要从事数学史与数学教育研究。
【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地项目“数学课程与教学中如何落实立德树人研究”（A8）
“轨迹”是沪教版初中数学八年级上册的内容，现有的教学设计大多先利用实例形成表象認识，再结合字面剖析轨迹概念，接着辨析三个基本轨迹，最后探求轨迹图形[1-3]。虽然有研究者对此内容做过研究，但还是存在些许问题，如教师不明确教学目的，对为什么要教授“轨迹”心中无数[1]39-43;学生也不明白轨迹学习的必要性等。另外，很多教师对于轨迹概念的历史知之甚少，HPM视角下的“轨迹”概念教学设计更是付之阙如。
鉴于此，HPM工作室开展了“轨迹”概念的课例研究。本课例的执教者分别是教师A和教师B，他们都从HPM的视角经历了选题与聚焦、研讨与设计、实施与评价的课例研究过程，但由于学校文化、教师旨趣、学生基础、史料选择、教学目标、教学设计等方面的差异，最终形成了效果不同、各具特色的两个课例。笔者采用HPM课例评析框架[4]，对两位教师如何选择和应用数学史，数学史在两节课中各体现的教育价值，以及两节课各自的特色等进行比较分析，以期为“轨迹”概念教学以及HPM课例研究提供借鉴。
一、历史素材
唐代诗人王维有诗云：“大漠孤烟直，长河落日圆。”实际上，直线和圆是人们在现实生活中所见的形象经过抽象而成的几何概念，欧几里得在《几何原本》中给出两者的静态定义。古希腊人使用尺规来作图，在尺规作图的动态过程中，古希腊人感悟到静态的直线和圆，其实是通过点的运动而形成的两种轨迹，从而产生轨迹的概念。另外，现实世界物体的运动、天体的运动、流星等现象也会促进他们对轨迹的认识。公元前4世纪，古希腊数学家阿契塔明确提出了“曲线是点的轨迹”的观点[5]。
在利用尺规解决三大几何难题（化圆为方问题、三等分角问题、倍立方问题）遭遇失败后，古希腊数学家开始用新的轨迹来解决问题。公元前5世纪，希皮亚斯利用正方形相邻两边的运动构造了新的轨迹——割圆曲线[6];公元前3世纪，阿基米德则构造了沿射线运动的一点，当射线本身绕端点沿逆时针方向旋转时的轨迹——阿基米德螺线[7]。割圆曲线和阿基米德螺线都可以用来解决三等分角问题。
《几何原本》中的一些命题与轨迹也有密切的联系。如第一卷命题37：“同底且同位于两条平行线之间的三角形彼此相等。”第一卷命题39：“同底同侧且相等的三角形同位于两条平行线之间。”[8]这两个命题分别体现了直线轨迹的纯粹性和完备性。
给定底边，则以底边的一条平行线上任一点为顶点的三角形面积彼此相等。
给定底边，则面积彼此相等的所有同侧三角形的顶点都位于底边的一条平行线上。
《几何原本》第三卷命题21：“在一个圆中，同一弓形中的（圆周）角彼此相等。”第三卷命题31的一部分：“半圆上的（圆周）角为直角。”对应的是圆弧轨迹的纯粹性。
以圆的弓形底边为底边，圆弧（不含底边的端点）上的点为顶点的所有三角形的顶角都彼此相等。
以圆的直径为底边，半圆（不含直径的端点）上的点为顶点的所有三角形的顶角都是直角。
如果我们相应地补充完备，可分别得到以下命题。
给定底边，顶角相等的所有三角形的顶点都位于同一圆弧（不含底边的端点）上。
给定底边，顶角为直角的所有三角形的顶点都位于同一半圆（不含直径的端点）上。
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼奥斯在《平面轨迹》中证明了一系列平面轨迹命题[9]，其中与本节课联系密切的有以下命题。
到两条已知直线（平行或相交）的距离之比等于已知数的动点轨迹为直线。
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆。
到n个定点的距离的平方和等于已知数的动点轨迹为圆。
17世纪，法国数学家费马用运动来刻画轨迹：取一条固定直线及其上一固定点，当一条变线段的一个端点沿直线移动时，另一端点的运动即形成了轨迹[10]。类似地，法国数学家笛卡儿通过建立坐标系（单轴、斜坐标）来研究轨迹问题。费马和笛卡儿成了解析几何的创始人。有了解析几何这一新工具，人们得以用代数方法来研究动点的轨迹。法国数学家拉希尔将椭圆定义为平面上到两定点距离之和等于常数的动点轨迹[11]，这个定义也可以改编为与三角形相关的命题：“给定底边，周长相等的所有三角形的顶点都位于一个椭圆上（不含椭圆长轴的端点）。”荷兰数学家舒腾还设计了椭圆的多种机械作图工具。
在开展“轨迹”概念课例研究之初，教师A和教师B都研读了上述史料，并将部分史料用于教学设计。
二、宏观比较
（一）教学重难点及教学目标
教师A和教师B所拟订的教学重难点基本一致。
教学重点：（1）点的轨迹的意义;（2）轨迹的完备性和纯粹性。
教学难点：运用基本轨迹和描点法画出符合条件的轨迹，并能用数学语言或文字语言准确描述轨迹。
为突出重点，突破难点，两位教师对教学目标的定位如下。
教学目标：
（1）依据生活中的轨迹形象，理解轨迹的概念与现实意义; （2）经历轨迹的探究活动，会用运动的观点看待图形，会从完备性与纯粹性（以下简称“二性”）的角度分析轨迹，能够运用基本轨迹和描点法画出轨迹，提高学生的逻辑推理素养、直观想象素养以及数学表达能力;
（3）通过数学史，了解古代数学家的思想，提高学生学习数学的兴趣，树立研究数学的信心。
教师B还在教学目标（3）中增加“借助数学史，感受古人的智慧，体会数学的理性精神”。
（二） 教学流程
由表1可知，两位教师的教学过程都包含六个环节，但进度和安排不同。教师A的设计与已有的教学设计类似，前两个环节通过创设情境引入概念，第三个环节直接给出三个基本轨迹并进行二性辨析，第四个环节重在习题训练，第五个环节从数学的轨迹上升到人生的轨迹。
教师B采用翻转课堂的形式。学生在课前已利用HPM微视频自学，但他们的理解不一定正确，于是在第一个环节教师B针对学生回答的情况，强调运动与集合的观点，纠正部分学生对轨迹概念存在的错误认识;第二个环节进入基本轨迹和二性辨析的学习，不同于教师A的直接讲授，教师B在此使用几何画板，辅助学生直观理解二性的辨析过程;第三个环节运用基本轨迹解决问题;第四个环节以小组为单位进行习题探究;第五个环节进行小结。另外，在布置作业环节，教师B布置了基于数学史提出的难度较大的轨迹问题。
两位教师都使用了HPM微视频。教师A在第二个环节中利用微视频介绍轨迹的部分历史，主要包括阿契塔、阿波罗尼奥斯、阿基米德的研究成果，并展示生活中的轨迹实例;教师B让学生利用微视频课前自学，主要呈现生活中的轨迹形象，介绍三大基本轨迹以及费马的轨迹思想，归纳探求轨迹方程的常见方法。
三、微观比较
（一）史料的适切性
数学史料的选取需要遵循趣味性、科学性、有效性、可学性、人文性五项原则[12]，两位执教者在各教学环节所用历史素材对比见表2。
教师A和教师B所选用的史料源于原始文献或专业数学史研究文献，符合科学性。但教师A在介绍阿波罗尼奥斯的《平面轨迹》一书时，使用了圆锥曲线的配图。在古希腊数学中，平面轨迹只涉及直线和圆，圆锥曲线属于立体轨迹，因此，教师A配图不恰当。
本节课的落脚点是探求轨迹问题，两位教师都根据阿波罗尼奥斯关于平面轨迹的命题和拉希尔的椭圆定义，提出有别于教科书和传统教辅书中的轨迹问题，促进学生掌握运用基本轨迹和描点法，同时认识轨迹表达的精准性要求，从而实现本节课教学目标，符合有效性。另外，教师B还选择了《几何原本》中的有关命题。
阿波罗尼奥斯关于平面轨迹的命题是三个基本轨迹的来源，对应学生在上节课所学的三个几何定理及其逆定理;《几何原本》中的有关命题则对应学生此前学过的平行线的性质（两平行线间的距离处处相等）、圆周角的性质（直径所对的圆周角等于90°）。两则史料均符合学生认知基础，有助于加深学生对轨迹的理解，符合可学性。但前者基本局限于三个基本轨迹，后者不仅引出其他轨迹，而且以三角形为背景，在问题解决过程中，学生需要注意排除三角形底边端点，做到“不重不漏”。因此，教师B的问题更有助于引发学生的认知冲突，加强学生对二性辨析的意识。
教科书和已有教学设计一般仅从生活实例出发，让学生感受几何中的运动与变化，而教师A在“概念探究”环节采用阿契塔关于轨迹的观点、阿基米德螺线，以及在“变式拓展”环节舒腾的椭圆作图工具的动画演示，教师B在“检查自学”环节介绍费马的轨迹思想，都使学生感受到运动对轨迹生成的重要性，领悟轨迹形成过程中存在的不变的关系，这是生活实例无法呈现的效果，既生动有趣，又非老生常谈，符合趣味性。
两位教师都展示了相关数学家的画像与数学贡献，教师B还介绍了费马对数学研究的热衷与勤勉、阿波罗尼奥斯在轨迹研究上的执着与创新，激励学生努力上进，符合人文性。
（二） 方式的多样性
两位教师都展示了相关数学家的画像，讲述他们的数学成就，属于附加式。
教师B通过几何画板动态呈现费马的轨迹思想，先展示变线段长度固定且垂直于定直线时表示匀速运动的直线轨迹，即费马轨迹思想中的一类情况，接着调节变线段的变化规律，得到两种不同的曲线轨迹（如图1），再使变线段与定直线成固定角度，同样可以得到直线或曲线轨迹（如图2）。教师B在上述教学过程中借鉴史料并适当对其加以改编，在重现费马的轨迹思想的同时，融入了自己的理解，属于顺应式。
两位教师都根据史料编制了轨迹问题，也属于顺应式。教师A的例1、习题1、习题2、习题3和教师B的问题均源自数学史料，具体改编方式见表3。由表3可知，教師B更灵活创新地编制了新问题，一方面基于一则史料能形成难度差异较大的不同问题，另一方面问题基本都以△ABC为背景，部分问题之间具备关联性和递进性。另外，教师A和教师B都没有采用复制式和重构式。
（三） 融入的自然性
在HPM视角下的数学教学中，数学史主要充当改善教学的工具，教师需要分析数学知识点的逻辑序、历史序以及学生的心理序，只有将三者统一起来，才能达到自然无痕的教学效果。
根据前面的历史分析，平面轨迹概念的历史大致分成以下几个阶段。
萌芽阶段：数学外部因素（物体的运动轨迹）和内部因素（尺规作图、问题解决）促进了轨迹概念的产生。
形成阶段：静态曲线和动态轨迹有机统一，个别平面轨迹的纯粹性和完备性研究。
发展阶段：平面轨迹的系统研究和应用。
关于萌芽阶段的历史融入，两位教师的教学都从数学外部因素引入抽象的纯数学概念，既遵循上述历史序，也符合教科书所呈现的逻辑序（从生活实例到三种基本轨迹），但都未涉及数学内部因素，无法解释轨迹概念诞生的历史动因，更无法指出概念学习的必要性，因而不能激发学生强烈的学习动机。 关于形成阶段的历史融入，虽然两位教师都采用了根据数学史料改编而成的轨迹问题，但他们未能进行古今联系，影响了数学史融入的自然性。实际上，虽然在轨迹概念的形成阶段，古希腊数学家在个别轨迹上呈现了纯粹性和完备性，但在多数情况下，他们往往只关注纯粹性而忽略了完备性，甚至将两者等价起来。在两位教师的课堂上也有学生出现类似的错误，这种错误具有明显的历史相似性。如果教师在学生出现错误时，提及古希腊数学家类似的疏忽，数学史的应用就水到渠成了。
弗赖登塔尔认为，教学不必原原本本地按照历史发展的历程在学生身上重现[13]。从整体上看，两位教师选用的数学史基本集中于前两个阶段，教师A将主要的史料按时间顺序排列，“打包”式地浓缩在一个微视频中，但只是 “流水账”式的叙述，学生在看完视频后不了了之。教师B没有完全将历史的发展顺序作为课堂教学的逻辑顺序，而是视教学需要融入历史，在第一个环节剖析轨迹的概念后，链接费马的轨迹思想，在第二个环节讲解三个基本轨迹后向学生提问“那么大家知道这三个基本轨迹是哪个数学家研究出的吗？”，适时地引入相关史料，构建起史料与知识之间的联系。但教师B只选用了一个关于轨迹概念本身的史料，且各史料间彼此独立，无法让学生认识到概念的发展过程和数学家在其中起到的突破性作用。如果教师能使用发生教学法重构轨迹的演变进程，并注重史料与所学内容之间的对应，更符合学生的心理序，使学生更自然地接受数学史。
（四）价值的深刻性
在教学中，两位教师都根据史料改编了难度不同的轨迹问题，既为学生提供探究之乐，又有助于培养学生的逻辑推理素养和直观想象素养，帮助教师实现能力之助;还展示了轨迹的历史片段，体现文化之魅。
课堂中融入数学文化的根本目的在于育人，本节课的价值还在于德育之效。一是培养学生数学学习的信念。数学史的融入使学生穿越时空与数学家对话，想数学家所想，给学生以自信，让他们觉得自己也能解答古希腊数学家费尽心思研究的问题，阿波罗尼奥斯可以视为课堂中一名额外的“学生”[14]。而从事律师工作的费马喜欢数学，他利用业余时间始终坚持自己的兴趣，在数学研究上做出了杰出的贡献，教师以此激发学生对兴趣的坚持和对学术研究的向往之心。二是培养学生良好的道德品质，例如教师B指出费马为人谦逊敦厚、公正廉明，培养学生谦虚、正直的良好品质。
四、结论与教学启示
从以上比较分析可见，两节课各有特色。共性在于，在史料的选取上都符合科学性、有效性、可学性、趣味性和人文性;运用数学史的方式都是附加式和顺应式;都体现了数学史在探究之乐、能力之助、文化之魅和德育之效上的教育价值。但两位教师都未采用重构式重现知识的发生历史，没能揭示“轨迹”在历史长河中的嬗变过程，缺乏数学史在构建知识之谐方面的价值，在融入的自然性上也有待改进。差异在于，教师A所选的历史素材多而广，多元化地呈现了不同数学家对轨迹概念的认识与解释;教师B借鉴历史素材少而精，将数学史与信息技术巧妙整合，使数学史直观化、可视化，多次借助数学家的生平趣事调动学生的学习积极性，同时充分利用数学史提出诸多创新的轨迹问题。通过HPM视角下“轨迹”概念同课异构的比较与分析，得到以下启示。
（1）重视史料的剖析消化，激发学生的学习动机。很多教师往往只看到史料的表面内容，而缺乏深度剖析的意识。深究轨迹概念的历史素材可知，轨迹概念产生的历史动因是为了解决几何难题和研究生活实例。
（2）关注史料的多元价值，提供学习的多种渠道。教科书作为知识讲述型材料，呈现的是静态的事实概要，掩盖了科学的试探性、数学概念历史发展的曲折性，以及不同数学家对其解释的多样性。而数学史能克服以上缺陷并且具有多元教育价值。但有的教师会认为史料繁多，而且有的数学史料对于初中学生理解起来有一定难度，直接扼杀了学生了解史料的机会。实际上，教师可以通过其他方式，例如印发阅读材料，提供给学生自主学习的机会，相信学生有能力、有兴趣了解知识之源。
（3）营造课堂的探究氛围，致力系统的问题设计。两位教师所选用的题目缺乏系统性，没有完整的逻辑线。基于数学史编制问题串，教师可以重构知识的发生过程，让学生有更清晰的探究思路，并在探究后进行系统总结，而不是就题解题。
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（责任编辑：陆顺演）